世界近代中期科技史-第12章
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求曲线的曲率等。在《流数术》中，牛顿还附入了一个积分的简表。但《流
数术》在牛顿生前也未能出版。直到1736年，即牛顿逝世9年后，这一著作
方从拉丁文原稿译成英文出版。
1676年，牛顿写出了研究微积分的第三部重要论著：《曲线求积法》（一
译《求曲边形的面积》）。早在1672年，牛顿在研究华里斯的求积方法时，
就发现了曲线的作法及其计算方法。在研究求积问题的基础上，牛顿在《曲
线求积法》中进一步改变了对无穷小量的看法，并试图进一步消除甚至完全
抛弃无穷小量的概念，以建立起不用无穷小量的微积分。他说：“我认为数
学中的量并不是由非常小的部分组成的，而是用连续的运动来描述的。直线
不是一部分一部分的连接，而是由点的连续运动画出的，因而是这样生成的；
面是由线的运动，体是由面的运动，角是由边的旋转，时间段落是由连续的
流动生成的。”牛顿在放弃无穷小量的概念之后，代之以另一新的观念：最
初的和最终的比 （亦译为基本的和最终的比）。他说：“流数可以任意地接
近于在尽可能小的等间隔时段中产生的流量的增量，精确地说，它们是最初
增量的最初的比。”同样，牛顿的这一著作也直到1704年才公开发表。
尽管牛顿在对无穷小量这一基本概念的表述中，经历了前后不同的演
变，并因此引起了这一概念自身的混乱。但是，正是在持续十年左右的探索
中，微积分的基本原理和主要方法，都由牛顿较为完整地建立起来了。
后来，牛顿把微积分的基本原理写入他在1686年底完成的《自然哲学的
数学原理》这一总结性的著作中。在《原理》的第三版中，牛顿似乎已在微
积分的极限理论周围徘徊。他说：“量在其中消失的最后比，严格说来，不
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是最后量的比，而是无限减少的这些量的比所趋近的极限，而它与这个极限
之差虽然能比任何给出的差更小，但是在这些量无限缩小以前既不能越过也
①
不能达到这个极限。”当然牛顿只是提出了最初的极限概念，并未能最终建
立起极限理论。但是，牛顿的极限概念无疑是后来法国著名数学家柯西（1789
—1857年）建立极限理论的思想起点。所以，尽管牛顿的微积分方法本身还
不十分完善，而且还缺乏严密的数学理论基础，但是，作为一种全新的数学
方法，它的发明已由牛顿基本上完成了。
微积分的发明，是继笛卡尔和费尔玛的解析几何发明之后，近代数学史
上的又一大功绩。自此之后，整个数学才真正进入了一个全新的发展时期—
—高等数学的发展时期。如果说，解析几何的发明还只是高等数学的曙光的
话，那么微积分的发明则是高等数学的光辉灿烂的日出了。自此以后，整个
近代数学的面貌就大大地改观了。
微积分的发明，也使整个近代科学获得了全新的数学方法，因为“只有
微分学才能使自然科学可能用数学来不仅仅表明状态，并且也表明过程：运
②
动” 。
当然，在很少一段时期内，在天文学和力学以外的自然科学领域内，人
们尚未一下看到这一新的数学方法的潜力。直到19世纪70年代初，当英国
著名电磁学家麦克斯韦（1831—1879年）运用微积分建立起关于经典电磁理
论的麦克斯韦方程时，人们才进一步认识到这一数学方法的巨大威力。
（2）莱布尼茨 （1646—1716年）
①非凡的才能。莱布尼茨生于德国的莱比锡。1664年，莱布尼茨在莱比
锡大学毕业，以一篇有关逻辑学的论文获哲学学士学位。1666年，他又以一
篇有关方法论的论文 《论组合的艺术》获阿尔特道夫大学的哲学博士学位。
同年，获阿尔特道夫大学教授席位。此后，莱布尼茨即任教于该校，开始进
行哲学、数学、力学等方面的科学研究。
青年时代的莱布尼茨就十分关注应用数学的发展。当时，在应用数学的
发展中最引人注目的进展是机械式计算机的发明。早在1649年，法国著名数
学家巴斯噶就发明一种可进行加减运算的机械式计算机。自此之后，法国曾
一度成为计算机技术的研究中心。正是在这一背景之下，莱布尼茨也来到巴
黎，研究了以巴斯噶计算机为基础的计算机技术。
在巴斯噶计算机的基础上，莱布尼茨进行了两方面的改革。其一，莱布
尼茨把巴斯噶计算机中的十进制改为由他发明的二进制。当时，在明末清初
来华的法国传教士曾把中国阴阳八卦与自然哲学思想带回法国。在中国阴阳
八卦中的朦胧的二进制观念的影响下，莱布尼茨最先发明了二进制，并立即
