投资学(第4版)-第110章
按键盘上方向键 ← 或 → 可快速上下翻页，按键盘上的 Enter 键可回到本书目录页，按键盘上方向键 ↑ 可回到本页顶部！
————未阅读完？加入书签已便下次继续阅读！
者的比较，隐含的波动性是从根据指数所交易的期权合约的价格得到的。注意，尽管
两条图线走向相当一致，但在波动性的估计值上二者间有滑移。我们还应注意，二者
在整个时期波动的差别很大。因此，选择合适的波动值用在期权定价模型中是个很难
的问题，现在很多研究致力于寻找预测波动变动的新技术。这些新技术被称为A R C H
模型，它认为股票波动性的变化只是部分可预测的，通过分析近来股票价格波动的水
平与趋式，可以改善未来波动性的预测。
概念检验
问题7：考虑布莱克…舒尔斯定价为1 3 。 7美元，而实际价格为1 5美元的期权，其隐
含的波动性大于还是小于5 0％？
21。4。2 红利与看涨期权定价
我们已知道布莱克…舒尔斯公式要求股票不支付红利，当在期权到期之前股票支
付红利时，我们就要调整公式。红利的支付，提高了提前执行期权的可能性，对更接
近现实的支付红利的情况，定价公式变得比布莱克…舒尔斯公式更复杂。
我们可以由一些经验去近似求出期权价值。最初由布莱克建议的一种流行的方法，
＇1＇ 这个概念的引入参见：Richard E。 Schmalensee and Robert r。 Trippi； “mon Stock Vo l a t i l i t y
Expectations Implied by Option Premia； ”Journal of Finance 33（March 1978）； pp 129…47。
隐含的波动性历史上3个月的波动性
562 第六部分期权、期货与其他衍生工具
下载
是将股票价格减去在到期前红利支付额的现值＇ 1 ＇，于是我们就可简单地用S0 …P V （红利）
代替S0。这样，通过这种调整就把红利对股价的最终影响考虑进来了。假定期权将持
有到期，则期权价值的计算同上。
这种方法对欧洲看涨期权更有效，因为该看涨期权要求必须持有到期。但是，对
于美式看涨期权就不适用了，因为美式看涨期权所有者可在红利支付前执行。假定在
红利支付日之前执行期权，那么股票的价值就比到期时期权的价值要高。尽管持有期
权至到期日有更长的有效时间，这会增大期权的价值，但是因为损失了红利的收入，
降低了股票在到期时的期望价值，从而降低了期权价值。
让我们举例说明。假如股票价格为2 0美元，在4个月内将支付1美元的红利，而该股
票的看涨期权在6个月后到期。有效年利率为1 0％，所以红利的现值为1美元/ （ 1 。 1 0 ）1 / 3= 0 。 9 7
美元。布莱克建议我们可以用下面两种方法中的任意一种来计算期权价值：
1） 假定提前执行，代入实际股票价格2 0美元与4个月的到期期限（红利支付的时
间），运用布莱克…舒尔斯公式计算。
2） 假定不会提前执行，代入用红利调整后的股票价格，2 0美元…0 。 9 7美元= 1 9 。 0 3
美元，与6个月的到期期限，运用布莱克…舒尔斯公式计算。
得出的两个值中的大者就是对期权价值的估计，也许提前执行是最优的。换句话
说，所谓的伪美式看涨期权价值（pseudo…American call option value）就是以上两者中的
大者。但是这种方法是不准确的，因为它假定期权持有者现在就作了一个不可改变的
决策何时来执行期权，而事实上这个决策在发出执行通知之前都是可以改变的＇ 2 ＇。
21。4。3 看跌期权定价
我们已经讨论了看涨期权的定价。我们可以通过看涨期权与看跌期权平价定理得
到布莱克…舒尔斯欧式看跌期权定价公式。我们只需简单地根据式（ 2 1 … 1 ）求出看涨期权
的价值，就可以得到：
P=C＋ P V （X）…S0=C＋Xe …r T…S0 （ 2 1 … 2 ）
为了与布莱克…舒尔斯公式一致，我们必须使用连续复利来计算执行价格的现值。
应用前面看涨期权例子中的数据：C= 1 3 。 7 0美元，X= 9 5美元，S= 1 0 0美元，r= 0 。 1 0，
= 0 。 5，T= 0 。 2 5；我们可以得到执行价格与到期时间都相同的股票欧式看跌期权的价值：
P= 1 3 。 7 0美元＋ 9 5 e…0 。 1 0×0 。 2 5美元…1 0 0美元= 6 。 3 5美元
正如我们已注意到的，作为交易策略的一个步骤，我们会将此结果与实际的看跌
期权价格进行比较。
式（ 2 1 … 2 ）适用于不支付红利的股票的欧式看跌期权的估价。美式期权提供了提前
执行的机会，而且我们已经知道提前执行的权利是有价值的，这意味着美式期权比相
应的欧式期权更有价值。因此，式（ 2 1 … 2 ）仅仅是美式看跌期权真实价值的下限。即便
如此，这种近似的计算在很多应用中也算是很精确的了＇ 3 ＇。
＇1＇ Fischer Black； “Fact and Fantasy in the Use of Options；” Financial Analysis Journal 31 （July…August
1 9 7 5 ） 。
＇2＇ 支付红利的美式看涨期权的精确定价公式参见：Richard Roll； “An Analytic Valuation Formula for
Unprotected American Call Options On Stocks with Known Dividends；” Journal of Financial Economics
5 （November 1977）。这一技术得到修改，参见：Robert Geske； “A Note on an Analytical Formula for
Unprotected American Call Options on Stocks with Known Dividends；” Journal of Financial Economics
7 （December 1979）以及Robert E。 Whaley；“On the Valuation of American Call Options on Stocks with
Known Dividends；”Journal of Financial Economics 9 （June 1981）。这些文章都很难。
＇3＇ 对美式看跌期权的更完全的论述参见：R。 Geske and H。 E。 Johnson； “The American Put Va l u e d
A n a l y t i c a l l y；”Journal of Finance 39 （December 1984）； pp。1511 … 2 4 。
下载
第21章期权定价
563
21。5 布莱克…舒尔斯公式的运用
21。5。1 套期保值率与布莱克…舒尔斯公式
在上一章中，我们考察了对I B M公司的两种投资：1 000 股I B M股票与10 000 份
I B M股票的看涨期权。我们发现，与全部持有股票相比，看涨期权对股票价格的变化
更敏感。为了更加准确地分析对股票价格的总体风险，很有必要把相对敏感性量化。
使我们能够对具有不同执行价格与到期期限的期权资产组合的总体风险进行归纳的工
具就是套期保值率。期权的套期保值率（hedge ratio）就是股票价格上升1美元时期权价
格的变化量。所以，看涨期权的套期保值率是正值，而看跌期权的套期保值率是负值。
套期保值率通常又称为期权的得尔塔（d e l t a）。
如图2 1 … 8所示，如果给出期权价格与股票价格的函数曲线，那么套期保值率就是
曲线在当前股票价格上的斜率。例如，假设当股票价格为1 2 0美元时，曲线的斜率为
0 。 6。则当股票价格上升1美元时，期权价格会近似地增加0 。 6美元，如图所示。
每出售一份看涨期权，就需要0 。 6股股票来对其进行套期保值。例如，某人出售1 0
份看涨期权并且持有6股股票，根据0 。 6的套期比率，股票价格每升高1美元，股票的收
益增加6美元，同时看涨期权则损失1 0×0 。 6美元，即6美元。可见股票价格的变动没有
引起总财富的变动，这就使头寸
得到了套期保值。投资者根据股
票与期权价格的相对变动按比例
地持有股票与期权，就可以实现
对资产组合的套期保值。
布莱克…舒尔斯套期保值率
非常容易计算，看涨期权的套期
保值率是N（d1），看跌期权的套期
保值率为N（d1）…1。我们将N（d1）
定义为布莱克…舒尔斯公式（ 2 1 … 1
式）的一部分，N（d）代表标准正
态分布曲线到d 的区域的面积。
所以，看涨期权的套期保值率总
是正值且小于1 。 0，而看跌期权
的套期保值率是负值，且绝对值小于1 。 0。
从图2 1 … 8中也可看出看涨期权价值函数的斜率小于1 。0 ，只有当股票价格比执行
价格高出很多时才接近1 。 0。这就告诉我们，当股票价格变化为1时，期权价格的变化
要小于1，为什么会这样呢？假设目前期权处于实值，那么期权被执行是绝对肯定的，
在这种情况下，股票价格上升1美元，期权价格也会上升1美元。但如果看涨期权到期
时是虚值，即使股票价格上升1美元，看涨期权的最后收益也不会增加，从而看涨期
权价值不会相应地上涨1美元。
套期保值率小于1 。 0这一事实与我们前面观察的期权的杠杆作用与对股票价格波动的
敏感性并不矛盾。尽管在绝对数量上（以美元计算），期权价格的波动要比股票价格的变动
小，但是期权收益率的波动性却比股票的高，因为期权的价格较低。在我们的例子中，
股票价格为1 2 0美元，套期保值率为0 。 6，执行价格为1 2 0美元的期权的价格为5美元。如果
股票价格涨到1 2 1美元，则看涨期权价格仅会增加0 。 6美元，达到5 。 6美元。期权价格的增
长百分比为0 。 6 0美元/ 5 。 0 0美元= 1 2％，而股票价格的增长百分比仅为1美元/ 1 2 0美元= 0 。 8 3％。
比率为1 2％/ 0 。 8 3％= 1 4 。 4，即股票价格每增加1％，期权的价格会上涨1 4 。 4％。这一比率，即
期权价格变动百分比与股票价格变动百分比的比值，称为期权弹性（option elasticity）。
套期保值率是资产组合管理与控制的最基本工具，下面的例子将说明这一点。考
图21…8 看涨期权价值与套期保值率
看涨期权（C）的价值
斜率=0。6
564 第六部分期权、期货与其他衍生工具
下载
虑两种资产组合，一是个人持有7 5 0份I B M公司的看涨期权与2 0 0股该公司的股票，而
另一组合是个人持有8 0 0股I B M股票，当I B M公司的股票价格波动时，哪一种资产组合
的价格变动更大呢？使用套期保值率可以很容易回答这一问题。
用H代表套期保值率，则股票价格每变动1美元，期权价格就会变动H美元。因此，
如果H的值为0 。 6，由于I B M股票价格的波动，7 5 0份期权就相当于4 5 0 （ 7 5 0×0 。 6 ）股股
票。显然，第一种资产组合对股票价格的敏感性要低，因为相当于4 5 0股股票的期权
再加上本来持有的2 0 0股股票要小于第二种资产组合的8 0 0股股票。
然而，这并不是说第一种资产组合对股票收益率的敏感性也一定不及第二种资产
组合。我们在讨论期权弹性时知道，第一种资产组合总价值可能低于第二种资产组合。
因此尽管它对总体市场价值的敏感度会低一些，但是它可能会非常敏感于收益率。因
为一份看涨期权的市场价值要低于股票的价格，尽管它的套期保值率小于1，但它的
价格变化幅度却要比股票大得多。
概念检验
问题8：如果股票的市价为1 2 2美元，执行价格为1 2 0美元的看跌期权的市价为4美
元，其套期保值率为0 。 4，则此看跌期权的弹性为多少？
21。5。2 资产组合保险
在第2 0章中，我们已经知道，保护性看跌期权策略提供了一种对资产的保险。事
