21世纪的牛顿力学 作者:程稳平程实平-第8章

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　　这说明，与K系处于静止状态的棒子在以速度v相对于K系做匀速直线运动的K′系中呈现出来的是唯一确定的长度值，同一条棒子在静止系中呈现出来的长度L与在运动系中呈现出来的长度L′之间具有确定的换算关系：
　　这是从静止系变换到运动系的推导结论，我们再从运动系变换到静止系中，看看推导出来的结论是否也相同。K系以速度…v相对于K′系做匀速直线运动，在K系中确定出…v的指向与X轴坐标指向相反。在t＝t′＝0的时刻，两个坐标系原点重合。一条与x轴平行的棒子以…v速度相对于K′系运动着，在K′系中的t1′时刻，该条棒子两端的X坐标分别为xa1′　、xb1′　；在K′系中的t2′时刻，该条棒子两端的X坐标分别为xa2′　、xb2′　。按照相对论坐标变换关系，该条棒子在K系中呈现的位置及其相应的时刻是：

　　由于ta1　≠　tb1　、ta2　≠　tb2　，xa1与xb1不能在K系中同时呈现，xa2与xb2也不能在K系中同时呈现。而只能是在ta1＝tb2或ta1＝tb2情况下，xa1与xb2或xa2与xb1在K系中同时呈现。设定在ta1＝tb2之时，xa1与xb2在K系中同时呈现。由于棒子相对于K系处于静止状态，因此有xa1＝xa2＝xa　、xb1＝xb2　＝xb。同时棒子在K′系中以…v速度作相对运动，在t1′　到t2′时刻之间，棒子两端的坐标都将发生改变，它们遵守如下的运动方程：

　　棒子在K系中同时呈现出来的两端长度可计算得：

　　它表明，无论是从静止系变换到运动系，还是从运动系变换到静止系，数学推导结论都完全相同。由于　，处于运动状态中的物体所呈现出来的长度要比它处于静止状态中所呈现出来的长度短。这一现象在相对论中被称之为物体在运动状态下将发生空间尺寸减小的长度缩短效应。
　　我们再分析一下时刻的改变情况。K′系以速度v相对于K系做匀速直线运动，在K系中确定出v的指向与X轴坐标指向相同。在t＝t′＝0的时刻，两个坐标系原点重合。在K系的任一空间点处静止摆放着一只体积可以忽略的钟，〃钟质点〃在K系中的X轴坐标为x　。静止摆放在K系中的钟从时刻t1走到t2　，〃钟质点〃在K系中的X轴坐标始终都是x　。按照相对论坐标变换关系，〃钟质点〃在K′系中对应呈现的空间位置及其相应的时刻是：

　　它说明，同一只钟在与它保持处于静止状态的参照系中所显现出来的时刻改变量，比它在有相对运动的参照系中所显现出来时刻改变量要小。这是从静止系变换到运动系的推导结论，我们再从运动系变换到静止系中，看看分析结果是否与此相同。
　　K′系中有一只体积可以忽略的钟以…v速度相对于K′系运动着，该运动钟在K′系中从t1′走到t2′时刻，〃钟质点〃对应显现的坐标为x1′与x2′　。按照相对论坐标变换关系，〃钟质点〃在K系中对应呈现的空间位置及其相应的时刻是：

　　由于〃钟质点〃相对于K′系以…　v速度运动，〃钟质点〃在K′系中显现的位置与时刻之间将遵守如下的运动方程：

　　它表明，无论是从静止系变换到运动系，还是从运动系变换到静止系，处于运动状态中的钟所呈现出来的时刻变化量都要比它处于静止状态中所呈现出来的时刻变化量要大，并且有着明确唯一的换算关系。这一现象在相对论中被称之为物体在运动状态下将发生时刻变化量增大的时间膨胀效应。
　　按照同样的分析方法，当人们把仿洛仑兹变换猜想成自然界中的存在物在两个相互做匀速直线运动的参照系中呈现的空间位置及其相应的时刻都要遵守的自然法则时，推导出运动物体的长度将比它处于静止状态时的长度伸长，物体在静止系中呈现出来的长度L与在运动系中呈现出来的长度L′之间具有确定的换算关系，处于运动状态中的钟所呈现出来的时刻变化量T′比它处于静止状态中所呈现出来的时刻变化量T要小，并且有着唯一的换算关系。当v＝c时，伸长系数等于　，缩小系数等于　/2。
　　仅从长度变化效应与时间变化效应上来看，仿洛仑兹变换导出的变化量相对比较小，几乎没有可检验的实际价值，但是从它们推导出来的质速关系式就很有意义。按照新的变换关系，物质的动质量M与静止质量m的关系为：
　
　　人们根据它可以计算出光子的静止质量是　2　hν/　c2　。结合牛顿第二定律的微分公式，我们可以推导出物体在运动时动能的增加量与质量的改变量之间的关系为：
　　dE　＝　－　cdM
　　之后可进一步推导出：

　　人们可以将它解释为，物体在没有从外部获得能量的情况下，自己直接将本身的一部份质量转换成能量的方式使自己获得了动能。这即是质量＋能量合二为一个守恒定律的理论依据，它正是人们利用静止质量转换成原子核能制造出原子弹的理论依据。



五、相对论运用要点

　　从原理上讲，在两个参照系坐标原点重合在一起的瞬间，质点能够在两个参照系坐标原点同时呈现，并且在两个参照系中的呈现时刻都等于相同的某个时刻，例如零时刻。因此，在两个参照系坐标原点重合在一起的瞬间，固定安放在两个参照系坐标原点上的钟所显示的时刻可以是相同的时刻。当两个参照系坐标原点分开之后，固定安放在两个参照系坐标原点上的钟所显示走到的时刻即是与它保持静止状态的参照系里的标准时刻。与此同时，在两个参照系的坐标原点分开之后，固定安放在其中任何一个参照系坐标原点上的钟都不再与处于运动状态的参照系坐标原点位置相对应了。虽然它们在静止参照系中任何时刻的呈现位置都为相同的坐标原点位置，但是在运动参照系中，它们的呈现时刻和相应的空间位置都要按照洛仑兹变换关系映射出来。
　　特别要注意的是，在参照系坐标原点重合在一起，两个坐标系中的时刻被人为约定为零时刻的瞬间，除了处于ZY坐标平面上的空间位置之外，在其中任何一个参照系的零时刻同时呈现的质点，在另一个参照系中呈现的时刻都不是零时刻。
　　人们过去曾经得出两个参照系坐标原点重合在一起的瞬间，世界都必须压缩在一张厚度为零的平面上的结果，乃是把在此状况下呈现在两个参照系中的质点误当成都是以零时刻对应零时刻的关系来联系着它们的呈现状况了。虽然在两个参照系坐标原点重合在一起的瞬间，质点能够在两个参照系坐标原点同时呈现，并且在两个参照系中的呈现时刻都等于零时刻，但是在两个坐标系中的其它位置所呈现的质点并不是以零时刻对应零时刻的关系来联系，而是以零时刻和非零时刻的关系来联系。比如，在K系坐标原点与K′系坐标原点重合在一起的瞬间，在K系中与位于坐标原点的质点A同时呈现的另一个质点B的X轴坐标是xb，质点A与质点B的呈现时刻都是零时刻，　tb＝ta＝0　；那么在K′系中，只是质点A能够在K′系的坐标原点同时呈现，　ta′＝　0　，必须在K′系中的时刻正好走到tb′时刻之时，

　　质点B才在K′参照系中呈现，且呈现的X轴坐标是：

　　同样，在参照系坐标原点重合在一起的瞬间，在K′系中；与位于坐标原点的质点A同时呈现的另一个质点C的X′轴坐标是xc′，质点A与质点C的呈现时刻都是零时刻，　tc′＝ta′＝0　；那么在K系中，只是质点A能够在K系的坐标原点同时呈现，必须在K系中的时刻正好走到tc时刻之时，