把这种二进制运用到他的计算机中。对于早期的那种机械式计算机来说，虽
然莱布尼茨的二进制未能显示出明显的优越性，但它对后来计算机技术的发
展产生了重要的影响。其二，莱布尼茨对巴斯噶计算机的机件设备也进行了
一些改革，如加装了梯形轴等装置。由于进行了上述二进制和机件两方面的
改革，莱布尼茨终于在1671年发明了一台新的机械式计算机。
由于莱布尼茨在哲学和科学上的才华，1672年3月，作为梅因兹选帝侯
① ＇美＇M·克莱因：《古今数学思想》第二册，上海科学技术出版社1979年版，第74— 76页。
② 恩格斯：《自然辩证法》，人民出版社1971年版，第249页。
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的大使，出使巴黎。在出使期间，莱布尼茨结识了在巴黎科学院任职的荷兰
科学家惠更斯，由于惠更斯的影响，莱布尼茨进一步产生了对数学的兴趣。
虽然在此之前，莱布尼茨也读过一些数学著作，但对于当时的数学的最新进
展，莱布尼茨基本上还不熟悉。正是在惠更斯的引导之下，莱布尼茨开始研
究笛卡尔、费尔玛和巴斯噶等人的著作，通过对笛卡尔等人的著作的研究，
莱布尼茨得以迅速地走向当时数学的最前沿。
1673年，莱布尼茨又以梅因兹选帝侯的外交官员的身分出使英国。在伦
敦期间，他结识了英国皇家学会的许多知名人士。在这些知名人士中，对莱
布尼茨影响最大的是英国皇家学会的联络秘书欧登堡，由于欧登堡与英国科
学界有广泛的联系，因此他为莱布尼茨广泛了解英国科学的进展提供了极大
方便。同年，莱布尼茨在英国皇家学会演示了他所发明的二进制的机械式计
算机，并因此在同年被选为英国皇家学会会员。在英国期间，莱布尼茨除了
继续研究笛卡尔、费尔玛等人的数学著作之外，他还研究了英国著名数学家
华里斯及巴罗等人的数学著作，特别是巴罗的《几何讲义》，对莱布尼茨的
影响最大。通过上述研究，他开始认识到求曲线的切线问题的重要性。这样，
莱布尼茨也就在英国产生了微积分思想的最初萌芽。
②微积分的发明。不久以后，莱布尼茨返回巴黎，直至1676年被任命为
汉诺威选帝侯图书顾问而被召回德国。
在巴黎期间，莱布尼茨继续研究笛卡尔的解析几何，从中吸取了笛卡尔
在《几何》中所用的求曲线的切线方法。同时，莱布尼茨还继续研究巴罗的
《几何讲义》，从中吸取了巴罗的微分三角形法，并从巴罗的著作中意识到
微分与积分的互逆性质。与此同时，他还通过欧登堡继续了解英国数学方面
的最新进展，根据莱布尼茨的自述，经过一年多的努力，他在1674年发明了
微积分的基本原理和主要方法。
莱布尼茨发明微积分的起点，是求曲线的切线作法及其计算问题。在研
究过程中，莱布尼茨从巴罗在解决这一问题时所用的微分三角形法中得到启
发，创立了他自己的一种新方法——纵坐标差分法。莱布尼茨所创立的这种
新方法的基本特点，按照他自己的说法，乃是把曲线及其切线置于笛卡尔坐
标系中，求切线的问题即可相应地转变成求横坐标与纵坐标变化率之差。
在创立纵坐标差分法之后，莱布尼茨又相继在原理和方法上作了一些新
的研究。在1675年10月29日的一篇手稿中，莱布尼茨已决定用∫作为求和
的符号；11月11日，他又在一篇题为《切线的反方法的例子》的手稿中，
进一步对微分和积分的符号进行了探讨。此后，他又在一些数学手稿中证明
了微分和积分的互逆性，导出了微分法和积分法的一些基本原则。尽管在无
穷小量这一概念上他与牛顿一样含糊不清，但最迟在1676年，莱布尼茨已基
本上完成了微积分的发明。
当时，英国科学家牛顿也在研究微积分。因此莱布尼茨作为外交使节出
使英国期间，曾通过欧登堡与牛顿有过通信往来。后来，当莱布尼茨返回巴
黎留任驻法大使时，以及返回德国任汉诺威图书顾问以后，莱布尼茨仍然通
过欧登堡与牛顿保持着一定的联系。1676年，莱布尼茨在与欧登堡的通信
中，得知牛顿的微积分研究已有显著的进展时，因此，他要求欧登堡告诉他
有关这方面的消息，欧登堡把莱布尼茨的愿望转给牛顿，牛顿即于1676年6
月13日，写了一份关于他的流数法的简要说明，请欧登堡转寄给莱布尼茨。
同年8月27日，莱布尼茨收到了欧登堡的信及附寄来的牛顿的关于流数法的
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简要说明。此后，莱布尼茨直接致信牛顿，向牛顿简述了他自己在微积分方
面取得的成果，并要求牛顿能就他的无穷级数的处理方法作进一步说明。同
年10月24日，牛顿给莱布尼茨回信，就他的流数法作了较为详尽的说明，
此时牛顿估计莱布尼茨也有可能发明了微积分，因此他在回信中写入了一个
著名的字谜（以字谜的方式表示自己已作出某一发现或发明的方法起于17
世纪初，在1610年，伽利略发现金星的位相之后，他意识到这是证实哥白尼
日心说的重要发现，但他也认识到，完全弄清金星的位相变化还需要时间，
因此他先发表了一个由35个字母组成的字谜，表示他已经发现了金星的位
相。此后，这种以字谜暗示已作出某一发现和发明的方法即流传于17世纪）。
牛顿给莱布尼茨回信中的字谜是：
6accd aeff7i3l9n4o4qrr4s9t12vx
字谜就是由这些字母和数字组成的一个不规则的句子。这个字谜的谜底是：
根据所给的方程式，在任意多变数方程求出流数及其逆运算。牛顿所以给莱
布尼茨寄去这个字谜，实际上是向莱布尼茨暗示，他已经发明了微积分。
莱布尼茨收到牛顿的回信之后，研究了牛顿对于流数法的说明，也研究
了牛顿的字谜。当然，莱布尼茨未能解开牛顿的字谜，但莱布尼茨也估计到，
这是牛顿表明他已经发明了微积分的隐语。因此，他在1677年6月21日给
牛顿回信时，也向牛顿坦率地介绍了他发明微积分的纵坐标差分法：“我长
期在用一种更普遍得多的方法来处理切线问题，这就是纵坐标差分法。”并
认为：“求切线无非就是求相应于已知的（相等的）横坐标之差的纵坐标差。”
此后，他们两人各自致力于数学和其他学科的研究，谁也没有公开发表
有关微积分的研究成果。直到1684年，即他们彼此都知道对方已经发现了微
积分的7年之后，莱布尼茨在德国的《博物者学报》发表了一篇关于他的微
积分方法的简要介绍。因为这篇简介实际上只是一篇介绍报道性的文章，因
此在当时并未引起人们的注意。
1686年，莱布尼茨在《博物者学报》上发表了一篇有关微积分的内容比
较具体的论文：《求极大、极小和切线的新方法，也能用于分数和无理量的
情形以及这个方法的一个巧妙的计算》。在这篇论文中，莱布尼茨公开发表
了微积分的基本原理和主要方法。
在发表上述论文之前，莱布尼茨已于1675年10月29日的数学手稿中创
用积分符号∫。∫是 sam（总和）一词的第一个字母的拉长写法。此后，莱
布尼茨在1684年发表的那篇简介中创用了微分符号d。在1686年发表的这
篇论文中莱布尼茨首次同时使用了dx，dy，∫x，∫y这样的微分符号和积分
符号。其中dx表示两个相邻的x之间的差，dy表示两个相邻的y之间的差，
而∫x与∫y则相反。
莱布尼茨在1686年发表的这篇论文的标题虽然很长，但篇幅却很短，只
有6页。但由于其内容新颖，方法新奇，符号新巧，因此，立即引起欧洲数
学界的极大关注，而莱布尼茨亦因此先于牛顿成为人们知晓的微积分这一新
①
数学方法的发明者 。
③微积分发明的居先权之争。由于莱布尼茨先于牛顿发表了微积分，而
牛顿又先于莱布尼茨发明了微积分，加上他们之间又有过直接和间接的交
往，因此，正当胡克为万有引力的发现居先权与牛顿发生争执时，由于莱布
① 参阅＇英＇J·K。斯科特《数学史》，商务印书馆1981年版。
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尼茨论文的发表，一场关于微积分的发明居先权之争，几乎同时爆发了。
在争议中，牛顿和莱布尼茨各自说明了自己发明微积分的时间、过程和
方法。牛顿说，他早在1665年11月就发明了微分，1666年5月又发明了积
分。莱布尼茨说，他是在1674年发明微积分的，他的微积分是他独立发明的。
对于微积分发明的居先权之争，两个当事人似乎表现得相当克制。牛顿
在1687年谈到这场争议时说：“大约在十年前，在和非常博学的数学家莱布
尼茨的通信中，我告诉他，我发明了一种可以求出极大值和极小值，划出切
线并解答类似的数学问题的方法。这种方法运用到无理数上和应用到有理数
上同样行之有效。当我谈到这一点时 （假定已知一个任意多的变数方程求流
数，并反过来，已知流数求变数），我没有把方法告诉他。这位著名人物回
信给我，他也想到了同类型的一种方法，并把它告诉了我。他的方法除了定
义、符号、公式和产生数的想法在形式上和我不一样以外，几乎并没有多大
①
的差异。”可见，牛顿是充分肯定莱布尼茨的微积分的发明的独立性的。至
于莱布尼茨，似乎从未对牛顿独立发明微积分的问题提出异议。
尽管牛顿和莱布尼茨两人对微
