数理化通俗演义-第5章
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飘 。
过了一会，正当人们耳热酒酣之时，忽听楼下有人惊呼：“天狗食月了！”人们呼地一下拥到窗前，见空中那轮本来如镜初磨的明月，一点点地被吞入黑影，渐渐如弓如钩，本来是明月星稀的十五之夜，突然天地浑沌就如初一初二一般。顿时冷风嗖嗖，阴雾惨惨，戴法兴万分沮丧。戴夫人慌忙命ㄚ环老妈子快到院中摆设香案，然后亲自烧香磕头。家兵家将也都弯弓搭箭，向空中乱放。院子里，敲锣打鼓，摔盆打碗地乱做一团。众人疯狂呼喊，想把可恶的“天狗”轰走，救出它嘴里的明月。然而，在这一片混乱之中，也有头脑清醒者，认为祖冲之讲得有理。这可真是一次最好的宣传！
戴法兴心里又恼又怕，也顾不得体面，长跪在客听外的平台上，对天捣蒜似地叩头。一会他忽然想起今天这事的主谋来，便起身问家人：“祖冲之那里去了？”
欲知后事如何，且听下回分解。
第十回
割圆不尽 十指磨出血，周率可限 青史标美名
——圆周率是怎样算出来的？
却说那次祖冲之在戴法兴的寿宴上测报月蚀，得罪了这个权臣，自觉在京城不好存身了，便应邀到南徐州（今江苏镇江）作了刺史刘延孙的助手。好在这个职务比较清闲，他便把大部分时间维续用来研究天文历法。积三年之辛苦，于公元426年（大明六年）他终于搞出一部比较科学的《大明历》呈献给孝武帝，请求颁用。不想那个戴法兴从中作梗，不但新历法不能颁行，到大明八年，就连他当刺史助理的官职也被革去了。
祖冲之赋闲在家，心里郁愤难平。他深感当时的世道要干成一件事实在难。可他想自己才36岁，难道此生就这样一事无成？于是就想搞点与政界牵涉不大的事－研究数学。他先为古代数学名著《九章算术》作了注。《九章算术》成书于公元四、五十年间，集我国古代数学之大成，历代有不少人曾为它作注，但都碰到一个难题：那就是圆周率（现在叫π，它是圆周和直径之比）。很古时候，人称“径一周三“，即π＝3。王莽新朝时精确到3。1547，东汉时张衡又精确到3。1466，三国时刘徽为《九章算术》作注，则认为最精确的应是3。14。四百多年来众说不一。
祖冲之一接触到圆周率问题，便被困扰得坐卧不安。他的住所里，雪白的粉墙上，画了一个大大的圆圈，地上也是大圈套小圈，桌上到处是纷乱的稿纸。他背着手在房间里踱来踱去，一会儿好像自己走进了墙上那个大圆圈中，一会又好像桌上那一堆圆圈一齐涌进自己的脑子里，如乱麻一团。唉，这周径之比是如何得出的呢？他又回到桌前抽出刘徽注的那本《九章算术》坐下来边读边想。
这时屋里还有一个十三、四岁的男孩，他是祖冲之的儿子，叫祖暅。别看他小小年纪，却天资聪颖，戏耍之余常爱在父亲身边推算那些数字和图形。今天他看到地上这许多圆圈感到很新鲜，便单腿在地上跳起圈来。突然听到父亲拍案喊道：“有了！”将他吓了一跳，忙跑过去垃看父亲的衣袖问道：“甚么有了？”“办法有了。暅儿，你看刘徽这里不是明明写着割圆术吗？只要将一个圆不断地割下去，内接上正多边形，求出多边形的周长，不就有了圆周率了吗？暅儿，你会吗？”
“我会，用爸爸教过的勾股定理一一去求就是了。“
“道理简单，算起来可就费动了。从今天起，咱爷儿俩就来办这件事，你可要十分仔细啊。“
说完，祖冲之到院里搬来几根大竹子，操起一把刀破成细条，又一一斩成短截，整整干了两天，地上堆起了一座竹棍的小山。现在听起来奇怪，搞计算怎么先干起竹木活来？原来，当时既没有阿拉伯数字可以笔算，也没有算盘可以珠算。运算全靠一种叫算筹的原始工具。它是用竹木削成的一根根小棍，用来拼摆成各种数字。数字纵横两式，个位、百位、万位用纵式，十位、千位用横式。一切加、减、乘、除全靠用这些木棍在桌上摆来摆去。今天遇到这么大的算题，平时的那些算筹哪里够用？
再说，祖冲之将这一切准备停当之后，便在当地画了一个直径为一丈的大圆，将圆割成六等分，然后再依次内接一个12边形、24边形、48边形……他都按勾股定理用算筹摆出乘方、开方等式，一一求出多边形的边长和周长。你想这祖冲之何等聪明，他知圆周率是周长与直径之比，所以就把直径定为一丈，这样就省掉再除一次的程序，不断求出多边形的周长，也就不断逼近圆周率了。祖暅也在那个大圆圈里跳进跳出地帮他拿算筹，记数字。就这样直算得月落鸟啼，直算得鹤鸣日升，那竹棍摆成的算式从桌上延到地下，又满地转着圈子，一屋上下全都是些竹码子。这批算筹又都是些新破的竹子，还没有来得及打磨，祖冲之用手捏着、想着、摆着，不消几日，渐渐指头都被磨破，那绿白相间的新竹竟染上了红红的血印。
正是：
公式定理虽无声，原来却是血凝成， 莫言数字最枯燥，多少前人拚博情。
他们父子这样不分昼夜地割供算商。这天，他们割到第96份，真是如攀险峰，愈登愈难。当年刘征就是到此却步，而将得到的3。14定为最佳数据。夜静更深，小祖暅早已眼皮沉重，东倒西歪地想睡了。祖冲之想，这些日子也实在辛苦了这孩子，便忙打发他去睡觉。他推开窗户，深吸了几日这建康城里夜深时分甜甜的空气，看了一回星空，又转过身来看看当地那个大圆。那内接的96边形，与圆都快接近于重合了。按说能算到这一步已经实在不易，用这个数字再去为《九章算术》作注，也就完全可以了。他用拳头捶了捶酸困的后腰，又摸摸缠了布条的手指，向墙边的书架踱去，忽然背后唰啦啦一阵响声。他猛一回头，哎呀！原来刚才末关窗户，一阵夜风吹起窗幔，把竹筹摆起的许多算式扫得七零八落，抛洒一地。这式子刚摆完还没有来得及验算，也未抄下得数。要知每算一遍就要进行十一次加减乘除和开方，多么繁重的劳动啊！祖冲之一下扑在地上，用还渗着血的十指捧起一掬算筹，对着深邃的夜空，低声喊道：“老天啊！你也和戴法兴一样，如此欺人。”他一甩衣袖，索性将桌上的残式全部拂去。又重新摆布起来。就这样不知又过了多少天，只知花开花落，月缺月圆，父子俩把地上那个大圆直割到24576份，这时的圆周率已经精确到3。14159261。祖冲之知道这样不断割下去，内接多边形的周长还会增加，更接近于圆周，但这已到了小数点后第八位，再增加也不会超过0。00000001丈，所以圆周率必然是3。1415926＜π＜3。1415927。当时祖冲之就把圆周率定在“上下二限“之间。这上下限的提法确是祖冲之首创，他得出的圆周率精确值在当时世界上已遥遥领先，直到一千年后才有阿拉伯数学家阿尔卡西的计算超过了他。所以国际上曾提议将圆周率命名为“祖率”。这都是后话。
还说当时，经过无数个日夜奋战，图形遍地，算筹成堆，祖冲之终于算出了新的圆周率。这天他兴致极好，便带着儿子祖日桓出了都城，到郊外一座小山上的寺院里吃酒、访友、散散心。他边走边说：“暅儿，这圆周率在天文、历算、测地、绘图上处处都要用到，前面的几位数字你可要牢牢记熟。”小祖暅手里拿着一枝野花，扬起稚气的圆脸，往山上一指，说：“好记，好记！山颠一寺一壶酒，（3。14159）。爸爸今日心情甚好，可以开怀畅饮了。”祖冲之不禁仰天大笑，一来这些日子的辛苦总算有了个结果，二来小暅儿如此聪明，不怕事业后继无人。那祖日桓后来真的成了我国历史上有名的数学家。祖暅的那句玩笑还真的又引出了一段故事。且待下回分解。