　　质点C才在K在参照系中呈现，且呈现的X轴坐标是：

　　在这里，tb′与tc有可能是正值，也可能是负值。正值表示它们是在两个参照系的时刻走过零时刻之后才进行显现，　而负值表示它们是在两个参照系的时刻尚未走到零时刻之前就已经进行显现。
　　由此不难理解，具有一定空间体积的物体在与它具有相对运动的参照系中同时显现出来的全部位置，是由它在静止系中的不同时刻所呈现出来的整体之扫描断面所合成。反之也然，具有一定空间体积的物体在与它保持静止的参照系中同时显现出来的全部位置，是由它在具有相对运动的参照系中不同时刻所呈现出来的整体之扫描断面所合成。人们只要知道一个物体在某个参照系中同时呈现的空间位置关系，它在另一个参照系中不同时刻所呈现出来的整体情况，就可以通过洛仑兹变换映射出来。
　　譬如，某个质点在K系中以速度u作匀速直线运动，运动方程可写成　x　＝　x0　＋　ut；K′系以速度v相对于K系做匀速直线运动，该质点在K′系中呈现的运动方程是　x′　＝　x0′　＋　u′t′　；其中：

　　请注意，对x0≠0的一般情况，质点在K系中的0时刻t0呈现的位置是x0　，在K′系中的0时刻t0′呈现的位置是x0′　；但这里的x0′并不与x0对应，而是与质点在K系中的t1时刻所呈现的位置x1进行对应：

　　同样，质点在K系中的0时刻t0呈现的位置x0　，是与质点在K′系中的t2′时刻所呈现的位置x2′进行对应：

　　如果在空间呈现的质点是绕着空间某个点做匀速圆周转动，该质点相对于原点处于其转动轴上的两个相互作匀速转动的参照系进行呈现的时刻t1　、t2　及其呈现位置，用极坐标表示为rθ1　、rθ2　，将以如下的洛仑兹变换式子映射出来：　

　　其中　，ω是K2参照系相对于K1　参照系进行转动的角速度，它与转角θ都按照约定的右手规则确定正负号。在两个参照系的转动轴出现重合的某一次中，一旦确认出质点是在两个相互做匀速转动的参照系中同时呈现，则在此瞬间，在两个相互做匀速转动的参照系中同时呈现的质点一定都是处于相对零角度的位置之上。在理论上，人们可以把这个特殊的瞬间作为对质点在两个相互做匀速转动的参照系中呈现的时刻及其空间位置进行映射换算的公共基准点。
　　显然，在相互做匀速转动的无穷多个参照系中，总可以找到一个正好与转动质点保持相对不转动的参照系，令它为K0参照系。假设在K0参照系中有一个相对处于静止状态中的圆环，圆环的中心正处于转动参照系的转轴上。根据前面已经获得的时刻、空间位置变换关系，在K0系里相对处于静止状态中的圆环，在其它与K0参照系保持做匀速转动的参照系中的任何时刻所呈现出来的整体，都是由它在K0系中不同时刻所呈现出来的整体之扫描断面所合成。而与平移下的状况不同之处是，对断面的扫描要以转动方式来进行。如果在K0系中处于静止状态的圆环只允许被扫描一周的话，在与K0参照系保持做匀速转动的参照系中，它所呈现出来的整体就只能是一个半径相同的裂口环。由于在K0系中处于静止状态的圆环一直被连续地重复扫描着，它在与K0参照系保持做匀速转动的参照系中所呈现出来的也是半径相同，由首尾相接的裂口环连续构成的完整圆环。这即意味着，转动中的圆环沿其圆周发生收缩的长度变化不能被任何观察方式所发现。而在与K0参照系保持作匀速直线运动的参照系中，它除了呈现为在运动方向上压扁的椭圆形状外，它所呈现的各个部分都是由它在K0参照系中不同时刻所呈现出来的整体按照平移方式的扫描断面所合成。人们切不可沿着它在某个参照系中所呈现出的封闭路线，误以为它在另一个参照系中呈现的时刻经历了往复过程。
　　请记住，无论是在什么参照系里，凡是同时呈现出来的质点，无论它是处于运动状态，还是处于静止状态，它们都是与相同的呈现时刻联系着。既然呈现时刻相同的质点才同时呈现，无论是处于运动状态的质点〃理想钟〃，还是处于静止状态的质点〃理想钟〃，只要它们是在同一个参照系呈现出来，〃理想钟〃上所显示出的时刻就一定相同。〃理想钟〃在运动状态下发生的时间膨胀效应，在任何参照系中都不可能被观察到。只有把显示时刻与呈现位置相对应的实物钟，在运动状态下所显示出来的时刻才会与〃理想钟〃显示的时刻不保持相同。
　　例如：K′系以速度v相对于K系做匀速直线运动。在K系中，人们可以把经过原点，运动方程为x　＝　ut的运动质点在X轴上的瞬时坐标值当成一个〃实物钟〃来使用。人们只需要通过一个换算系数ξ，ξ＝1/　u　，即可将〃实物钟〃显示的〃坐标时刻〃换算成与静止安放在坐标原点上的〃理想钟〃所显示的时刻完全相同的数值T　。如果人们把同一质点在K′系中呈现的瞬时坐标x′当成K′系中的〃实物钟〃来使用，并继续通过相同的换算系数ξ将其显示的坐标时刻换算为与静止安放在坐标原点上的〃理想钟〃具有相同的记时单位，该〃实物钟〃在K′系中显示的时刻T′就会与K′系中的〃理想钟〃所显示的时刻t′不再保持着一致了。
　　由于：

　　只有在u＝c的情况下，T′　才同时与t′　具有完全相同的时刻数值。这意味着，人们可以利用从坐标原点发出的光脉冲在相互做匀速运动的参照系中所走到的瞬时坐标值来换算出静止安放在坐标原点上的〃理想钟〃所应该显示出的时刻值。
　　在现实当中，与质点呈现位置联系的〃理想钟〃总得通过某种可靠的实物钟来予以体现。如果在一个参照系中呈现的质点都一直处于静止状态，人们将不能在这个参照系中通过观察来知道时刻发生了变化。所以，在参照系中呈现的运动质点，是使人们在这个参照系中知晓时刻发生变化的观察依据。而做最简单的匀速直线运动的质点，或做最简单的匀速圆周运动的质点，就是人们了解参照系中的时刻发生变化的重要观察对象。
　　采用相同的分析方法，如果某个质点以等于光速的线速度绕空间某个点做匀速圆周运动，该质点相对于原点处于其转动轴上的两个相互作匀速转动的参照系进行呈现的位置，用极坐标表示为rθ1、rθ1，按照洛仑兹变换，必有：
　　Δt1　＝Δt2　、　Δrθ1　＝Δrθ1　，
　　从而使的Δθ1　＝Δθ1　。这样，人们就可以在其中任何一个参照系中，通过观察该质点绕转动轴转过的角度，乘以相同的换算系数ξ，ξ＝　r/c　，换算出〃理想钟〃所应该走过的时刻差值。
　　爱因斯坦在分析转动着的圆环情况时，以为处于圆周上的质点〃理想钟〃所显示的时刻落后于它附近的质点〃理想钟〃所显示的时刻，圆周上的质点〃理想钟〃比圆心上的质点〃理想钟〃走的慢，乃是对同时性涵义没有保持一贯而出现的误解。正是由于爱因斯坦没有将〃呈现时刻〃的涵义明确清楚，才有人发现经过某种封闭的空间路线可以返回到过去。
　　当人们把洛仑兹变换认为是任一质点在两个相互做匀速直线运动的参照系中呈现的空间位置及其相应的时刻所必须遵守的自然定律之时，马上就要面对这样一个问题：
　　在现实自然界里，什么地方能够被认为是两个参照系坐标原点重合在一起的空间位置？
　　在物理意义上，两个参照系的原点重合瞬间，〃重合〃意味着两个参照系的原点是同时刻呈现。由于在两个作相对运动的K参照系和K′参照系中，与K参照系保持静止的点都是相同的呈现时刻，而与K′参照系保持静止的点也都是相同的呈现时刻，人们怎样在与K参照系保持静止的无穷多个点中，判定那一个点与K′参照系保持静止的无穷多个点中的那一个点是同时呈现的点呢？确定不出这个点，两个作相对运