实证明，投资者非常喜欢保护性看
跌期权。甚至当资产价格下跌时，
看跌期权仍有权利以执行价格卖出
资产，这是一种将证券投资的价值
锁定在某个价格下限的一种方法。
两平看跌期权（X=S0）的最大损失是看
跌期权的成本。资产可以以X出售，
与其初始价值相等，所以即使资产
价格下跌，投资者在这段时间内的
净损失仅仅是看跌期权的成本。如
果资产价值上升，潜在的上升却是
没有限制的。图2 1 … 9是保护性看跌
期权在标的资产价值变动时的收益
图21…9 保护性看跌期权策略的利润
与损失。
保护性看跌期权也是实现资产组合保险（portfolio insurance） 的一个简单而方便的
方法，也就是说，它限制了最坏情况下资产组合的收益率，但在对股票资产组合保险
时，有一些实际的困难。首先，除非投资者的资产组合同看跌期权交易的市场指数相
符，否则的话则无法买到资产组合的看跌期权。而且如果用指数的看跌期权来保护指
数外的证券时，会产生追踪误差。例如，如果市场指数上升，证券价值下跌，看跌期
权将会失去应有的保护作用。追踪误差限制了投资者进行积极的股票策略的自由度，
因为资产组合背离市场指数越严重，这种误差就越大。
而且，保险计划的期限必须与所交易的看跌期权的期限相匹配，以便建立适当的
保护性看跌期权。今天，在芝加哥期权交易所交易的市场指数的长期期权与一些大型
股票（被称为L E A P S，Long…term Equity Anticipation Securities）的期限长达好几年。而
且，这一市场最近几年才活跃起来。在8 0年代中期，虽然大多数投资者都追求期限长
达几年的保险项目，但是交易活跃的看跌期权的期限却不超过1年。将一系列短期看
跌期权滚动起来可看作是一个解决这个问题的方法，但这会引入新的风险，因为一系
可保护的头寸值的变化
看跌期权的成本
标的资产价
值的变化
下载
第21章期权定价
565
列在将来才会得到的看跌期权的价格现在是未知的。
期限为几年的资产组合保险的供应者，不能简单地将为委托人的资产组合购买的
保护性看跌期权作为权宜之计，相反，他们需要采用交易策略复制保护性看跌期权的
收益。
以下是一个人们普遍接受的观点：即使所需要的到期日的资产组合的看跌期权不
存在，也可以通过理论上的期权定价公式（例如布莱克…舒尔斯期权定价公式）来确定期
权价格对资产组合价值的反应，如果这种期权确实在交易的话。例如，未来股票价格
下降时看跌期权会增值。通过期权定价公式，可以确定两者的这种关系。假定的保护
性看跌期权资产组合对股票价格变动的净风险等于构成资产组合的两部分，股票与看
跌期权的风险之和。即资产组合的净风险等于股票的风险减去看跌期权的风险。
如果我们持有的一定数量股票对市场波动的净风险与假设的保护性看跌期权的风
险相同，那么我们就创造了合成的保护性看跌期权。这种策略的关键是期权的得尔塔
或者套期保值率，也就是标的股票资产组合价值的单位变化所引起的保护性看跌期权
价格的变化量。
下面举例来说明这种方法。假定一个股票价值损失2％×1 0 0 = 2 。 0 0
资产组合的现值为1亿美元。以该资产组＋ 看跌期权的盈利0 。 6×2 。 0 0 =1 。 2 0
合为标的的看跌期权的得尔塔值为…0 。 6， 净损失：= 0 。 8 0
也就是说资产组合的价值每增加（减少） 1美
元，期权的价值就会减少（增加） 0 。 6美元。假定资产组合的价值减少了2％，如果存在看
跌期权的话，假定的保护性看跌期权的赢利如右所示（以百万美元计）：
我们也可以通过出售等于得尔塔（如6 0％）的比例的股票，并购买相应数量的无风
险的短期国库券，以达到创造合成的期权头寸的目的。其基本原理是，假定的看跌期
权可以抵消掉股票资产组合价值变化的
6 0％，所以可以直接出售6 0％的股票并将股票投资的损失：2％×4 0 = 0 。 8 0
收益投资于无风险资产。6 000 万美元投资＋国库�
