经济数学模型化过程分析-第5章

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（一）收集统计信息的方式大致有四类：　
1。调查　
以方式划分：亲自调查、委托调查和通讯调查；以范围划分有普查和抽样调查。　
2。登记　
3。实验　
4。次级数据的搜集　
在模型化工作中，这四类方式都会遇到，我们仅介绍普查与抽样调查。　
所谓普查是指将需要研究的某种社会经济现象的全体进行逐一调查，以期获得完整、详细、可靠的总体数据。普查注重时间上的一致性，空间上的普遍性和方法上的统一性。普查的问项简易，组织庞大，精度较高，但耗资较大，一般是在政府支持下完成。抽样调查是在欲研究的总体中选取一部分加以调查。目的是在省时、省事、省钱的原则下，以最小的代价获得较精确的信息，利用概率论与数理统计推断总体特征。其在时空上限制较少，方法综合灵活。抽样调查的问项细致深入，组织规模较小，费用低廉，精度虽稍差，但可以调整控制。常用的抽样方法有以下几种：　　
（1）立意抽样：依据某种准则，将总体中某些具有代表性的个体抽出来组成样本，这种方法称为立意抽样。　
（2）随机抽样：在不受任何人为因素影响的条件下，等概随机地从总体中抽出若干个体以组成样本，谓之随机抽样。　
（3）分层抽样：依照某种准则将总体分成若干层次（Stratum），尽量使得层内的抽样单位同质，而不同层次的抽样单位异质，再由各层中抽出适当的单位组成样本。这种方法叫作分层抽样法。　
（4）集团抽样：将总体分成若干集团（Cluster），并尽量使集团内的抽样单位异质，而集团间的抽样单位同质。把这些集团视为抽出单位，依单纯任抽方式抽出其中若干集团，再在抽出的若干集团内进行调查。此法称为集团抽样。　　
抽样的方法很多，例如多段抽样法、系统抽样法、弗曼抽样法，两段抽样法等等。可视需求择优用之。　
§3。2　模型化信息的统计处理方法　
我们对已收集到的数据的整理可分为三步：　
1。分类：依互斥性与周延性原则，将特性相仿的数据分为一类。　
2。归类：把数据分别归入应属类别，方法有划记法、卡片法和电脑录入法。　
3。列表：将次级资料按照模型化研究目的，做成数据表和统计图。　
次数分配表是统计表中最重要的一类。属于同一变量的一组数据或分组后属于同一组的数据个数称为次数。将各组次数依序排列称为次分配。其目的是将数据资料凝聚成更简明的形式，使数据便于模型化的利用。而且次数分配作成的次数直方图及次数曲线图等与数学上的函数概念相吻合。我们首先介绍几个常见的概念：　　
①分组数据：以次数分配的形式所表示的数据。　
②组限：各组的两端数值，其中最大者称为上限，最小者称为下限。　
③组距：在分组次表中，线一组数据所包括的范围，即上限与下限的距离。　
④组宽：组距上下限之差。　
⑤组中点：每组上下限的中点，亦称组代表值。　
⑥全距：数据中最大数与最小数之差。　
编制次数分配表的步骤如下：　
1。求全距：即计算出最大的和最小的数值之差。　
2。分组：即参照全距将数据分成若干组或决定出每组组距的大小。一般来说，8≤组数≤30，组距尽量相等。　
3。定组限：选组限应使各组的上限、下限和组中点为整数或其他简单的数字。出限次数多的数不宜定为组限。　
4。归类：即将数据归入应属的组内，记下次数。　
5。计算次数：统计各组的次数。　
6。列次数分配表：表中有分组（组中点、组界、组限）、次数、以上累加次数、以下累加次数、相对次数、累加相对次数或百分比次数等栏目。　
【例2。3。1】（取自高东正《统计学概要》）某工厂的50位职工的年龄资料如下：　
20　26　28　21　25　32　34　37　15　46　
26　23　21　22　17　28　33　38　38　36　