第十一回
无名僧 天台山上收高徒，智和尚 一把尺子量北斗
——世界上第一次实测子午线
话说祖冲之推算圆周率后，告诉儿子说这数字如天机一般珍秘，要他切切记住。那祖暅倒随口念出一句“山巅一寺一壶酒（3。14159）”真的又引出一段故事。时过250年，到了唐中宗年间。在今浙江省天台县，有座天台山，山上草木葱笼欲滴，层峰叠嶂入云，海风习习，仙雾飘飘。山巅有一寺名国清寺，寺不大而甚雅，僧不多而道深。每日里松涛流水伴着那晨钟暮鼓，别是一番风韵。这日住持和尚在僧房坐着，旁边坑桌上放着一壶用山前桃花，山后梅瓣，房前竹叶，寺后松针酿成的功果酒。这位老僧也不知姓甚名谁，几多年纪，白眉下一双慧眼炯炯有神。老僧命弟子取来一个朱漆木盒，抓出一把檀木算筹，在桌上横竖相间地摆开，算了起来。也不知过了几个时辰，窗外竹影斜移，室内香烟缭绕，静得落针可闻。几个弟子垂手恭立，猜不透师傅今日为何茶饭不吃，如此潜心。忽然，老僧将手中算筹一拍，说道：“今日当有弟子前来求见，已到山前，何人下去为他领路？”一位小僧连忙应声下山。过了一个时辰，老僧又将算筹一拍，说道：“今日当有异人而至，门前流水合该西流。”言犹末毕，山门外水声哗哗，几个弟子忙推窗而望，只见平日东流的溪水，忽折而返西，那水面上的落花飘叶也都漾漾荡荡地向西飘去，遇有高坎小坡处，都能顺渠而上，像有什么吸着一般。几个僧人大鸳失色，啧啧不止。这时僧房门开，只见小僧背后跟进一个二十四、五岁的青年，一双芒鞋，风尘仆仆。一件袈裟，斜披肩上，一看就是远游而来。老僧微微启目，见这人气色沉静，犹如松间明月，谦恭有志，又如新竹之有节，果可深造；不觉笑上眉梢。这年轻人见老僧看他，忙双手合掌道：“小僧有礼，弟子拜见师傅。”老僧忙离座下地用手扶住，说：“前几日我就算出你要来求我算法，今日在此坐等多时了。我不久当西去，这么多算书、算法正愁无人可传，今日你来真是天作之合。”说着便取过桌上酒壶，旁边早有人递上空杯，那年轻人连忙摆手推辞。老僧说：“我们佛家向来不食酒肉，但我这酒，非一般水酒，每逢收徒都要赠送一杯。”那青年双手接杯，一饮而尽，顿觉四体轻快，耳聪目明，心里愈加沉静如水，好似道行又长了一寸，便连忙合掌再谢老僧。
这位年轻人是谁呢？原来他姓张名遂，法名一行（683…727），从小好学，尤爱天文历算，只因权贵所逼，在河南嵩山的嵩岳寺里出家为僧。那嵩岳寺也是有名的寺院，武则天当皇帝时曾把这寺定为她的行宫，里面有不少高僧和藏书。张遂在这寺里住了几年，通读藏书；研习数学，但很快他又不满足于现有的学习条件。听说浙江天台山有一位高僧，便千里迢迢来这里请教。再说这位老僧见张遂眉清目秀十分聪慧，心里也很喜欢，使领着他打开一间间僧房，去看那满墙满架的藏书，全是些《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张正建算经》、《缀术》、《缉古算经》、《五曹算经》、《五经算术》之类的珍籍。还有一些从印度传入的算书、算法，墙上画的也尽是些勾股图、割圆图、纵横图，把个张遂喜得开一间房念一声阿弥陀佛。从此他便在这里住下，遍读藏书，面请机宜，直到公元710年，才又回到嵩岳寺里。这是张遂一生最重要的阶段，至于他学到了什么天机，史书无载，作者也就无从披露。
再说张遂出家为僧的这些年月，却是社会上斗争极其激烈的时期。公元704年武则天病死，中宗李显即位。710年李显又被毒死，睿宗李旦即位。到了第三年，李旦自觉无能，便将皇位让给儿子玄宗李隆基。这李隆基倒是个有为君主，他二十七岁即位，年富力强，有志于改革。开元元年（713年）他连连下求贤诏书，徵召有才之人，717年又特意遍访有才的功臣弟子。张遂的祖上曾对朝廷有功，因此被徵调回京。玄宗对他极为尊重，常请教一些科学方面的问题，张遂因此竭尽全力，改革历法，制造天文、计时仪器。到开元十二年（724年），他又领导了全国大规模的天文测量。各测量队在北起今河北蔚县，南到今越南河内、顺化的漫长的路线上观察日影、星辰的变化，测得的数据全都及时送回长安，由张遂淮总计算。
这天夜静时分，张遂又登上长安城里的天文台仰观星空。浮云似水，繁星如麻。他一一辨认看星座，计算着它们的位置、亮度。突然背后有人说道：“夜已很深，法师还未休息啊。”张遂转身，见一中年汉子，长袍便服，正拱手施礼。他借着月光细看，忙道：“南宫先生，原来是你，何时返京？”“我今日下午回到长安，知你定在这里观星，便来找你。有一件事扰得我坐卧不安，所以匆匆来见。”原来这人叫南宫说，是张遂派到河南阳城的天文测量队的队长，也是他组织这次全国大测量的主要助手。测量工作有一项主要内容就是量出各地不同的“北极高度”。因为地球是个圆形，各地地平线对北极星仰角不同，这仰角叫做北极高度；肉眼看到的北极星的高度也就不同。但是怎样测算这个角度呢？南宫说在野外作业中碰到了这个问题，很觉为难，因此特来向张遂请教。张遂听完来意，便说：“贫僧看到各队送回的星表、数据，这几日也在思虑这件事。我这里有一把尺子或可试用。”说着从怀中取出一把直角拐尺，角间有一弧形刻度，角顶有丝线，系一铜锤。张遂整了整袈裟，仰面找见北极星。只见他将拐尺举起，长边对准眼睛，同时指向北极星；铜锤缀线，自然下垂，他用手指指着垂线与短边的夹角，读出弧上的度数，说：“这就是地平线与北极的夹角，也就是北极的高度，你可拿去试测。”南宫说一时还想不出，这个简单的拐尺如何能运测带算，一下就解决了一个复杂的难题。便道：“敢问师傅，这件宝器可是当年天台寺里所传？”张遂哈哈一笑说：“南宫先生想到哪里去了？你我研究天文，推算历法，三、四年来哪件仪器不是靠自己动手，何来神助。快拿去使用，还望在测试中不断改进呢。”
张遂的尺子叫“复矩“，不但能测出北极高度，而且这个度数同时也就是地球北半球的纬度。这是因为地球是个圆形，一条子午线穿过南北两极，当我们站在北极时，北极星正在头顶，与地平线垂直成90度。如果站在赤道时，若北极星与地平几乎重合，成0度。沿着子午线走，北极星的高度也就逐渐变化。这尺子到底是怎样造出来的，无从可考，但这实在是一个了不起的创造，今日凡学过平面几何的人都可以试着去验试一番。
张遂一行和尚，用复尺测出了纬度，更重要的是有了纬度就可以去计量一度子午线的长短，可以计算整个子午线的长短。当时他算出每度弧长132。03公里，虽与现在测得的111。2公里相比还不甚精确，但这在世界上确是第一次实测子午线每度的弧长。前面第三回我们曾讲过阿基米德和埃拉托色尼测量地周，但那还是一种推算，并不是实测子午线。在张遂之后90年，到公元814年，阿拉伯人才在幼发拉底河平原上进行了一次子午线的测量。
再说张遂发明“复矩“，领导了大规模的天文测量，在掌握大量数据的基础上，又研究了日月蚀，节气令，编制了《大衍历》，倾�
