经济数学模型化过程分析-第12章

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§8。1　卡莱斯基商业循环模型　
卡莱斯基（M。Kalecki）模型自1935年问世以来就引起了许多经济学家和数学家的兴趣。特别是20世纪70年代后，随着周期性因素再次宣告西方经济第二次大战后长达20年繁荣时代的彻底结束，又唤起了人们对它重新认识的极大热情。在近半个世纪的研究中，关于该模型运动稳定性方面的问题更是不乏探讨和论证。在这当中，有些可以说是天才的猜测，有些则是部分的证明。迄今为止，尚未见到关于卡莱斯基模型的运动稳定性的完整成果。本节在参照前面章节建模步骤的基础上试图解决卡莱斯基早期及后期模型的运动稳定性问题，并据此提出若干经济猜想和可供参考的经济结论。　
一、卡莱斯基的商业循环理论与模型　
早期模型：卡莱斯基早在1935年就提出了关于资本主义经济波动的动态模型。根据他的理论，在资本主义经济中，投资机制由企业（资本家）操纵的。企业在时刻t计划的投资决策B（t），经过一个固定的时间间隔（时滞）q，资本设备方可交货，而支付行为应当分布于整个设备生产及装置期间。假设净投资I（t）为超过重置部分的净支出，K（t）为资本设备存量，则有模型如下：　
（1）　
（2）　
假设整个经济系统的总收入Y（t），由总消费C（t），总投资I（t）和自主性支出A所构成，而且总消费C（t）线性地依赖总收入Y（t），c表示边际消费倾向，则有　
（3）　
（4）　
关于核心变量B（t），卡莱斯基认为其受储蓄S（t）正向的影响和资本物存量K（t）反向的影响。因此当这种关系为比例关系并且没有时滞时，加速形式由模型（5）、（6）决定　
S（t）　=　Y（t）…C（t）　（5）　
B（t）　=　aS（t）…bK（t）＋e　（6）　
式中：a；b是正数，e是趋势项。从长期观点看，虽然e随时间的变动而变动，但在此仍视为常数项。结合（5）、（4）和（6），就得到　
B（t）　=　a（1…c）Y（t）…bK（t）＋e　（7）　
这是一个关键方程，它说明卡莱斯基的投资决策的加速机制，不象一般的加速因子那样取决于dY/dt（或DY），而是决定于Y的水准。　
不难证明，变量Y（t）；C（t）；I（t）；B（t）和K（t），满足同一类似的方程式，其数学形式是混合式的差分微分方程。因此，整个经济系统的运动稳定性可由以上任一变量表征。如选择K（t），则有　
d　k（t＋q）/dt=（a/q）K（t＋q）…（b＋a/q）K（t）＋aA＋e　（8）　
其均衡水准Ke　=　（aA＋e）/b，运动稳定性等价形式为　
（9）　
方程（9）表示的　实为对均衡水准Ke的离差。在运动稳定性意义下，（8）和（9）式是完全等价的。　
后期模型：　
卡莱斯基的后期模型（1943；1954），在简单乘数关系上仍与早期模型（3）、（4）相同，但是对影响投资决策B（t）的因素，以及其后的投资支出和资本设备的产出，均有新的考虑和修改。　
在后期模型中，卡莱斯基将投资I（t）分成两类，固定资本及材料Ik（t）和在制品及制成品的盘存Is（t）。各种盘存的投资支出Is（t）决定产出的变动，时滞　；固定资本的投资支出Ik（s）与设备的装置同时发生（即到货时支付），但是比其相应的投资决策落后时滞　。因此，有模型　
I（t）　=　Ik（t）＋Is（t）　（10）　
Is（t）　=　n1dY（t…　）/dt　（11）　
Ik（t）　=　dK（t）/dt　=　B（t…　）　（12）　
式中：n1是正数，K（t）、B（t）意义同前。卡莱斯基认为这时B（t）受储蓄S（t）和产出率（d/dt）Y（t）的正向影响，受资本存量变动（d/dt）K（t）的反向影响。因而，得到模型（13）　
B（t）　=　aS（t）＋n2dY（t）/dt…bdK（t）/dt＋e　（13）　
式中：a，n2，b为正数，e为趋势项。由（4）、（5）和（12）可知，（13）的变形为　
Ik（t＋　）　=　a（1…c）Y（t）＋n2dY（t）/dt…bIk（t）＋e　（14）　
我们定义平均时滞q满足　
（1＋b）…1＇Ik（t＋　）＋bIk（t）＇　=　Ik（t＋q）　（15）　
并假设　=　q，则不难得出（推导过程见本章附录1）　　　
其均衡水准Ie　=　（aA＋e）/（1＋b…a）　
若表示对此均衡水准的离差，则（16）式与下列方程式的运动稳定性等价　
（17）　
方程式（17）和（9）是决定后期模型和早期模型运动稳定性的关键。在后期模型中；Y（t），C（t）和I（t）满足类似的混合型的差分…微分方程，因此，只须讨论（17）式中　的运动稳定性。　　
二、卡莱斯基模型的稳定性　
有关卡莱斯基模型运动稳定性方面的研究工作集中在早期模型上，最典型的手法是令时滞q　=　1（取单位时间）。然而，即使这样也没有人完整地研究了参数不同的取值，会对运动稳定性产生什么影响。而且，对〃选择时间单位使q　=　1，不失一般性〃的说法，经济学者是持谨慎态度的。数学者持这种说法，是出于简化数学上的复杂性，并且在不考虑参数之间存在相依关系的前提下成立的。数理经济学家　Allen＇1＇曾警告说：有一点须加注意，即在所有卡莱斯基模型中，各常数的时间长度必须小心确定。这说明q　=　1的假设是不科学的，容易引出谬误。　
由于早期模型和后期模型的数学结构有所不同，我们将分别研究和讨论。对方程（9）引入显易解K（t）　=　K0elt，可以得到其对应的特征方程　
qleql…aeql＋a…bq　=　0　（18）　
同理，对方程（17）引入显易解I（t）　=　I0est，就得到相应的特征方程　
（19）　
方程（18）和（19）又称为超越方程，满足这两个方程的解l和s分别称为（18）和（19）式的特征根。研究模型稳定性，就是研究在什么条件下，特征根的实部Re（l）