40　18　29　23　21　27　25　26　51　48　
19　25　26　31　32　28　20　33　28　24　
42　24　16　21　26　24　32　31　35　18　
我们编制次数分配表并绘出直方图和累积次数曲线。　
①以5为组距编制次数分配表：　
年龄组别　次数（｜）　相对次数（F）　以上累加数　以下累加数　
15～19　6　0。12　50　6　
20～24　12　0。24　44　18　
25～29　14　0。28　32　32　
30～34　8　0。16　18　40　
35～39　5　0。1　10　45　
40～44　2　0。04　5　47　
45～49　2　0。04　3　49　
50～54　1　0。02　1　50　
合计　50　1　　
②绘直方图和次数多边图　
图3。1　
③绘制累积曲线：　
图3。2　
可以看出，我们得到了比原数据浓缩的数量信息。如果以组中点和组次数相对应，并把A和｜连续化，可以得到光滑的曲线。　
统计图在经济数学模型中经常使用。它利用点的多少，线的长短，面积的大小，颜色的浓淡，线条的疏密或曲线的变化，来表示数据的大小程度、变动情况、分布状态和相依关系。统计图的类型繁多，以绘图目的为标准，可分为说明图、计算图和科；以应用环境为标准，可分为挂图、桌图和书图；以所用尺度为标准，可分为算术尺度图、单对数尺度图和双对数尺度图；以形状为标准，可分为线图、长条图、时间数列曲线图、面积图、洛伦兹曲线图，立体图、统计地图、象形图、以及组织图、工作程序图和工作进度图；以统计数列为标准，可分为时间数列图、地理数列图、属性数列图和变量数列图等等。　
在经济研究中统计图是极重要的〃数学模型〃，利用它可以显示数量间的相互关系，便于进行多种复杂现象的比较，以供研究者分析和说明。尤其让使用　
者在甚短的时间内，就能得到对经济原型某一事实的明确具体的概念，减少了冗长的文字或数字的说明，引起对该事实的兴趣。　
制图程序可由下面的框图说明：　
图3。3　
除图形以外，完整的统计图还包括以下细节：　
1。　标题：有简洁的文字写在图的上方。　
2。　原文注释：写在标题下方，较小或不显著的位置。　
3。　注脚：写在图的下方，以对段首目栏予以必要的说明。　
4。　资料来源：常写在注释下方，以表明所搜集的资料的名称、页数等。　
5。　约略数字：当数字有约略时，应在注释段首、或目栏开头说明其效果。　
6。　比值：必须说明比值的意义。例如是〃总数的百分比〃还是〃增减的百分比〃，而不要以〃百分比〃代之。　
7。　数：欲强调的数应写在上端或左方，否则可写在下端或右方。　
8。　单位：行或列的数字单位必须特别指明，如标上〃￥〃或〃＄〃。　
我们经过搜集、分类、归类、列图表等程序后得到的统计资料，在形式上已比较整洁。训练有素的经济学家能够直接从统计资料中窥出其蕴藏的问题。但毕竟仍嫌杂乱繁琐，尤其是资料种类及数量较多时不便利用。就数据性质可归两类：一是中央趋势量，二是差异分散量。我们罗列如下：　
一、中央趋势量　
在有序的数据集合中，表示其中心的量称为中央趋势量。在经济中常用的有：平均数、中位数、众数、四分位数和百分位数。假设数组为x1，x2，…xn，分成K组后的组中点为　；组频数为｜j，其中j=1；…；k，则　
（1）平均数　
a）算术平均数　　
（未分组）　
（分　组）　
数据不多时可用前式，否则用后式。利用公式的性质可得简捷算法：　　　
此外，算术平均数有以下性质：　
①　　
②　（可扩充性）　
③　（最佳性）　
b）加权算术平均数　
设数组x1，x2，…，xn的重要性程度由要系数w1，w2　…，wn表征，则　　　
c）几何平均数　
（未分组）　
（分组）　
它多用于比率平均及测定动态变化量。计算方法是利用对数性质：　　　
