思考:我的哲学与宗教观 作者:何新-第26章
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来的本质上是真实事物的一种抽象。〃（引自M·克莱因《古今数学思想》第4卷。） 随着这种认识的深化，带来了意义更加深远的发现数学并不是关于自然的映现式真理。特别是20世纪初集合论悖论的发现，导致了所谓〃第三次数学危机〃。
10、数学史上的三次危机
记者：什么是〃数学危机〃？
何新：数学史上发生过三次关于理论和方法的危机。都是由于在数学的基础概念中出现了矛盾。第一次是在希腊时代，毕达哥拉斯学派发现了〃无理数〃，所谓〃无理数〃，在希腊时代叫〃Alogon〃，即荒谬之数，不可理解之数。它引起了数理概念的第一次定义危机。（据说发现无理数的人由于这一发现而被丢进大海里。） 第二次是在17世纪，由于微积分的发明而发现了关于无穷小概念（动态）与其极限概念〃零〃的关系的矛盾，而发生了概念危机。 第三次是19世纪末20世纪初发生了集合论的悖论，引发了关于数学逻辑基础可靠性的问题。这种悖论最简略的表述形式之一是，在涉及无限的集合时，整体与部分一样多。例如，自然数集合（1，2，3，4，……）它包含了偶数集合（2，4，……）与奇数集合（1，3，……）。但是事实上有多少自然数就有多少偶数，同时也有多少奇数。整体与部分同样多（伽利略悖论/Burall…Forti悖论）。有一位美国数学家（TDamtzig）说： 〃一部分可能有全体之势，这句话与其说像数学，还不如说像神学。〃（《数：科学的语言》，丹齐克，第178页。） 这犹如说父亲与儿子年龄一样大。这是一个荒谬的矛盾，导致集合论的逻辑基础成为问题。 创建集合论的Cantor在1899年给Dedekind的一封信中曾指出，人们要想不陷于矛盾的话，就不能谈论由一切集合所成的集合。而这也就是后来的Russell的悖论的内容（《数学原理》（The Principles of Mathematics），1903，P。101。）。（还有诸如以下一些问题：由一切人组成的类并不是一个人。但由一切概念组成的类自身也是一个概念。由一切图书馆组成的类是一个图书馆的概念。由一切基数大于1的集合组成的类也是这样一个集合。因此，有一些类不是它们自己的元素，而有一些则是它们自己的元素。这个对于类的描述，包括了一切类，并且这两种类集是互相排斥的等等，都是悖论。） 数学史家M·克莱因描述第三次数学危机的发生过程指出： 〃二十世纪数学中最为深入的活动，是关于数学逻辑基础的探讨。在这个世纪的前期，首先是矛盾的发现，委婉地被称为悖论，在集合论中尤为突出。这些矛盾的发现显然深深地扰乱了数学家，另外一个逐渐被认识到并在本世纪初显露出来的，是数学的相容性（consistency）问题。
在十九世纪后期，有一些人已经开始重新考虑数学的基础，特别是数学对逻辑的关系。在1900年以前已经冒了烟的争论，经悖论和相容性问题加上燃料，就爆发成大火。结果，全部数学的逻辑基础，就成为极其严重和被普遍关心的问题。〃（《古今数学思想》，第4卷，第289页。） 此即第三次数学危机，也是数学史上最严重的一次危机。 这一危机不仅震撼了数学体系的真理基础，而且震撼了传统逻辑关于思维不矛盾的基本信念。这个问题至今并未解决。 11、1＋1=？
记者：您所谈到的数学危机令我震憾。在人们的心目中，数学是一切科学的基础，是逻辑严密而且具有精确性的唯一严密科学。
何新：真正的精确性也许只有在初等数学中才能得到。即1＋1=2。但实际上，就连这个等式也并非绝对无可争议。例如把两桶水注入到一个大桶中，在抽象的意义， 结果就是1＋1=1。
记者：有人会说，前面两个〃1〃与后面的〃1〃在质上不同。
何新：然而〃1〃的本质是什么呢？它不仅是数量的基本单位，有时也是一种〃质〃。我可以再举一个例子来说明。 以一个不知大小的数进行运算，可以得到确定的结果。如： X=？ X/X=1 根号2=？ 根号2/根号2=1 我们不必知道〃X〃是什么数，〃 2〃的数值是无理数，也是没有确定值的。但我们以之作相除运算的结果却可以很确定，结果就是〃1〃。为什么？ 在这里，1并不是一个〃数〃，而是指示一种关系，即某物或某量，无论其多么大或多么小，其与自身的比例总是同等大小，这是一种〃质〃的相同。这种关系就是〃1〃。这样考虑的〃1〃，实际已推翻了罗素、怀特海在《数学原理》中对于〃1〃的定义。
12、数理哲学
记者：也就是说，现代数学的一些主要分支，已经发展得高度抽象，而远离了实际的运算阶段。
何新：数学发展已经过三大阶段： （1）算术和初等几何（具体的形量关系）阶段。 （2）代数（抽象数量关系）和抽象几何的阶段。所谓计算的精密和精确性，应当被认为是初等数学阶段的事。代数学已经是与含义无关的一种逻辑抽象。因为：〃显然我们可以用我们愿意用的任何符号，并按我们选定的任何法则去处理它们〃。怀特海（Whitehead）指出，符号的这种任意处理可以是随便的，而只有那些能被赋予某种意义的或具有某种应用的解释才是重要的。 （3）在19世纪末20世纪以来的现代数学阶段，数学已经发展为数理哲学，已成为一种涉及抽象概念之间的逻辑关系的逻辑哲学，成为一种符号模型系统，远远离异于所谓计算以及精密性了。 M·克莱因指出： 〃大约到1850年以后，人们接受了这样一种观点，即数学能够引进并研究一些相当任意的概念和理论，或者像四元数那样，它们没有直接的物理解释，但却是有用的；或者像n维几何那样，它们满足一种普遍性的要求。〃 〃Cantor为了捍卫他所创造的超限数，说它是一种存在的、真正确定的量时，主张数学和其他领域的区别在于它自由地创造自已的概念，而无需顾及是否实际存在。1883年他说：'数学在它自身的发展中完全是自由的，对它的概念的限制只在于：必须是无矛盾的并且和先前由确切定义引进的要领相协调。数学的本质就在于它的自由。'〃 〃Whitehead在他的《一般代数》中说：代数变换法则的合法性是不依赖于算术的。如果有依赖的话，那么显然可见，代数表达式一旦在算术上不可理解，则关于它们的所有法则就必定失去合法性。代数法则虽是由算术提供的，但却不依赖于它。代数法则完全依靠约定，用以表达某些把符号分组的模式必须被认为是等同的。这就给形成代数符号的记号指定了一定的性质。〃 〃那种在真实世界里没有直接对应物的概念之被引进并逐步被接受，确实迫使人们承认数学是一种人为的并且多少带有任意性的创造物，而不仅仅是从自然界里引导出来的本质上是真实事物的一种理想化。但是随着这种认识的深化，带来了更加意义深远的发现数学并不是关于自然的一堆真理。〃（《古今数学思想》，M·克莱因著，第4卷，第280页。）
13、数学崇拜没有根据
记者：但是，人们通常仍然持有一种观点，认为数学是科学中最严密最成熟的体系。
何新：对此可以称此为〃数学崇拜〃。但是，研究过数学史的人，会知道这种崇拜是没有多少根据的。 至少近2500年来，数学是人类智力训练和精神遗产的一个有机组成部分。然而在这漫长的年代中，关于数学的本质始终众说纷纭，对数学至今并无一个公认的定义。 在古希腊，毕达哥拉斯学派和柏拉图都注意到，演绎推理所得的结果跟观察的结果或归纳推理所得的结果往往符合。他们无法用别的方法去说明这种符合，于是就认为，数学乃是对于自然界和宇宙中内在的终极、永恒的实在的研究，而并非逻辑的一个分支或科学、技术的一种工具。他们认为对数学原理的认识，必定先于任何对经验的确切解释。毕达哥拉斯有一个名言：万物皆数；还有据传为柏拉图的箴言：上帝常以几何学家自居。 流行于中世纪的经院派观点认为宇宙是〃井然有序〃而易于理解的。在文艺复兴时代，随着柏拉图观点的再度风靡，促成了下述信念的复活：数学是以某种方式独立于且先于经验的直观的知识。这种观念表现在库萨的尼古拉、开普勒和伽利略的思想中，在某种程度上也表现在达·芬奇、莱布尼兹、康德的思想中。
14、现代数学成为虚拟的逻辑系统
记者：就是说，数学运算的结果似乎是先验性的，而非经验性的。
何新：18世纪在科学和数学问题中应用了微积分所取得的辉煌的成功，使人们把注意力首先放在运算，而不放在研究数学的基础上。但到19世纪，人们力图为新的无限小分析中的有关概念寻找一个令人满意的基础。 这种努力，带来了一种批判的态度。数学的严格性被提上了日程；人们发现，欧几里得的公设并非如康德所主张的那样是绝对的综合判断，而只不过是一些假设。这种作为推理根据的前提，可以随心所欲地自由选取唯一的要求是它们彼此之间相协调哪怕它们与感觉上显而易见的事实相矛盾。 在20世纪的数理哲学中，认为数学是量的科学或者空间与数的科学的这种旧观念，在很大程度上销声匿迹了。（但在中国学术界，这种陈旧观念仍很流行。）人们意识到，朴素的空间直观会导致矛盾。
否定牛顿的绝对时空观，也就否定了康德关于时空的所谓〃内在直观公设〃。正是由于对数学公理基础无矛盾性所作的全面逻辑和哲学审视，导致了20世纪初所说〃第三次数学危机〃。罗素在出版《数学原理》第一卷时信心勃勃，而在《数学原理》的后续一版中（1937），则陷入怀疑论，认为数学是〃我们既不知道自己在讲些什么，也不知道讲得对不对的一门科学〃。 而在这种意义上，数学就成为一个虚拟的概念系统。著名数学家魏尔（Weyl）对数学的现状作了这样的描述： 〃关于数学最终基础和最终意义的问题还是没有解决；我们不知道向哪里去找它的最后解答，或者根本就不能期望会有一个最后的客观回答。'数学化'（Mathematizing）很可能完全出自人的一种自由创造性活动，就像语言或音乐一样，具有原始的独创性，它的历史性绝不容许完全的客观的有理化。'〃（②转引自《古今数学思想》第4卷第324页。这也是克莱因此书的最终结语。） 因此，到19世纪末盛行的看法是：数学里的一切公理都是任意的。公理只不过是导出结论的推理的基础。既然公理不再是关于包含在它里面的概念的真理，于是也就不用去管这些概念的物理意义了。当公理和实在之间产生某种联系的时候，这种物理意义至多只能是发现（真理）的向导。即使是从物理世界抽象出来的概念也是这样。 〃到1900年，数学已经从实在性中分裂出来了；它已经明显地而且无可挽回地失去了它对自然界真理的所有权，因而变成了一些没有意义的东西的任意公理的必然推论的随从了。
十四、关于逻辑悖论问题
1、逻辑中的悖论佯谬
记者：您在前面多次谈到了〃悖论〃这个词。请问什么是悖论？
何新：在近代科学哲学中，存在着两大佯谬。第一是前面我们曾讨论过的归纳法佯谬，是休谟所提出，普遍性与必然性不存在于感性的经验观察中，因此归纳法缺少一个客观意义的基础。第二就是关于逻辑悖论的佯谬。
记者：究竟什么是逻辑悖论？
何新：所谓悖论（Paradox），康德称作〃二律背反〃，黑格尔称作辩证矛盾。它指的是两个相反的或互相矛盾的命题，但从正面论证则其反面成立，从其反面论证则其正面成立。悖论的存在，使得思维和语言陷入自相矛盾，成为语义混乱而不知所云。 在希腊和中国先秦思想史上，正是悖论的发现，推动古典学者开始探讨形式逻辑规律以规范思维和语言。为解决悖论引起的逻辑混乱问题，亚里士多德等古典逻辑学者提出了三大思维规律（同一律/不容矛盾律/排中选择律）。事实上，不容矛盾律构成演绎推论（三段式）的公理基础。 但是，悖论问题从来没有真正得到解决。只是后来人们学会了如何通过恰当的矛盾陈述，正确地表述和理解语言的意义。 近代数学在寻求公理化基础时重新遭遇严重的逻辑矛盾，从而发生了〃第三数次学危机〃。
2、辩证逻辑可以解决悖论佯谬
记者：如果悖论问题不能得到解决，那么形式逻辑的基本原理就受到了严重挑战。你认为悖论是否可能得到解决呢？
何新：这就是我在70年代所曾致力研究的问题。逻辑是区分为类型的。在古往今来的各种逻辑类型中，有一种可以容纳悖论（即逻辑矛盾）的逻辑，这就是黑格尔的辩证逻辑。黑格尔甚至认为，必须建构一种容纳矛盾的逻辑，因为矛盾乃是宇宙理性的本质。这种矛盾的语言表述形式，就是〃辩证法〃。
记者：黑格尔的逻辑学出版在19世纪初叶，那时数学基础中的悖论问题还没有被提出。
何新：而这正是黑格尔逻辑的深刻性和超越性所在。
记者：黑格尔哲学与康德哲学的不同点是什么？
何新：黑格尔认为，客体本身的存在、演化序列本身就是一种纯粹逻辑 的序列。在时间演进的序列中，逻辑的力量实现发展，辩证矛盾则推进发展。 黑格尔试图对逻辑学提供一种新的本体论基础，它认为存在本身具有理性的结构和秩序，存在的基础是逻辑的。 黑格尔认为，逻辑不仅可以描写世界，而且可以生成世界。因此，不可直观的第四维世 界是可以被理性范畴所把握的，是可以洞察的。这种新逻辑形态就是黑格尔的〃辩证逻辑〃。然而现代西方逻辑学完全不理解以至逃避了这一最重大的逻辑命题（认识论）。 事实上，只有黑格尔的辩证逻辑，能够从认识论、本体论和逻辑基础中解决悖论问题。
3、悖论的三种类型
记者：黑格尔是如何看待悖论问题的？形式逻辑的基本规律是思维的不矛盾规律。而黑格尔则认为逻辑的基本规律是矛盾。这个问题你如何理解？
何新：我在70年代已对悖论问题进行过研究。我曾将悖论区别为三种基本的类型。即： （1）语义悖论 （2）本体悖论 （3）辩证分析悖论（何新《逻辑悖论的研究》，《人文杂志》，1982年第2期。） 关于语义悖论，包括康托、罗素所指出的那种集合论悖论：〃我们用M表示一切包含自己为元素的那些类所成的类，用N表示一切不包含自己为元素的那些类所成的类。现在，N本身也是一个类，我们要问它是属于M还是属于N？若N属于N，则N就是它自己的一个元素。因而必须属于M，另一方面，若N为M的一个元素，则因M和N是互相排斥的类，N就不会属于N。于是N不是它自己的元素，因而由于N的定义，它应当属于N。〃 数理逻辑学者认为：〃这些悖论的起因，如Russell和Whitehead指出的，都在于一个要定义的东西是用包含着这个东西在内的一类东西来定义的。这种定义也称为说不清的（impredicative），特别发生在集合论中。〃 这种悖论的一个古典形式就是〃说谎者悖论〃。
记者：什么是〃说谎者悖论〃？
何新： 所谓说谎者悖论，本来是希腊哲学中由诡辩派哲
