上帝掷骰子吗-第15章
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为了容易理解，我们还是回到我们那个巴士车费的比喻。现在假设我们手里有两张海森堡
制定的车费表：矩阵I和矩阵II，分别代表了巴士I号线和巴士II号线在某地的收费情况。
为了简单起见，我们假设每条线都只有两个站，A和B。这两个表如下：
I号线（矩阵I）：
A B
A 1 2
B 3 1
II号线（矩阵II）：
A B
A 1 3
B 4 1
好，我们再来回顾一下这两张表到底代表了什么意思。根据海森堡的规则，数字的横坐标
代表了起点站，纵坐标代表了终点站。那么矩阵I第一行第一列的那个1就是说，你坐巴士
I号线，从A地出发，在A地原地下车，车费要1块钱（啊？为什么原地不动也要付1块钱呢
？这个……一方面是比喻而已，再说你可以把1块钱看成某种起步费。何况在大部分城市
的地铁里，你进去又马上出来，的确是要在电子卡里扣掉一点钱的）。同样，矩阵I第一
行第二列的那个2是说，你坐I号线从A地到B地，需要2块钱。但是，如果从B地回到A地，
那么就要看横坐标是B而纵坐标是A的那个数字，也就是第二行第一列的那个3。矩阵II的
情况同样如此。
好，现在我们来做个小学生水平的数学练习：乘法运算。只不过这次乘的不是普通的数字
，而是两张表格：I和II。I×II等于几？
让我们把习题完整地写出来。现在，boys and girls，这道题目的答案是什么呢？
┏ ┓ ┏ ┓
┃ 1 2 ┃ ┃ 1 3 ┃
┃ 3 1 ┃ × ┃ 4 1 ┃ ＝ ？
┗ ┛ ┗ ┛
*********
饭后闲话：男孩物理学
1925年，当海森堡做出他那突破性的贡献的时候，他刚刚24岁。尽管在物理上有着极为惊
人的天才，但海森堡在别的方面无疑还只是一个稚气未脱的大孩子。他兴致勃勃地跟着青
年团去各地旅行，在哥本哈根逗留期间，他抽空去巴伐利亚滑雪，结果摔伤了膝盖，躺了
好几个礼拜。在山谷田野间畅游的时候，他高兴得不能自已，甚至说“我连一秒种的物理
都不愿想了”。
量子论的发展几乎就是年轻人的天下。爱因斯坦1905年提出光量子假说的时候，也才26岁
。玻尔1913年提出他的原子结构的时候，28岁。德布罗意1923年提出相波的时候，31岁。
而1925年，当量子力学在海森堡的手里得到突破的时候，后来在历史上闪闪发光的那些主
要人物也几乎都和海森堡一样年轻：泡利25岁，狄拉克23岁，乌仑贝克25岁，古德施密特
23岁，约尔当23岁。和他们比起来，36岁的薛定谔和43岁的波恩简直算是老爷爷了。量子
力学被人们戏称为“男孩物理学”，波恩在哥廷根的理论班，也被人叫做“波恩幼儿园”
。
不过，这只说明量子论的锐气和朝气。在那个神话般的年代，象征了科学永远不知畏惧的
前进步伐，开创出一个前所未有的大时代来。“男孩物理学”这个带有传奇色彩的名词，
也将在物理史上镌刻出永恒的光芒。
三
上次我们布置了一道练习题，现在我们一起来把它的答案求出来。
┏ ┓ ┏ ┓
┃ 1 2 ┃ ┃ 1 3 ┃
┃ 3 1 ┃ × ┃ 4 1 ┃ ＝ ？
┗ ┛ ┗ ┛
如果你还记得我们那个公共巴士的比喻，那么乘号左边的矩阵I代表了我们的巴士I号线的
收费表，乘号右边的矩阵II代表了II号线的收费表。I是一个2×2的表格，II也是一个2×
2的表格，我们有理由相信，它们的乘积也应该是类似的形式，也是一个2×2的表格。
┏ ┓ ┏ ┓ ┏ ┓
┃ 1 2 ┃ ┃ 1 3 ┃ ┃ a b ┃
┃ 3 1 ┃ × ┃ 4 1 ┃ ＝ ┃ c d ┃
┗ ┛ ┗ ┛ ┗ ┛
但是，那答案到底是什么？我们该怎么求出abcd这四个未知数？更重要的是，I×II的意
义是什么呢？
海森堡说，I×II，表示你先乘搭巴士I号线，然后转乘了II号线。答案中的a是什么呢？a
处在第一行第一列，它也必定表示从A地出发到A地下车的某种收费情况。海森堡说，a，
其实就是说，你搭乘I号线从A地出发，期间转乘II号线，最后又回到A地下车。因为是乘
法，所以它表示“I号线收费”和“II号线收费”的乘积。但是，情况还不是那么简单，
因为我们的路线可能不止有一种，a实际代表的是所有收费情况的“总和”。
如果这不好理解，那么我们干脆把题目做出来。答案中的a，正如我们已经说明了的，表
示我搭I号线从A地出发，然后转乘II号线，又回到A地下车的收费情况的总和。那么，我
们如何具体地做到这一点呢？有两种方法：第一种，我们可以乘搭I号线从A地到B地，然
后在B地转乘II号线，再从B地回到A地。此外，还有一种办法，就是我们在A地上了I号线
，随即在原地下车。然后还是在A地再上II号线，同样在原地下车。这虽然听起来很不明
智，但无疑也是一种途径。那么，我们答案中的a，其实就是这两种方法的收费情况的总
和。
现在我们看看具体数字应该是多少：第一种方法，我们先乘I号线从A地到B地，车费应该
是多少呢？我们还记得海森堡的车费规则，那就看矩阵I横坐标为A纵坐标为B的那个数字
，也就是第一行第二列的那个2，2块钱。好，随后我们又从B地转乘II号线回到了A地，这
里的车费对应于矩阵II第二行第一列的那个4。所以第一种方法的“收费乘积”是2×4＝8
。但是，我们提到，还有另一种可能，就是我们在A地原地不动地上了I号线再下来，又上
II号线再下来，这同样符合我们A地出发A地结束的条件。这对应于两个矩阵第一行第一列
的两个数字的乘积，1×1＝1。那么，我们的最终答案，a，就等于这两种可能的叠加，也
就是说，a＝2×4＋1×1＝9。因为没有第三种可能性了。
同样道理我们来求b。b代表先乘I号线然后转乘II号线，从A地出发最终抵达B地的收费情
况总和。这同样有两种办法可以做到：先在A地上I号线随即下车，然后从A地坐II号线去B
地。收费分别是1块（矩阵I第一行第一列）和3块（矩阵II第一行第二列），所以1×3＝3
。还有一种办法就是先乘I号线从A地到B地，收费2块（矩阵I第一行第二列），然后在B地
转II号线原地上下，收费1块（矩阵II第二行第二列），所以2×1＝1。所以最终答案：b
＝1×3＋2×1＝5。
大家可以先别偷看答案，自己试着求c和d。最后应该是这样的：c＝3×1＋1×4＝7，d＝3
×3＋1×1＝10。所以：
┏ ┓ ┏ ┓ ┏ ┓
┃ 1 2 ┃ ┃ 1 3 ┃ ┃ 9 5 ┃
┃ 3 1 ┃ × ┃ 4 1 ┃ ＝ ┃ 7 10┃
┗ ┛ ┗ ┛ ┗ ┛
很抱歉让大家如此痛苦不堪，不过我们的确在学习新的事物。如果你觉得这种乘法十分陌
生的话，那么我们很快就要给你更大的惊奇，但首先我们还是要熟悉这种新的运算规则才
是。圣人说，温故而知新，我们不必为了自己新学到的东西而沾沾自喜，还是巩固巩固我
们的基础吧，让我们把上面这道题目验算一遍。哦，不要昏倒，不要昏倒，其实没有那么
乏味，我们可以把乘法的次序倒一倒，现在验算一遍II×I：
┏ ┓ ┏ ┓ ┏ ┓
┃ 1 3 ┃ ┃ 1 2 ┃ ┃ a b ┃
┃ 4 1 ┃ × ┃ 3 1 ┃ ＝ ┃ c d ┃
┗ ┛ ┗ ┛ ┗ ┛
我知道大家都在唉声叹气，不过我还是坚持，复习功课是有益无害的。我们来看看a是什
么，现在我们是先乘搭II号线，然后转I号线了，所以我们可以从A地上II号线，然后下来
。再上I号线，然后又下来。对应的是1×1。另外，我们可以坐II号线去B地，在B地转I号
线回到A地，所以是3×3＝9。所以a＝1×1＋3×3＝10。
喂，打瞌睡的各位，快醒醒，我们遇到问题了。在我们的验算里，a＝10，不过我还记得
，刚才我们的答案说a＝9。各位把笔记本往回翻几页，看看我有没有记错？嗯，虽然大家
都没有记笔记，但我还是没有记错，刚才我们的a＝2×4＋1×1＝9。看来是我算错了，我
们再算一遍，这次可要打起精神了：a代表A地上车A地下车。所以可能的情况是：我搭II
号线在A地上车A地下车（矩阵II第一行第一列），1块。然后转I号线同样在A地上车A地下
车（矩阵I第一行第一列），也是1块。1×1＝1。还有一种可能是，我搭II号线在A地上车
B地下车（矩阵II第一行第二列），3块。然后在B地转I号线从B地回到A地（矩阵II第二行
第一列），3块。3×3＝9。所以a＝1＋9＝10。
嗯，奇怪，没错啊。那么难道前面算错了？我们再算一遍，好像也没错，前面a＝1＋8＝9
。那么，那么……谁错了？哈哈，海森堡错了，他这次可丢脸了，他发明了一种什么样的
表格乘法啊，居然导致如此荒唐的结果：I×II ≠ II×I。
我们不妨把结果整个算出来：
┏ ┓
┃ 9 5 ┃
I×II＝ ┃ 7 10┃
┗ ┛
┏ ┓
┃ 10 5┃
II×I＝ ┃ 7 9 ┃
┗ ┛
的确，I×II ≠ II×I。这可真让人惋惜，原来我们还以为这种表格式的运算至少有点创
意的，现在看来浪费了大家不少时间，只好说声抱歉。但是，慢着，海森堡还有话要说，
先别为我们死去的脑细胞默哀，它们的死也许不是完全没有意义的。
大家冷静点，大家冷静点，海森堡摇晃着他那漂亮的头发说，我们必须学会面对现实。我
们已经说过了，物理学，必须从唯一可以被实践的数据出发，而不是靠想象和常识习惯。
我们要学会依赖于数学，而不是日常语言，因为只有数学才具有唯一的意义，才能告诉我
们唯一的真实。我们必须认识到这一点：数学怎么说，我们就得接受什么。如果数学说I
×II ≠ II×I，那么我们就得这么认为，哪怕世人用再嘲讽的口气来讥笑我们，我们也
不能改变这一立场。何况，如果仔细审查这里面的意义，也并没有太大的荒谬：先搭乘I
号线，再转II号线，这和先搭乘II号线，再转I号线，导致的结果可能是不同的，有什么
问题吗？
好吧，有人讽刺地说，那么牛顿第二定律究竟是F＝ma，还是F＝am呢？
海森堡冷冷地说，牛顿力学是经典体系，我们讨论的是量子体系。永远不要对量子世界的
任何奇特性质过分大惊小怪，那会让你发疯的。量子的规则，并不一定要受到乘法交换率
的束缚。
他无法做更多的口舌之争了，1925年夏天，他被一场热病所感染，不得不离开哥廷根，到
北海的一个小岛赫尔格兰（Helgoland）去休养。但是他的大脑没有停滞，在远离喧嚣的
小岛上，海森堡坚定地沿着这条奇特的表格式道路去探索物理学的未来。而且，他很快就
获得了成功：事实上，只要把矩阵的规则运用到经典的动力学公式里去，把玻尔和索末菲
旧的量子条件改造成新的由坚实的矩阵砖块构造起来的方程，海森堡可以自然而然地推导
出量子化的原子能级和辐射频率。而且这一切都可以顺理成章从方程本身解出，不再需要
像玻尔的旧模型那样，强行附加一个不自然的量子条件。海森堡的表格的确管用！数学解
释一切，我们的想象是靠不住的。
虽然，这种古怪的不遵守交换率的矩阵乘法到底意味着什么，无论对于海森堡，还是当时
的所有人来说，都还仍然是一个谜题，但量子力学的基本形式却已经得到了突破进展。从
这时候起，量子论将以一种气势磅礴的姿态向前迈进，每一步都那样雄伟壮丽，激起滔天
的巨浪和美丽的浪花。接下来的3年是梦幻般的3年，是物理史上难以想象的3年，理论物
理的黄金年代，终于要放射出它最耀眼的光辉，把整个20世纪都装点得神圣起来。
海森堡后来在写给好友范德沃登的信中回忆道，当他在那个石头小岛上的时候，有一晚忽
然想到体系的总能量应该是一个常数。于是他试着用他那规则来解这个方程以求得振子能
量。求解并不容易，他做了一个通宵，但求出来的结果和实验符合得非常好。于是他爬上
一个山崖去看日出，同时感到自己非常幸运。
是的，曙光已经出现，太阳正从海平线上冉冉升起，万道霞光染红了海面和空中的云彩，
在天地间流动着奇幻的辉光。在高高的石崖顶上，海森堡面对着壮观的日出景象，他脚下
碧海潮生，一直延伸到无穷无尽的远方。是的，他知道，this is the moment，他已经作
出生命中最重要的突破，而物理学的黎明也终于到来。
*********
饭后闲话：矩阵
我们已经看到，海森堡发明了这种奇特的表格，I×II ≠ II×I，连他自己都没把握确定
这是个什么怪物。当他结束养病，回到哥廷根后，就把论文草稿送给老师波恩，让他评论
评论。波恩看到这种表格运算大吃一惊，原来这不是什么新鲜东西，正是线性代数里学到
的“矩阵”！回溯历史，这种工具早在1858年就已经由一位剑桥的数学家Arthur Cayley
所发明，不过当时不叫“矩阵”而叫做“行列式”（determinant，这个字后来变成了另
外一个意思，虽然还是和矩阵关系很紧密）。发明矩阵最初的目的，是简洁地来求解某些
微分方程组（事实上直到今天，大学线性代数课还是主要解决这个问题）。但海森堡对此
毫不知情，他实际上不知不觉地“重新发明”了矩阵的概念。波恩和他那精通矩阵运算的
助教约尔当随即在严格的数学基础上发展了海森堡的理论，进一步完善了量子力学，我们
很快就要谈到。
数学在某种意义上来说总是领先的。Cayley创立矩阵的时候，自然想不到它后来会在量子
论的发展中起到关键作用。同样，黎曼创立黎曼几何的时候，又怎会料到他已经给爱因斯
坦和他伟大的相对论提供了最好的工具。
乔治•；盖莫夫在那本受欢迎的老科普书《从一到无穷大》（One； Two；
Three…Infinity）里说，目前数学还有一个大分支没有派上用场（除了智力体操的用处
之外），那就是数论。古老的数论领域里已经有许多难题被解开，比如四色问题，费马大
定理。也有比如著名的哥德巴赫猜想，至今悬而未决。天知道，这些理论和思路是不是在
将来会给某个物理或者化学理论开道，打造出一片全新的天地来。
四
从赫尔格兰回来后，海森堡找到波恩，请求允许他离开哥廷根一阵，去剑桥讲课。同时，
他也把自己的论文给了波恩过目，问他有没有发表的价值。波恩显然被海森堡的想法给迷
住了，正如他后来回忆的那样：“我对此着了迷……海森堡的思想给我留下了深刻的印象
，对于我们一直追求的那个体系来说，这是一次伟大的突破。” 于是当海森堡去到