（d）调和平均数　
（未分组）　
（分组）　
其多用于有两个计算单位时，如平均速度、平均物价等等。　
（2）中位数　
中位数指一有序数组中位居中间的数值，记作Me。中位数所在的数组称为中位数组。假设样本数n，中位数组组下限Lme，中位数组组上限Ume，低于Lme的所有项数之和为FLme，低于Ume的所有项数之和是FUme，中位数组的次数是｜me，中位数组组距为hme，则　
未分组时，　　　
分组时，　　　
（3）众数　
在一数组中出现次数最多的数，称为众数，记作M0，确定众数的方法有三种：　
a）金氏法：　　　
其中Lmo是众数所在组的下限，｜…1是众数组的前一组的次数，｜＋1是众数组后一组的次数，hmo是众数组的组距。　
b）比例法　　　
其中f0是众数所在组的次数，其余同上。　
c）皮尔生经验法　　　
4）分位数　
a）四分位数　
如果将一有序数组分割成四个部分，其三个分割点就称为四分位点。从最小数值点算起，依次称作第一、第二、第三分位数，记作Qk，k=1；2；3，且　
k=1；2；3，　
式中　表示第k个四分位数所在给的组下限，fk表示小于　的各组次数之和，　表示第k四分位数所在组的组距，n表示总次数。　
b）百分位数　
设Pk为第k百分位数，则　
k=1；。。。；99　
其中　是第k百分位数所在组的组下限，fk是小于　的各组次数之和，　是第k百分位数所在组组距，n是总次数。　
中央趋势量在社会经济中占有十分重要的地位，群体往往有向中心均衡集中的倾向，故利用它可以反映群体。作为一个优良的中央趋势量应具有六条性质：①简单明确；②感应灵敏；③定式严谨；④计算简易；⑤代数公式化；⑥抽样稳定性好。　
二、差异量数　
群体中各个个体之间存在着差异，表示变异状态的数量称为差异量数。经济统计中常见的差异量数有离中差，离均差和非离均差。它们的公式如下：　
（1）离中差　
离中差是以Me为中心的差异量数，它包括平均差和分位差。　
a）平均差　　　
其中Me是中位数，目前多采用　代替Me。　
b）分位差　
①四分位差　
Q。D=1/2＇Q3…Q1＇　
②百分位差　　　
（2）离均差　
离均差是以　为的差异量数。如标准差等　
①标准差　　　
简捷算法公式为：　　　
②P范数标准差　
（未分组）　
（分组）　
（3）非离均差　
非离均差有两极差、均互差等。　
a）两极差（全距）　　　
其中Uu是最大组的上限，Le是最小组的下限。　
b）均互差　
①未分组　　　
②分组　　　
若组距相等，则有　　　
式中h是组距，Cj是以下累加次数。　
与中央趋势量相仿，对差异量数的要求也是易于计算和理解，确定方式严密，感应灵敏，适于代数处理，以及受抽样变化的影响小。除中央趋势量和差异量数外，变异系数也是经济中常见的统计量，如　　
（1）标准差异系数　　　
（2）平均差异系数　　　
（3）四分位差异系数　　　
（4）均互差异系数　　　
（5）均互差中位差异系数　
=g/Me×100％　　　
第四章　销售机理模型化过程　　　　　
本章通过销售机理分析，提出用主观概率预测模式代替简单的数学外推预测，从而改进了销售预测的方法。通过对成本机理的分析，构造了一组适用于一般情况的成本模型，在经济收益分析中，研究了盈利能力的度量模型，进而提出了广义利润、广义创利额等概念和模型。　在风险机理的分析中，采用变异系数、偏态系数、峰态系数和标准差共同度量决策的不确定性；用熵值变量决策的不肯定性以及用实现目标值的可能性度量决策的成功与失败。在时间机理分析中提出了贴标准值法，并讨论了系列收入或支出的近似模式。　
§4。1　销售机理分析与基本模型　
在一定时期内一定数量的某种商品，所能从生产领域经流通领域，最终进入消费领域的其客观基础是什么呢？首先，是在于该种商品有用性，〃物的有用性使物成为使用价值〃。＇30＇　就是消费者对该商品有客观上的需求。其次，在按劳分配原则和物质利益原则下，消费者手中的货币应标志着其付出的劳动或社会分配。如果需求者认为商品的使用价值和价值大体上与其需求程度和价格相当，则有购买的可能性。显然，如果消费者愿意支付的数量小于供给量，则商品不能实现或完全实现其使用价值和价值。但如果降低价格则有可能实现。因此，合理的价格是商品顺利地进入消费领域的必要条件。　
我们定义能销售量这个经济概念为：在一定的市场环境和一定的行销规划下，消费者可能愿意并能够支付的需求量。所谓市场环境是指一定的地理区域和期间内的人口、经济、政治、文化和科技等的状况和水平。行销规划是指企业对销售价格、推销途径和行销努力等方面的计划和安排。显然，影响能销量的随机因素很多，而且与决策者的预测有关。因此我们视之为主观随机变量。为了简便起见，我们设能销售量是只和价格有关的随机变量。　
现在，我们分析在一定时期内未能销售掉的商品。首先，商品作为使用价值存在有一定的时间限制，〃如果商品没有按照它们的用途，在一定时期内进入生产消费或个人消费，换句话说，如果它们没有在一定时期内卖掉，它们就会变坏。并且在丧失它们的使用价值的同时，也就丧失作为交换价值承担者的属性？quot；＇31＇　因此，逾期未能售出的商品应当降价销售。否则，对经营者来说，拖延销售时间只会增加流通费用，影响资金周转，得不偿失。于是，我们可以做出经济假说，凡逾期未能售出的商品均应及时处理掉，而且每单位商品可以收回的残值约等于处理价格。这里的处理价格是指可以及时处理掉所有剩余商品的最合理的价格。一般说来，残值总是低于处理价格。　
假设现有n种待决策的商品，根据上述经济分析和假说，对有关经济量作以下数学假设：设生产量（或采购量）记为　x=（x1；x2；…xn）T，其满足x30。设能销售量是随机向量，记为：x=（x1；x2；…xn）T，其中xk（k=1；2；　…；n）的期望Exk和方差Dxk都存在，且Exk是关于价格Pk单调下降的凸函数。设价格向量为P=（P1；P2…Pn）T；且P？？。其中？是价格的约束集合，特别是？=　。设处理价格为DP=（DP1；DP2；…DPn）T这是一个给定的常向量。　
我们开始构造销售额模型。所谓销售额（Sales　Revenue）指在一定时期内的销售收入。如果商品k的生产量或采购量Xk小于或等于能销售量xk，则商品都可以以价格Pk售出。但如果供给量Xk大于能销售量xk，则只有数量为xk的商品k以价格Pk售出。根据假说，剩下的数量为Xk－xk的商品必须以处理价格DPk及时处理掉。因此，我们得到：　
销售额模型　　　
总销售额　　　
其中随机指标集合　
J1（X，x）=｛k？Xk￡xk，1￡　k　￡　n｝　
J2（X，x）=｛k？Xk》xk，1￡　k　￡　n｝　
J1（X，x）∩J2（X，x）=？且J1（X，x）∪J2（X，x）　
=｛1，…，n｝　　　
我们下面给出过剩损失模型，所谓过剩损失是指由逾期未能售出商品所造成的损失。由假设DPk等于残值SVk。当Xk￡xk时剩余量为零，当Xk》xk时，剩余量为Xk－xk。每剩余一个单位的商品，则损失（Pk－DPk），因此　
过剩损失：　　　
总过剩损失：　　　
我们对销售额模型稍作变形，则有　　　
因此，我们有：　
SRk（Xk；xk）=PkXk－ELk（Xk；xk）　　　
其中PkXk是顺利情况下商品K的销售额。　
类似地，我们有　　　
即随机的销售收入等于正常的销售收入减去随机的过剩损失。　
§4。2　成本机理分析和基本模型　
经营者在从事一项经济活动中，总是要有一定的人力、物力和财力的消耗。商品成本是以货币形式表现的企业为生产和销售商品而