24_明史-第42章
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凡求得赤道积度一度零八分六十五秒。余度各如上法，求到各黄道度下赤道积，两数相减，即得黄赤道差，乃至后之率。其分后，以赤道度求黄道，反此求之，其数并同。
▲黄赤道相求弧矢诸率立成上
表格略
▲黄赤道相求弧矢诸率立成下
表格略
按郭敬创法五端，内一曰黄道差，此其根率也。旧法以一百一度相减乘。《授时》立术，以句股、弧矢、方圆、斜直所容，求其数差，合於浑象之理，视古为密。顾《至元历经》所载略，又误以黄道矢度为积差，黄道矢差为率，今正之。
▲割圆弧矢图
凡浑圆中剖，则成平圆。任割平圆之一分，成弧矢形，皆有弧背，有弧弦，有矢。剖弧矢形而半之，则有半弧背，有半弧弦，有矢。因弦矢句股形，以半弧弦为句，矢减半径之余为股，半径为弦。句股内成小句股，则有小句、小股、小弦、而大小可互求，平侧可互用，浑圆之理，斯为密近。
平者为赤道，斜者为黄道。因二至黄道赤之距，生大句股。因各度黄赤之距，生小句股。
外大圆为赤道。从北极平视，则黄道在赤道内，有赤道各度，即各有其半弧弦，以生大名股。又各有其相当之黄道半弧弦，以生小句股。此二者皆可互求。
按旧史无图，然表亦图之属也。今句股割弧矢之法，实为历家测算之本。非图不明，因存其要者数端。
▲黄赤道内外度
推黄道各度，距赤道内外及去极远近术。置半径内减去赤道小弦，余为赤道二弦差。又为黄赤道小弧矢，又为内外矢，又为股弦差。置半径内外减去黄道矢度，余为黄赤道小弦，以二至黄赤道内外半弧弦乘之为实，以黄赤道大弦为法，即半径。除之为黄赤道小弧弦。即黄赤道内外半弧弦，又为黄赤道小句。置黄赤道小弧矢自之，即赤道二弦差。以全径除之，为半背弦差。以差加黄赤道小弧弦为黄赤道小弧半背，即黄赤道内外度。置黄赤道内外度，视在盈初缩末限以加，在缩初盈天限以减，皆加减象限度，即各得太阳去北极度分。
如冬至后四十四度，求太阳去赤道内外及去极度。术曰：「置半径六十零度八十七分半，内减黄道四十四度下赤道小弦五十八度三十五分六十九秒，余二度五十一分八十一秒，为黄赤道小弧矢。即内外矢。置半径六十零度八七五，内减黄道四十四度，矢一十六度五十六分八十二秒，余四十四三十零分六十八秒，为黄赤道小弦。置黄赤道小弦，以二至黄赤道内外半弧弦二十三度七十一分乘之，得一千零五十零度五十一分四二三八为实，以黄赤道大弦六十零度八七五为法除之，得一十七度二十五分十九秒为黄赤道小弧弦。即内外半弧弦。置黄赤道小弧矢二度五十一分八十一秒自之为实，以全径地百二十一度七十五分除之，得五分二十一秒为背弦差，以差加黄赤道小弧弦一十七度二十五分六十九秒，得一十七度三十零分八十九秒，为二至前后四十四度，太阳去赤道内外度。置象限九十一度三十一分四十三秒七五，以内外度一十七度三零八九加之，得一百零八度六十二分三十二秒七五，为冬至后四十四度太阳去北极度。
▲黄道每度去赤道内外及去北极立成
表格略
▲白道交周
推白赤道正交，距黄赤道正交北极数。术曰：「置实测白道出入黄道内外六度为半径弧弦，又为大图弧矢，又为股弦差。置半径六十零度七五自之，得三千七百零五度七六五六二五，以矢六度而一，得六百一十七度六十三分为股弦和，加矢六度，共六百二十三度六十三分为大圆径。依法求得容阔五度七十分，又为小句。又以二至出入半弧弦二十三度七十一分为大句。以大句为法，除大股五十六度零六分五十秒，得二度三十七分就整为度差。以度差乘小句，得小股一十三度四十七分八十二秒，为容半长。置半径六十零度八七五为大弦，以乘小句五度七十分为实，以大句二十三度七十一分为法除之，得一十四度六十三分为小弦，又为白赤道正交，距黄赤道正交半弧弦。 依法求行半弧背一十四度六十六分，为白赤道正交距黄赤道正交极娄数。
【历三】
▲大统历法一下法原
日月五星平定三差
太阳盈缩平立定三差之原。
冬至前后盈初缩末限，八十八日九十一刻，就整。离为六段，每段各得一十四日八十二刻。就整。各段实测日躔度数，与平行相较，以为积差。
积日积差
第一段一十四日八二七千零五十八分零二五
第二段二十九日六四一万二千九百七十六三九二
第三段四十四日四六一万七千六百九十三七四六二
第四段五十九日二八二万一千一百四十八七三二八
第五段七十四日一零二万三千二百七十九九九七
第六段八十八日九二二万四千零二十六一八四
各置其段积差，以其段积日除之，为各段日平差。置各段日平差，与后段日平差相减，为一差。置一差，与后段一差相减，为二差。
日平差一差二差
第一段四百七十六分二五三十八分四五一分三八
第二段四百三十七分八零三十九分八三一分三八
第三段三百九十七分九七四十一分二一一分三八
第四段三百五十六分七六四十一分五九一分三八
第五段三百一十四分一七四十三分九七
第六段二百七十零分二零
置第一段日平差，四百七十六分二十五秒，为凡平积。以第二段二差一分三十八秒，去减第一段一差十八分四十五秒，余三十七分零七秒，不凡平积差。另置第一段二差一分三十八秒，折半得六十九秒，为凡立积差。以凡平积差三十七分零七秒，加入凡平积四百七十六分二十五秒，共得五百一十三分三十二秒，为定差。
以凡立积差六十九秒，去减凡平积差三十七分零七秒，余三十六分三十八秒为实，以段日一十四日八十二刻为法除之，得二分四十六秒为平差。置凡立积差六十九秒为实，以段日为法除二次，得三十一微，为立差。
夏至前后缩初盈末限，九十三日七十一刻，就整。离为六段，每段各得一十五日六十二刻。就整。各段实测日躔度数，与平行相较，以为积差。
积日积差
第一段一十五日六二七千零五十八分九九零四
第二段三十一日二四一万二千九百七十八六五八
第三段四十六日八六一万七千六百九十六六七九
第四段六十二日四八二万万一千一百五十零七二九六
第五段七十八日一零二万三千二百七十八四八六
第六段九十三日七二二万四千零百一十七六二四四
推日平差、一差、二差术，与盈初缩末同。
日平差一差二差
第一段四百五十一分九二三十六分四七一分三三
第二段四百一十五分四五三十七分八零一分三三
第三段三百七十七分六五三十九分一二一分三三
第四段三百三十八分五二四十零分四六一分三三
第五段二百九十八分零六四十一分七九
第六段二百五十六分二七
置第一段日平差，四百五十一分九十二秒，为凡平积。以第一段二差一分三十三秒，去减第一段一差三十六分四十七秒，余三十一分一十四秒，为凡平积差。另置第一段二差一分三十三秒折半，得六十六秒五十微，为凡立积差。以凡平积差三十五分一十四秒，加入凡平积四百五十一分九十二秒，共四百八十七分零六秒，为定差。以凡『立积差六十六秒五十微，去减凡平差三十五分一十四秒，余三十四分四十七秒五十微为实，以段日一十五日六二为法除之，得二分二十一秒，为平差。置凡立积差六十六秒五十微为实，以段日为法，除二次，得二十七微，为立差。
凡求盈缩，以入历初末日乘立差，得数以加平差，再以初末日乘之，得数以减定差，余数以初末日乘之，为盈缩积。
凡盈历以八十日九零九二二五为限，缩历以九十三日七一二零二五为限。在其限已下为初，以上转减半岁周馀不末。盈初是人冬至后顺推，缩末是从冬至前逆溯，其距冬至同，故其盈积同。缩初是从夏至后顺推，盈末是从夏至前逆溯，其距夏至同，故其缩积同。
表格略
▲盈缩招差图说
盈缩招生，本为一象限之法。如盈历则以八十八日九十一刻为象限，缩历则以九十三日七十一刻为象限。今止作九限者，举此为例也。其空格九行定差本数，为实也。其斜绵以上平差立差之数，为法也。斜绵以下空格之定差，乃余实也。假如定差为一万，平差为一百，立差为单一。今求九限法，以九限乘定差得九万为实。另置平差，以九限乘二次，得八千一百。置立差，以九限乘三次，得七百二十九。并两数得八百二十九为法。以法减实，余八万一千一百七十一，为九限积。又法，以九限乘平差行九百，又以九限乘立差二次得八十一，并两数得九进八十一为法，定差一万为实，以法减实，余矣千零一十九，即九限末位所书之定差也。于是瑞以九限乘余实，得八万一千一百七十一，为九限积，与前所不所得不同。盖前法是先乘后减，又法是先减后乘，其理一也。
按《授时历》于七政盈缩，并以垛积招差立算，其污七巧合天行，与西人用小轮推步之法，殊途同归。然世所传《九章》诸书，不载其术，《历草》载其术，而不言其故。宣城梅文鼎为之图解，于平差、立差之理，垛积之法，皆有以发明其所以然。有专书行于世，不能备录，谨录《招生图说》，以明立法之大意云。
盈初缩末置立差三十一微，以六因之，得一秒八十六微，为加分立差。置平差二分四十六秒，倍之，得四分九十二秒，加入加分立差，得四分九十二秒八十六微，为平立合差。
置定差五百一十三分三十二秒，内减平差二分四十六秒，再减立差三十一微，余五百一十零分八十五秒六十九微，为加分。
缩初盈末 置立差二十七微，以六因之，得一秒六十二微，为加分立差。置平差二分二十一秒，倍之，得四分四十二秒，加入加分立差，得四分四十三秒六十二微，为平立合差。
置定差四百八十七分零六秒，内减平差二分二十一秒，再减立差二十七微，余四百八十四分八十四秒七十三微，为加分。
已上所推，皆初日之数。其推次日，皆以加分立差，累加平立合差，为次日平立合差。以平立合差减其日加分，为次日加分，盈缩并同。其加分累积之，即盈缩积，其数并见立成。
▲太阴迟疾平立三差之原
太阴转周二十七日五十五刻四六。测分四象，象各七段，四象二十八段，每段十二限，每象八十四限，凡三百三十六限，而四象一周。以四象为法，除转周日，得每象六日八八八六五，分为七段，每段下实测月行迟疾之数，与平行相较，以求积差。
积限积差
第一段一十二一度二十八分七一二
第二段二十四二度四十五分九六一六
第三段三十六三度四十八分三七九二
第四段四十八四度三十二分五九五二
第五段六十四度九十五分二四
第六段七十二五度三十二分九四四
第七段八十四五度四十二分三三七六
各置其段积差，以其段积限为法除之，为各段限平差。置各段限平差，与后段相减为一差。置一差，与后段一差相减为二差。
限平差一差二差
第一段一十零分七二六零四十七秒七六九秒三六
第二段一十零分二四八四五十七秒一二九秒本六
第三段九分六七七二六十六秒四八九秒三六
第四段九分零一二四七十五秒八四九秒三六
第五段八分二五四零八十五秒二零九秒三六
第六段七分四零二零九十四秒五六
第七段六分四五六四
置第一段限平差一十零分七二六为凡平积。置第一段一差四十七秒七六，以第一段二差九秒三六减之，余三十八秒四十微，为凡平积差。另置第一段二差九秒三十六微折半，得四秒六十八微，为凡立积差。以凡平积差三十八秒四十微，加凡平积一十零分七二六，得一十一分一十一秒，为定差。置凡平积差三十八秒四十微，以凡立积差四秒六十八微减之，余三十三秒七十二微为实，以十二限为法除之，得二秒八十一微，为平差。置凡立积差四秒六十八微为实，十二限为法，除二次，得三微二十五纤，为立差。
凡求迟疾，皆以入历日乘十二限二十分，以在八十四限已下为初，已上转减一百六十八限余为末。各以初末限乘立差，得数以加平差，再以初末限乘之，得数以减定差，余以初末限乘之，为迟疾积。其初限是从最迟最疾处顺推至后，末限是从最迟最疾处逆溯至前，其距其距最迟疾处同，故其积度同。太阴与太阳立法同，但太阳以定气立限，故盈缩异数。太阴以平行立限，故迟疾同原。
布立成法 置立差三微二十五纤，以六因之，得一十九微五十纤，为损益立差。置平差二秒八十一微，倍之，得五秒六十二微，再加损益立差一十九微五十纤，共得五秒八十一微，为初限平立合差。自此以损益立差，累加之，即每限平立合差。至八十限下，积至二十一秒四一五，为平立合差之极。八十一限下差一秒七八零九，八十二限下一秒七八零八，至八十三限下，平立合差，与益分中分，为益分之终。八十四限下差，亦与损分中分，为损分之始。至八十六限下差，亦二十一秒四一五，自此以损益立差累减之，即每限平立合差，至末限与初限同。置定差一十一分一十一秒，内减平差二秒八十一微，再减立差三微二十五纤，余一十一分零八秒一十五微七十五纤为加分定差，即初限损益分。置损益分，以其限平立合差益减损加之。即为次限损益分。以益分积之，损分减之，便为其下迟疾度。以八百二十分为一限日率，累加八百二十分为每限日率。以上俱详立成。
五星平立定三差之原 凡五星各以实测，分其行度为八段，以求积差，略如日月法。
木星立差加，平差减。
积日积差
第一段一十一日五十刻一度二一五二九七一一二
第二段二十三日二度三四零五二一四
第三段三十四日五十刻三度三五四一三七二六五
第四段四十六日四度二三四六零九一二
第五段五十七日五十刻四度九六零四零一三七五
第六段六十九日五度五零九九七八四四
第七段八十零日五十刻五度八六一八零四七二五
第八段九十二日五度九九四三四四六四
凡平差凡平较凡立较
第一段一十分五六七八零一三十九秒一六二一六秒二四二二
第二段一十分一七六一八四十五秒四零四三六秒二四二二
第三段九分七二二一三七五十一秒六四六五六秒二四二二
第四段九分二零五六七二五十七秒八八八七六秒二四二二
第五段八分六二六七八五六十四秒一三零九六秒二四二二
第六
