21世纪的牛顿力学 作者:程稳平程实平-第12章
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完整系统 当某个物体系统外的任何物体对该物体系统中的每一个物体所产生的作用都表现为相同加速度的均匀引力场作用时，该物体系统称作〃完整物体系统〃， 简称〃完整系统〃。
系统空间 指由组成某个物体系统的每个物体间连线构成的平面所包围的最大封闭空间，也称之为该物体系统所占据的空间。
由于完整物体系统内诸物体相对于本系统质心参照系所具有的运动规律不受到强度可以改变的均匀引力场作用影响，我们可以从前面进行的分析推导总结得出如下4个定律：
系统内部动量相抵定律 完整物体系统中的诸物体相对于本系统质心所建立的系统参照系而具有的速度与其质量之乘积的矢量和等于零。
系统内部作用力相抵定律 完整物体系统中的诸物体相对于本系统质心所建立的系统参照系而具有的加速度与其质量之乘积的矢量和等于零。
惯性参照系传递定律 以完整物体系统质心为原点建立的参照系是惯性参照系。相对于该系统质心参照系作匀速度运动的物体处于惯性运动状态中。而以处于惯性运动状态中的物体作参照物建立的参照系也是惯性参照系。
加速度定律 在完整物体系统中，诸物体相对于建立在本系统质心上的参照系所具有的加速度与其实际受到的本系统内其它物体对它的作用力成正比，而与其具有的惯性质量成反比。
请注意：继续使用惯性参照系概念，乃是说明被观察物体系统内诸物体相对于它所具有的加速度与其实际受到的本系统内其它物体对它的作用力成正比。当然，牛顿力学所设想的理想惯性参照系是真实惯性参照系的特例。牛顿定律在惯性参照系中适用的物理意义，就是指被观察物体在对应的惯性参照系中用牛顿第二定律计算出来的受力与被观察物体系统内诸物体间实际进行着的相互作用力等同；而牛顿定律在非惯性参照系中不适用的物理意义，是指观察物体在对应的非惯性参照系中用牛顿第二定律计算出来的受力与被观察物体系统内诸物体间实际进行着的相互作用力不等同。当指定物体系统外的物体与指定物体系统中的物体相距极远而对指定物体系统的所在空间产生的作用表现为一个均匀的万有引力场，或指定物体系统的所在空间相对极小以至于指定物体系统外的物体对其产生的引力场在指定物体系统的所在空间表现为均匀的万有引力场时，确定在该指定物体系统的质心上的参照系就是与牛顿第二定律的描述相符合的惯性参照系。
在经典物理学中，人们通过实验给出的惯性参照系实际上是建立在与系统质心非常接近的极大物体之上的。譬如在地球系统中，地球的质量为5。98×1024公斤，能够在地球表面运动的小物体相对于地球的分布都比较均匀，可以离开地面较远的物体质量一般都不大于106公斤，这样就使得地球表面的小物体（大多数的质量都不大于106公斤，万吨巨轮也不过只是107公斤）相对于地心参照系所具有的运动规律与相对于系统质心参照系所具有的运动规律非常接近。但是在太阳系中，虽然太阳的质量占据了整个太阳系中全体物体质量的999‰，太阳系的质心也在太阳物体质心附近，但由于太阳系中的9大行星距离太阳很远，而且各行星绕太阳的转动周期也不相同，9大行星不可能始终对称地分布在太阳周围，这就使得太阳系的质心与太阳物体质心不但偏离得比较大，而且还不能保持相对稳定。因此太阳对9大行星的作用力并不是严格的有心力，尤其是太阳系的质心距离太阳质心的偏离变动量对距离太阳较近的行星绕太阳进行转动的影响已经不能被忽略掉。人们通过对太阳系中距离太阳最近的水星绕太阳转动的观察也已经证实：水星的轨道明显偏离了人们早期设想中的标准椭圆轨道。
四、不完整物体系统中的运动定律
对于每一个完整物体系统之中的诸物体来说，以本系统质心为原点建立的惯性参照系具有与处于绝对静止状态之中的理想惯性参照系等同的性质。物体运动本身具有的运动不灭惯性特征都将在所给出的惯性参照系中显现出来。然而在实际的分析之中，人们可能需要研究的对象乃是由某个完整物体系统中的某几个物体构成的不完整物体系统。现在我们来推导一下，在空间某个完整物体系统中，由其中任意几个物体构成的不完整物体系统相对于原点建立在该完整物体系统质心上惯性参照系O具有哪些运动规律。显然，对于每一个任意指定的不完整物体系统来说，我们也都可以按照确定物体系统运动基准点的数学公式，给它确定出一个属于该不完整物体系统的系统质心。
参见图5，我们在这个不完整物体系统的质心上也建立起一个参照系O′； 该不完整物体系统内诸物体相对于该参照系O′和原点建立在完整物体系统质心上的惯性参照系O的空间位置分别用矢径 表示。则有：
虽然上述推导过程对原点不建立在完整物体系统质心上，但与原点建立在完整物体系统质心上的惯性参照系保持匀速运动状态的其它根据惯性参照系传递定律传递出来的惯性参照系同样成立，我们可以得出如下两个关于物体的系统运动定律和两个相应的推论：
系统质心动量定律 任意指定的物体系统，其质心相对于在空间可以给定的惯性参照系所具有的速度与该指定物体系统中诸物体质量总和的乘积（称之为该指定物体系统的质心动量）等于该指定物体系统中诸物体相对于同一惯性参照系所具有的运动速度与其质量之乘积的总矢量和。
系统质心加速度定律 任意指定的物体系统，其质心相对于在空间可以给定的惯性参照系所具有的加速度与该指定物体系统中诸物体在同一惯性参照系中测定的受力之总矢量和成正比，而与该指定物体系统中诸物体质量的总和成反比。
推论1 当指定物体系统中诸物体在空间某个可以给定的惯性参照系中测定的受力之总矢量和等于零时，该系统中诸物体相对于该惯性参照系所具有的运动速度与其质量的乘积之总矢量和保持为一常矢量（等于该系统质心相对于给定参照系的质心动量）。更一般的情况是：当指定物体系统中诸物体在空间某个方向上可以在给定的某个惯性参照系中测定的受力之代数和等于零或是在该空间方向上不受到在给定的惯性参照系中测定的作用力作用时，该系统中诸物体在相应的空间方向上相对于该惯性参照系所具有的分速度与其质量的乘积之总代数和保持为一常数（等于该系统质心相对于该惯性参照系在同一空间方向上的分动量）。
推论2 当指定物体系统中诸物体在空间可以给定的某个惯性参照系中测定的受力之总矢量和等于零时，该系统的质心相对于该惯性参照系作匀速度运动。更一般的情况是：当指定物体系统的质心在空间可以给定的某个惯性参照系中以不为零值的加速度进行运动时，在与该加速度垂直的任一空间方向上，该系统的质心相对于该惯性参照系作匀速度运动。
正是因为物体系统具有上述的运动定律，我们才把每个物体系统所对应存在的运动基准点称作该物体系统的质心。而所谓的系统质心，即意味作在不考虑该物体系统内部物体之间进行的相对运动状况下，可以从整体上把每个物体系统中诸物体的质量全部集中到该物体系统的质心位置上等效于以一个理想的质点进行的运动。下面的推导式子证明：
系统动能定理 每个物体系统中诸物体相对于在空间可以给定的某个惯性参照系所具有的系统总动能，等于一个质量为该物体系统中诸物体质量总和的质点处于该物体系统的质心位置上相对于同一惯性参照系所具有的动能（称之为该系统质心动能）与该物体系统中诸物体相对于原点建立在本系统质心上的参照系所具有的动能总和之和。即：
E系统 ＝ E质心 ＋ E系统′。
在人们所研究的实际问题中，物体在地球表面上相对于地面的运动是人们遇到得最多的具体问题。按照系统运动力学中的惯性参照系传递定律，如果地球不存在转动，即在地球内部任意两点间的连线永远保持同一矢向，我们只要将建立在地球质心上的参照系平移到地球表面上，地球表面的物体相对于平移到地面上来的与地心保持相对静止的参照系将具有与相对于地心参照系完全相同的运动规律。但实际的地球却是在不停地绕着通过地心的一根空间轴转动着。人们在地面上建立的参照系不能保持与地心参照系一样的等效。考虑到地球表面物体的实际受力情况，人们在地球表面建立的参照系是这样来确定坐标轴方向的：以物体在地面受到的铅直作用力（由地球对其的吸引力与其绕地球自转轴转动所受到的向心力合成得到）方向作为参照系的一个坐标轴方向，再在垂直于该铅直方向水平面上根据需要确定出另外两个相对于地面保持不变的坐标轴方向。由于地面参照系的铅直坐标轴始终与地面物体在地心参照系中测定的地球对其的作用力方向同步保持在一条直线上，由原先静止在地面上或在水平面上与地面保持匀速运动的物体所组成的物体系统，其系统质心也与附近地面上的点在水平面上同步保持静止或匀速运动。这些原先静止在地面或与地面在水平方向上保持匀速运动的物体由于受到组成系统内物体之间的相互作用而相对于建立在附近地面上的参照系在水平方向上具有推论1所述的运动规律。推论1也被称作经典牛顿力学中的动量守恒定律。而在铅直方向上，由于建立在地面上参照系原点与地心在铅直方向上始终保持相对静止（地球自转对重力方向的影响很小，故可近似认为铅直线通过地球质心），地面上的物体相对于建立在附近的地面参照系在铅直方向上具有与相对于地心参照系在同一方向上完全一样的运动规律。再加之地球的直径比较大（平均为6370公里），当人们在地面上运用牛顿力学定律来求解运动力学问题时，可以在有限的区域内获得相当精确的正确数据。
五、真实力与示值力之间存在的关系
我们先看一下只由两个质点组成的不完整物体系统时的情况。参见图6，质点mA与mB及其系统的质心O′相对于可以在空间给定的惯性参照系O中的位置分别用矢径rA 、rB与rO表示，而两质点相对于以本系统质心建立的非惯性系统参照系O′的位置分别用矢径 rA′→ 与rB′→ 表示。按照前面导出的式子将得到：
这表明，两质点相对于由二者组成的系统质心建立的系统参照系具有牛顿第三定律所给出的数学表示形式。而且用牛顿第二定律计算得出的作用力与反作用力；还可以用测力计测量出来。
参见图7，分别在两个质点与其组成的系统质心 O′之间挂上一只弹簧秤。由于大小相等，方向相反，当两质点之间挂入弹簧秤而使之处于相对静止的平衡状态时，弹簧秤上测出的数值与用牛顿第二定律计算得出的数值相等。但是，同时也应看到；图7中用弹簧秤测出的作用力 并不是两个质点在未加入弹簧秤时的实际受力。譬如，它们一个为铁质物体，一个为木质物体，当二者处在磁场中时，就只有铁质物体一个质点受到了该两质点系统外部的磁力作用。因此，人们有必要把相对于本系统质心参照系，按照人为规定的操作方式测定的作用力称为示值力。只有当所考察的物体系统是完整的物体系统或平衡系统之时，按照人为规定的操作方式测定的作用力才反映为被考察物体之间实际进行着的作用力。
对于由两个以上物体够成的物体系统，我们可以推导出如下的一般式子：
这说明，以完整物体系统的质心参照系为基准建立的系统运动力学，也可以适用于以不完整物体系统的质心参照系为基准的物体系统中。最重要的是：相对于不完整物体系统的质心参照系给出的能量计算公式完全反映真实的能量值，动量守恒定律与机械能守恒定律在不完整物体系统的质心参照系中具有与在惯性参照系里一样准确的数学表示形式。这样，任意指定的物体系统中诸物体相对于可以在空间给定的惯性参照系所具有的运动规律，即可由诸物体相对于本系统质心参照系所具有的运动规律与该系统质心相对于同一给定惯性参照系所具有的运动规律叠加得出。需要注意的是：在求解不完整物体系统中诸物体相对于本系统质心参照系所具有的运动规律时，所给出的作用力均是在本系统质心参照系中测定出来的经过代换后的示值力；而在求解系统质心相对于给定惯性参照系所具有运动规律时，除了系统质心是一个具有本系统中诸物体质量之总和的理想质点外，所给出的作用力均是在所给定惯性参照系中测定出来的真实力。我们现在从近代量子物理学中知道，力是物体间进行的能量交换过程。这显然是一个与参照系无关的作用过程。为了区别起见，我们把物体间实际进行着的能量交换过程称为真实力，而把物体相对于某个系统质心参照系所测定的作用力称为示值力。示值力的测定按照如下理想实验来进行：沿着与每个物体相对于所组成的指定物体系统的质心参照系所具有的加速度方向相反的方向，分别用一只测量范围足够大、而其质量可忽略的理想测力计，将该物体系统中的全部物体同所组成系统的质心参照系连接起来，在保持与运动状态的瞬态位置相同的条件下处于相对静止之时，每个测力计所显示出的力量，便是对应连接物体在指定系统质心参照系中测定的示值受力。当所指定的物体系统是一个完整物体系统时，被观察物体相对于包括它在内的完整物体系统质心参照系所测定的作用力将反映为该物体系统中物体间实际存在着的相互作用。由于能量守衡定律与参照系无关，反映物体间进行的能量交换过程的牛顿第三定律是与给定参照系无关的力学定律。根据这个性质，我们可以按照独立作用原理通过�
