经济数学模型化过程分析-第13章
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其次，我国外资的借入规模是国家计划的组成部分，其方式是国家（地方）借债，企业用债，国家（地方）还债。这种外资流入基本行为的三要素一一借、用、还，被不同主体的人为隔绝，使经济实体的用汇行为不可能是在最优规模上自动停止。相反，外资规模的上限取决于整个国家为维持长期债誉所可能具备的偿债能力。
再次，象处于我国这种阶段的发展中国家，由于市场容量的潜力很大，从理论上讲，投资的边际收益一般要高于发达国家。但是，由于目前我国企业的经营能力普遍不高，大多数企业却难以承受现行国际市场的借贷利率，加上行政壁垒对外资的限制以及以价格为主的连锁扭曲，使外资甚至于比〃内资〃更难于按收益的高低在部门之间自由流动，这又可能进一步压抑外资的收益。结果，在我国一方面是由投资短缺而形成的缺口需要由大量外资予以弥补；但另一方面，又由于国内投资收益率过低，而不得不把可能利用的国外资金拒之门外。因此，在我国直接制约利用外资规模的条件，与其说是现期和未来的创汇水平，不如说是普遍不高的投资收益率。
第四，我国目前利用外资，实行的是外资流入的归口管理。外资的使用单位经常可以从各级政府得到包括利息补贴在内的各种形式的〃明补〃或〃暗补〃。由于这严重扭曲了外资的成本，因此，不仅使〃内资〃相比之下受到歧视，也助长了用资企业不把外资当作一种稀缺资源加以使用，这就发生了在我国目前的体制下人们经常看到的外汇的稀缺（这由外汇的黑市价格典型地得到了表现）和外资的浪费同时并存的奇特现象。这种扭曲的现象越是严重，外资的规模也就越是容易失去控制。
综上所述，在我国目前市场机制尚未充分发育的情况下，经济实体的微观行为并不构成对外资规模的有效约束，而这在宏观上，则表现为经济变量对外资规模的调节机能也十分有限。这时，在维持长期债誉的基础上，仅仅取决于计划决策的外资借入规模，一旦政府的计划不周，就可能出现借债〃过度〃或借债〃不足〃的现象。更严重的是，即使决策当局已经意识到外资的规模不大适当，也很难在短期内随经济的变动而及时调整。这就难免发生非优化借债，特别？quot；过度〃借债这一现象。因此，对我国来说，当前刻不容缓的是应当进一步完善市场机制，积极改善外资利用的借、用、还这三个环节，以便为国家从对外资规模的单纯性的直接计划调节向以汇率等政策工具为主的间接性调节创造条件。
§8。3 马克思扩大再生产图式与增长模型
许多人误认为宏观增长理论始于后凯恩斯主义的哈罗德一多马模型。但如果我们把马克思的劳动价值理论和扩大再生产图式作为总量分析的基础，对宏观经济的平衡增长深入细致地研究的话，发现马克思理论的模型与哈罗德一多马模型有惊人的相似之处，这说明马克思的经济理论对经济学的贡献是无与伦比的。
首先，我们用模型化假说表述马克思的扩大再生产图式：（1）整个经济分为两大部门：生产资料生产部门（第I部类）和消费资料生产部门（第II部类）；（2）没有技术进步，故经济中的生产函数保持不变，且资本…劳动比率也不变；（3）劳动和生产资料的所有生产要素的投入，在每一周转期内都完全地移转到商品中去了。于是，整个生产过程用价值形式表示成：
I： c1＋v1＋m1=w1
II： c2＋v2＋m2=w2
I＋II：c＋v＋m=w
式中c，v，m，w分别表示不变资本，可变资本，剩余价值和价值，下标表示相应的部类。
马克思认为每一部类有三个比率：
（1）剩余价值率：
mi = mi /vi
（2）利润率：
gi = mi /ci＋vi
（3）资本的有机构成：
qi= ci /vi
马克思确信资本主义的竞争会使各部门的剩余价值率均等化，从而平衡时，
m=m1=m2
同样，利润率也趋于均等，
g = g1 =g2
在马克思的模式中，资本的有机构成反映技术的进步，而且q1≠q2。如果真是这样，则可推导出，
c1 /c2 =m1 /m2
或
m1 /c1 = m2 / c2
显然，均衡的条件偏多。
经济的增长在于积累，假设mi中积累了aci，追加雇用工人avi，被资本家消费了ki，则
mi =ki ＋ aci ＋avi
图式改写成
I：c1＋v1＋k1＋ac1＋av1 =w1
II：c2＋v2＋k2＋ac2＋av2 =w2
I＋II：c＋v＋k＋c＋v=w
为了使部类之间能够平衡，消费品的需求总量必须等于消费品的供给量，即
v1＋k1＋av1＋v2＋k2＋av2 =w2
而且生产资料的需求量也必须等于生产资料的供给总量，即
c1＋ac1＋c2＋ac2 =w1
从这两个式子中都可以导出均衡式：
v1＋av1＋k1 =c2＋ac2
反之亦然。马克思设想先确定第I 部类的积累率，然后相应地调整第II部类的积累率以达到均衡状态。这里两大部类的积累率不相同。即
a1 / m1 ≠a2 /m2
ai表示部类i的积累。基于马克思的理论，鲍尔提出了他的模型（1913）。它可以轻易地转变成哈罗德一多马模型，因此，认为马克思是现代增长理论的先驱决非过誉。
每个社会在人口增长时，必须逐年扩大其生产能力，以维持消费水平。这就需要资本积累，而在资本主义条件下任何积累的来源是剩余价值，如果人口增长率或相当于它的劳动力增长率b不变，那么v亦不变。若m亦不变，则剩余价值
m=mv
也就不变，这时被积累的m=ac＋av＋k，当用于不变资本的积累的比率a也是不变的，则
act =act
于是不变资本的增长取决
ct =（1＋a）ct…1
积累用作可变资本的比率应是人口增长的比率b，故
avt =bvt
于是
vt=（1＋b）vt…1
剩余价值的增长是
mt=mvt=m（1＋b）vt…1
劳动价值理论中新价值的增殖依靠活劳动的支出，这与现代的〃国民收入〃的概念相近。国民收入是可变资本加上剩余价值。故
yt=vt＋mt
=（1＋b）vt…1＋m（1＋b）vt…1
=（1＋m）（1＋b）vt…1
=（1＋b）yt…1
显然，马克思可以得出一切财富是劳动创造的，当然这时没考虑技术进步。稍加整理，我们有
ct = （1＋a）t…1 c1
vt = （1＋b）t…1 v1
mt = （1＋b）t…1 m1 =m （1＋b）t…1 v1
yt = （1＋b）t…1 y1 = （1＋m）（1＋b）t…1 v1
类似地，
act = a （1＋a）t…1 c1
avt = b（1＋b）t…1 v1
初始状态
y1 =m1 ＋v1
在完全市场经济条件下，资本的积累依赖于投资家？quot；任意〃决定，而为了与人口增长保持均衡，资本的积累必须有某种相应的动作。但是只有在政府部门宏观指导下，才能使生产能力的增长和消费品的增加与人口增长保持着同步。如果m不变；q1；q2上升，则a亦上升，因此马克思认为a》b是可能的。它们之间的联系是什么呢？我们注意到国民收入的增长率
这说明国民收入将与人口增长同步，积累率
则表明a》b使经济系统不稳定。依据劳动价值理论（a》b），计入不变资本的毛收入gG？a （t？￥）。而且在发展过程中，利润率由于有机构成的提高而有所下降
？0 （t？￥）
可以看出马克思正是透过这种图式，预见到资本主义初期发展的不稳定性。从上述模型还可以看出资本家会自动扼制资本有机构成的提高，以维持较高的利润率。
如果将前述假设改成a=b，则资本主义经济系统中用于积累的剩余价值不会被耗尽，而且资本有机构成和利润率将保持不变。我们考虑均衡增长的情况下，马克思的扩大再生产模式是如何得到哈罗德模型的。哈罗德的均衡等式为
Dy/y=s
式中y是国民收入，s是平均（边际）消费倾向，
S=sy
s =Dy/DG
s是资本一产出率，S是储蓄，G是资本存量其保证的增长率
gw=ss
在均衡下，哈罗德要求实际增长率gA等于保证的增长率gw，而两者都必将等于人口增长率b，即
gA=gw=b=ssw
其中ssw是保证的资本产出率。于是
yt=（1＋m）v1 （1＋b）t…1
如果依据马克思的理论：资本家储蓄剩余价值m中没有用于消费的部分，整个经济中消费掉的有v，av和k，因而
St=yt…（vt＋avt＋kt）
=（vt＋mt）…（vt＋avt＋kt）
=act
即整个经济能够储蓄的数额S，恰好等于资本家愿意追加的不变资本的数额ac。这就是凯恩斯理论中的投资I=S的前身！因此
GA=Gw=ss=b
这说明马克思的模式能满足哈罗德的平均增长条件。请留意，马克思的模式中s？￥；（t？￥）且s？0 （t？￥）；而哈罗德的模式中，s和s是不变的。当a=b时，s与s不变，故马克思的理论说明资本主义经济中，随着资本密集化资本一产出率持续下降，经济的持续增长要求储蓄倾向抵消资本一产出率的下跌。但资本家的消费将在一定的时期后被耗尽。
kt=mt…（act＋avt）
=v1（1＋b）t…1 （m…b）－ac1 （1＋a）t…1
这个就会使资本家尽力压低劳动力的追加工资，从而相对贫困在所难免。综上所述，马克思的扩大再生产图式是宏观增长理论的前身，而且远比哈罗德模型深刻。
如果将两部类联合起来来考虑，有以下三个假设：
（1）两大部类的积累率相同
a1 /m1 = a2 /m2 = a/m
（2）部类间的均衡条件
（1＋m）vI =cI ＋ac
（3）部类间的不变资本积累和可变资本积累相同
问题是1）由于转移到第I部类的剩余价值资金，在其生成的部类尚未分成不变资本和可变资本，所以acII和avII就不能这样被转移。2）要求资本依其所生成的部类的有机构成来转移，而不是按照受它的那个部类的有机构成来转移，这也不太合理。但上述三个假设决定了两部类内的转移机制，正是以此为依据，部类I增长必须快于部类II的增长。这时，
显然；cI； vI不断增长； cII； vII趋于零。结果同说明了这个体系是不稳定的。原因仍是a》b。所以只有a=b，才能使资本主义体制稳定。
§8。4 效用函数与生产函数
在这一节里，我们要学习经济学家是如何利用数学模型描述他们心目中的市场经济的。人们已经注意到经济学语言转化成形式化数学语言的困难在于经济学术语的多层次性。例如市场一词在经济学中有六个层次的含意：1）考虑一种商品时，市场是该商品的买方和卖方相互交易、进行交换的地方；2）一组特殊的买方，如初级市场；3）一种已知商品的买方和卖方，如小麦市场；4）商业区，如北京王府井；5）在马歇尔经济学中，市场是理想的、在任何给定时刻的价格对一切买卖双方是同样的地方；6）口语中，市场有市场价值的意思。鉴于这种情况，我们不标明经济学的观点是否正确，立论是否严谨，而重点放在怎样利用数学语言。
在我们这个世界上，人类在不停地忙碌着。他们不断地给予和索取，为什么要取舍这些东西呢？一切经济单位也是这样，什么动机促成了它们的行为是这样而不是那样呢？偏好是其根源。人们在享受物品或劳务中所得到的满足叫作效用。偏好决定了人们为什么做甲事而不做乙事。即甲f乙。〃f〃在数学里称为序。效用可以是不道德的，甚至是负效用。如果享用第i个单位的某物品或劳务的效用记作mui，则有
mu1 》 mu2 》…》
这就是边际效用递减规律。假如市场上有n种商品，某代理人的效用值用函数表达成
u=u（x1；x2；…xn）
则应有
若代理人的收入为I，市场价格p=（p1，p2，…，pn）T；则他一定追求效用最大。行为由模型
maxu（x1；x2；…xn）
s。t。 pTx ￡ I
表示。方程pTx = I称为选择预算线。如果代理人的钱财不是数不胜数，不等式约束等价于等式约束。假设上述模型的最优解为
则得到n个需求函数
xi = xi （p1，…，pn；I）
如果固定pj； j1i； 1￡ j￡ n和I，就得到商品i的需求曲线
xi = xi （pi）
特定的 下， 称为价格水平，若新的价格为p*，且
p*T 》 pTx
则称发生了通货膨胀。价格指数 和通货膨胀率P分别为
这时，代理人的真实收入Ir变化了
Ir = I*/
其中I*是新收入。这时代理人的行为会发生变化，依据是
max u（x1；x2；…xn）
s。t。 p*Tx ￡ I*
的最优解x*变了。显然，如果价格和收入同步增长，则x*= 。假设相对价格或价格比率为
价格p变化到p*且收入不变。则经济学家认为需求变化是两种效应共同作用的结果，它们是
1）收入效应：由价格变化引起某商品i的供给者的真实收入下降，从而使需求发生的变化的效应；
2）替代效应：由于相对价格Pij的变化，引起需求变化的效应。
Max u（x1；x2；…xn）
s。t。 p*x ￡ I
x 3 0
的最优解为 ，则 的变化表示替代效应。若
max u（x1；x2；…xn）
s。t。 p*Tx ￡ p*T ，x 3 0
的最优解为 ，则 的变化表示收入效应。但是经济学家们的观点也不一致。希克斯（Hicks；1946）则主张保持实际收入不变指的是新的预算超平面的法向量仍取p*，但与以前一样的无差异曲面
u（x1；x2；…xn）=
相切。即模型
？u（x）=p*
u（x）=u（ ）
p*x=u（ ）
的解为 ，则 表示替代效应。 表示收入效应。无论 如何变化到 ，价格起了核心作用。我们把 的差异留给读者思考。
价格是市场上最积极的因素，它是如何确定的呢？按规范的经济学观点，市场经济中需求和供给确定相对价格；相对于物品流动的货币量决定绝对价格。我们姑且承认这些理论，从而面临的任务是找出供给函数。
企业是经济中的供给单位，由于资本、劳力、技术、管理等因素的差异，企业的生产能力有所不同。假设某企业的生产函数为
y=f（x1；x2；…xn）
其中y是产出，x=（x1，…，xn）是投入。生产函数一般是相对稳定的，数学性质多为一阶正齐次函数。假如投入的价格分别为p1，…，pn，则成本函数为
c（x）= pTx
在市场经济的条件下，企业追逐最大利润，在客观上要求企业内部对投入进行最佳组合，即在费用一定的情况下尽可能多生产出产品来。模型
max ｜（x）
s。t。 pTx ￡ c
x 3 0
说明了企业的行为，其中pTx￡c是成本预算约束，一般可改为等式。从优化模型中解出的
x=x（p1；p2…；pn；c）
称为对投入的需求分配，将其代入生产函数后，得到
y=f＇x（p1；p2；…pn；c）＇
解其关于c的反函数，即生产成本函数，
c=c（p1；p2…；pn；y）
再固定投入价格p，就得到生产成本曲线
c=c（y）
在生产成本中，随着产出量的变动而变动的部分叫做变动成本，不随着产出量的变动而变动的部分叫固定成本。它们分别是（或等于）c（0）和c（y）…c（0）。设产出的价格为p0，则利润为
P=p0y－c（y）
将P极大化解出最佳产出量 ，这时边际收益MR等于边际成本MC，即
解出
或反解成
y=y（p0）
这正是企业的供给曲线。换言之，边际成本曲线就是供给曲线。产出y也是市场上的商品，那么我们对某种商品得出其需求曲线D=D（p0）和供给曲线S=S（p0）后，就可以由模型
确定该商品的均衡价格p0*和均衡量Q*=D*=S*。关于竞争的市场经济中，需求方程和供给方程最重要的一点不是它们能确定相对价格和产出量，而是价格和产
