经济数学模型化过程分析-第6章

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§4。2　成本机理分析和基本模型　
经营者在从事一项经济活动中，总是要有一定的人力、物力和财力的消耗。商品成本是以货币形式表现的企业为生产和销售商品而消耗的生产资料价值和支出的劳动报酬。一个较一般的成本概念是〃成本是为了达到一个特定目的而已经发生或可能发生的，以货币计量的牺？quot；。＇33＇模型中提到的成本指已统一量纲为货币单位的成本。　
我国对成本的一般分类准则有按经济性质划分的要素分类；有按用途和计入成本的方法划分的项目分类等。由于经济现实的复杂性、成本的概念、归类方式及统计方法都不太统一，严格地说来，财会的成本资料不能直接用于决策分析，因为我们难以把各种成本都归入模型。因此必须寻找有实用价值的成本概念和新的思想，做为我们模型的依据。　
管理会计学为我们提供了一些极有价值的新概念和新思想。虽然有些概念从数学上看是简单的，但对经济学上却曾意味着突破。现在我们就与决策有关的概念加以分析。对于企业的一项决策而言，并非所有的成本都与决策有关，故可将成本分为相关成本（relevant　cost）和无关成本（irrelevant　cost）。显然，无关和相关是相对的，需因情况而异。选择模型所需成本信息时，首先应做分类工作。　
根据决策者所处的管理层次，可以将成本分为可控成本（controllable　cost）和不可控成本（uncontrollable　cost）。决策者订出归自己控制的成本范围后，可有效地利用成本信息。　
一般地说，成本的性质虽然各有不同，但就其与生产数量的关系而论，可分为固定成本（fixed　cost）和变动成本（variable　cost）。前者指在一定时期内，一定的经济活动规模下，不随产量而变动的费用支出；后者指随产量做正比例变动的费用支出。应当指出，还有一种半固定成本（Semifixed　cost）；它随着产量的增长呈阶梯形上升。为了简便起见，我们假设已将此成本分别归入固定成本和变动成本，并且假设单位变动成本是常量。其实，变动成本不一定是线性的，但当企业的生产规模不变时，它很接近线性。对企业而言，变动成本主要是指直接原材料、直接人工等费用，对商业企业而言，变动成本主要是指进购原价、小包装费、运输费和佣金等。固定成本主要是管理费、折旧费等。　
在很多经济文献中常把相关的固定成本处理成常量，但管理会计学根据固定成本涉及的范围将它划分为专属固定成本（Special　cost）和联合固定成本（joint　cost）。前者指专门由于某种经济活动的存在而发生的固定成本；后者指由于若干经济活动的存在而发生的固定成本。在这里我们假设，第k项数量决策Xk》0，则其专属固定成本一定发生，否则不发生其专属固定成本。当n32时，联合固定成本存在，且其为零的充要条件是所有的经济活动都不发生。　
在多品种的情况下，如何合理地把固定成本分摊到各项商品的成本之中是很重要的。一般的分摊方法有按固定资本占有分摊，按销售额分摊或按变动成本分摊等方式。我们假设，固定成本分摊系数是已知的，现在我们讨论一种特殊的成本或损失，即所谓机会成本（Opportunity　cost　or　alternative）。机会成本并非通常所谓的成本，而是指在投资方案的选择中，如果选择了一个投资方案，则必须放弃投资于其他途径的机会，其他途径中最好的一种投资的收益，就称为这项投资方案的机会成本。机会成本与实支成本（Outlay　cost）是相对应的。在我们研究的问题中，缺货成本（Shortage　cost）就是一项机会成本。即在企业确有剩余生产能力或购销能力的情况下，因决策时优柔寡断或判断失误，没有能够及时地适量地向市场提供商品而损失的潜在收益。一般说来，商品k的机会损失应小于单位创利额。但应指出缺货成本不仅是含有一定的主观因素，而且也包含客观上可能发生的成本。生产企业的缺货成本中可能包括生产能力闲置损失，加急订原材料费以及追加生产费用等；商业企业的缺货成本中可能包括行销能力闲置损失、加急进货费用、相关商品的销货损失以及商誉损失等。　
鉴于这些情况，我们认为缺货的可能性很小或根本不承认缺货成本。可以令其为零；如果不允许缺货，则缺货成本为无穷大；这时问题转化为存量控制问题。在我们的模型中不严格地区分缺货成本和机会成本，而笼统地称计入缺货成本或机会成本的成本为广义成本。　　
至此，我们分析了有关的一些成本概念并做了适当的假设。在这里我们只是从理论上讨论了这些经济量。关于如何定量这些信息。可以在管理会计方面的文献中找到。　
我们现在假设，不可控制成本为常量NC。若从事商品k的生产（购销）活动存在（Xk》0），则专属固定成本为常量SFCk。否则（Xk=0），专属固定成本为零。若n=1，则无联合固定成本。若n32；则联合固定成本为零的充要条件是X=（X1，X2，…，Xn　）T=0。若X10，则联合固定成本为常量JFC。这n种产品（商品）的联合固定成本和不可控成本的分摊权系数为l1，l2；…，ln　；且满足：　。单位变动成本为常量UVCk，单位缺货成本为常量USCk。下面我们将基于上述假设来构造模型。由于假设非常清楚，故仅将构造的模型罗列于下：　
（1）固定成本方面　
商品k的固定成本FCk（X）：　　　
商品k的单位固定成本UFCk（Xk）：　
UFCk（Xk）=＇lk（NC＋JFC）＋SFCk＇/Xk　
总固定成本FC（X）：　　　
（2）变动成本方面　
商品k的变动成本VCk（Xk）：　
VCk（Xk）=UVCk·Xk　
总变动成本VC（X）：　　　
（3）成本方面　
商品k的成本Ck（X）：　
Ck（X）=FCk（X）＋VCk（X）　
=lk＇NC＋JFC·Sign（XTX）＇＋SFCkSign（Xk）＋UVCk·Xk　
单位成本UCk（Xk）：　
UCk（Xk）=UFCk（Xk）＋UVCk　
=＇lk（NC＋JFC）＋SFCk＇/Xk＋UVCk　
总成本C（X）：　　　
（4）缺货成本方面　
缺货成本SCk（Xk，xk）：　　　
总缺货成本SC（X；x）：　　　
其中随机指标集合J1　（X；x）=｛k｜Xk￡xk，1￡k￡n｝　
（5）广义成本方面　
广义成本GCk（X；　xk）：　　　
其中随机指标集合：　
J1　（X；x）=｛k｜Xk　￡　xk；1￡　k　￡n｝　
至此我们构造完了主要的成本模型。　　　
§4。3　经济收益与基本模型　
衡量经济收益的指标很多，为了在量纲方面有统一的准绳，我们只考虑与货币有关的指标。下面我们就最重要的收益概念进行分析和构模。　
我们进行模型化分析的目的是为了实现企业的最终目的。企业的最终目的是利润，离开了利润，企业就失去了生存和发展的条件。所以在市场经济条件下，企业无一不是以利润作为行动的根本准则。一般认为，能提供最高利润的方案无疑被认为是最优方案。　
利润指销售收入减去全部成本后得到的收益，利润率则指利润和全部成本之比。这里所说的利润是指净利润。净利润中再扣除税赋则为税后净利润或税后利润。我们知道，如果需考虑税的因素时一般只须在利润上乘一个（1－税率）或扣除产品税（=产量×单位税金）即可。为了简洁起见，我们暂不考虑税的因素。下面给出利润的基本模型：　
利润：　
NIk（X；xk）=SRk（Xk；xk）－Ck（X）　
总利润：　
NI（X；x）=SR（X；x）－C（X）　
如果考虑机会成本，则得出广义利润的模型：　
广义利润：　
GNIk（X；xk）=SRk（Xk；xk）－GCk（X；xk）　
总广义利润：　
GNI（X；x）=SR（X；x）－GC（X；x）　
我们应当指出，当机会成本为零时，利润和广义利润相等。为了避免比率模型中出现两个随机变量之比，我们假设一切比率模型都是分子的期望和分母的期望之比。例如广义利润率等于广义利润的期望和广义成本的期望之比。我们下面讨论一个与盈利能力有关的经济概念。　
一种令人困惑的说法是：〃当卖价低于全部成本很多时，厂商可以从事一定程度的经营而受益〃。这个似非而是的说法突破了传统的观念。我们依据前面的成本分析，单位成本是由单位固定成本和单位变动成本构成的，前者随经营量而下降，后者相对稳定。因此，既使单位价格低于单位成本也不一定经营的业务量愈大，赔的愈多。使人困惑的原因是人们习惯于以单位利润为每一单位产品（商品）的盈利能力。目前，国外愈来愈多的企业改用创利额来刻划盈利能力。所谓创利额（边际贡献）它等于销售收入扣除变动成本。上述问题中，只要单位创利额（Pk－UVCk）》0，当Xk》FCk/（Pk－UVCk）时，即可扭亏为盈。因此从数学的角度看企业采用创利额作为盈利能力的度量是有一定道理的。利用创利额代替利润的另一优点是当固定成本不变时，创利额和净利润的极大值点是一致的，因此不必收集和处理固定成本方面的信息，从而提高了决策的效率。此外，创利额在预测、决策、弹性预算、控制和考核分析中均具有非常重要的作用。由经济定义，创利率（marginal　ine　ratio）为创利额和销售额之比。根据前设，我们令创利额模型为创利额的期望和销售额的期望之比。　
创利额：　
MCk（Xk；xk）=SRk（Xk；xk）－VCk（Xk）　
总创利额：　
MC（X；x）=SR（X；x）－VC（X）　
如果我们把机会成本也看成变动成本，则得到广义的变动成本。我们称销售收入扣除广义变动成本为广义创利额，则　
广义创利额：　
GMCk（Xk；xk）=SRk（Xk；xk）－VCk（Xk）－SCk（Xk；xk）　
总广义创利额：　
GMC（X；x）=SR（X；x）－VC（X）－SC（X；x）　
与上相同，广义创利额模型为广义创利额的期望和销售额的期望之比。　
§4。4　风险机理分析与基本模型　
风险一般是指得与失的机会或可能性，广义的风险可以是经济上的，政治上的，法律上的，或物质上的。我们这里所讨论的风险是指经济方面的。　
风险不同于危险。前者既有坏的可能性，也有好的可能性；而后者仅有坏的可能性。按决策进行经济活动的结果总会与期望有一定的偏离，因此不确性是与风险有关的概念，企业常常在不确定或不完全确定的情况下作出决策。所以，为了将决策分析工作建立在科学的基础上，通常把不确定性作为风险加以计量，从而便于进行定量分析。我们下面对风险的计量及模型化进行探讨。　
一、风险的一般度量　
风险是指得失的机会或可能性，因而风险的度量与数学上的随机变量的度量很接近。一般对风险通用的变量是标准离差（Stardard　deviation），风险愈大，标准离差也愈大。应该注意的是，标准离差是绝对量。由于绝对量缺乏可比性，因而标准离差不能很好地反映出风险的全貌。例如，销量庞大的商品和销量较小的商品相比。当前者的标准离差大于后者时，无法准确断定前者的不确定性大于后者。为了较全面地刻划风险，在此再给出一个相对性指标一一变异系数，它等于标准差和期望之比。变异系数是反映标准离差在期望附近摄动水平的指标，从而有利于客观地说明不确定性。另外，还可以用偏态系数和峰态系数等数学概念来共同度量风险。　
二、风险的新度量一一熵　
风险与不确定性的关系十分密切。目前国外对风险和不确定性这两个概念没有明确区分。但风险还有另外一层含意，即风险指人们在决策实施之前不能肯定地知道究竟结果如何，亦即在有风险的情况下，决策的结果具有不肯定性。即使在同一情况下，不同决策的结果的不肯定性也会有差异。因而应当找到一个模型从数值上度量决策的不肯定性。下面我们来讨论适宜度不肯定性的标准。　
假设一项决策只有有限个彼此不相容的结果A1，…，An，它们相应的可能性（先验概率或主观概率）是P（A1），…，P（An），设这个度量不肯性的量为H。首先，希望这个量相对于P（A1），…，P（An）是稳定的，即当P（A1），…，P（An）有微小摄动时，它不会有显著的变化。因此，这个量应该是关于P（A1），…，P（An）的连续函数；其次，在一般情况下，可能性的结果会愈多，则不肯定性愈大。因而，至少对决策的几个等概结果而言，这个函数是关于n单调上升的；最后，我们希望若干次结果较少的决策经验能够运用到结果较多的决策上。用数学语言讲，这个量H应满足以下三个条件：　
（i）H是P（A1），…，P（An）的连续函数；　
（ii）对n个等概结果的试验，H是n的单调上升函数；　
（iii）一个试验分成相继的两个试验时，未分之前的H即为分后的H的加权和。　
唯一能够满足上述三个条件的函数就是由申农（Shannon）找到的熵函数。从物理学角度看，熵是系统内部无序程度的度量，这从另一方面说明。用熵来度量决策后果的不肯定性是合理的。由于模型中采用主观概率预测，所以应该认为此时熵值不仅反映了决策后果的不肯定性，而且反映了决策者对决策事件的不肯定程度。本文定义风险熵的概念为：若h是和得与失有关的随机变量，则称h的熵值为其风险熵。若h遵从离散分布，则其熵值为：　　　
其中P（Ai）是事件Ai发生的概率，K是正常数。若h服从连续型分布，则其熵值为：　　　
其中P（t）是h的概率密度函数。当对数以2，e和10为底时，熵的单位分别为比特（bit），迪西特（decit）和奈特（nat），不论单位如何，熵值愈大，说明决策后果的不肯定性也愈大。对于与决策有关的随机模型来考虑每个经济模型的熵值可以有利于正确地进行决策。　
三、广义盈亏平衡分析及安全边际　
不得不失是风险中的一种极端的状态，在经济中称为盈亏平衡，即利润为零。对这种临界状态下各种经济量及其关系的分析称为盈亏平衡分析（或称损益分界分析，保本分析等）。一般定义为：盈亏平衡分析是研究固定成本、变动成本和利润三者关系的分析技术，其模型为：　
销量×（价格－单位变动成本）=固定成本　
销量=产量（隐含假设）　
盈亏平衡点=固定成本/单位创利额　
其中单位创利额=价格－单位变动成本。与盈亏平衡关系密切的经济概念有安全边际（margin　of　Safety）和安全边际率，其模型是：　
安全边际=计划业务量（或实际业务量）－盈亏平衡点业务量　　
安全边际率=安全边际/计划业务量（或实际业务量）　
在上述条件下盈亏平衡点所提供的创利额恰好弥补固定成本，所以安全边际所提供的创利额就是利润。从另一角度看，盈亏平衡点业务量所获得的销售额正好弥补了全部成本。因此安全边际和安全边际率越大越能经受市场的冲击，企业的经营风险也越小。　
从上述模型中，可以看出几个问题：　
（1）销量（业务量）等于产量（计划量）的隐含假设只适用于供不应求的情况。　
（2）当计划量不等于实际业务量时，安全边际和安全边际率不能度量未来的风险。因为这样会得出计划量愈大，则安全边际和安全边际率愈大、决策愈安全的结论。　　
（3）模型没有考虑决策对安全的影响，而且只适合于单品种，价格不变。无机会损失等比较确定的情况。　
为了解决上述问题，可以利用广义利润的期望来代替一般的利润，从而得出以下模型：　
广义盈亏平衡模型：　
E｛GNIk（X；xk）｝=0　
插图5。1　
广义盈亏平衡点：　
GBEPk=｛Xk｜E＇BNIk（X；xk）＇=0｝　
广义总盈亏平衡模型：　
E｛GNI（X；x）｝=0　
插图5。2　
广义总盈亏平衡超曲面：　
GB