投资学(第4版)-第51章
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的加权平均值。该资产组合的非系统成分（与F无关）为：
i
eP ＝。wiei
也是N种股票的ei的加权平均值。
正如在第1 0章中所作的，我们将这一投资组合的方差分为系统的和非系统的两方
面。投资组合的方差为：
＝
P2
P2F2＋2（eP）
这里
F2为因子F的方差，而
（ep）为资产组合的非系统风险，它还可以表达为：
2
2（ep）＝方差（。wiei）＝。wi
2（ei）
2
注意到在推导资产组合的非系统方差时，我们依赖这样一个事实，即厂商特定的
ei之间是无关的，因此这些非系统的ei组成的资产组合的方差就应等于以投资比例的平
方为权重的、单个方差的加权平均值。
如果该投资组合是等权重的，即wi ＝1 /n，则非系统方差将为：
2（eP，wi ＝1 /n）＝。（ 1 /n）2
2（ei）＝1 /n。＇
2（ei） /n＇＝1 /n 2（ei）
在本例中，我们将非系统平均方差除以n，使当该资产组合增大时；即n增大但仍保
持各股的等权重，非系统方差趋于零。
概念检验
问题2：如果
（ei）的平均值等于3 0％，（ a ）n＝1 0，（ b ）n＝1 0 0，（ c ）n＝1 000，（ d ）n＝
10 000，那么等权重资产组合的非系统标准差是多少？你对较大的分散化的资产组合
的非系统风险能得出什么结论？
随n增大而非系统方差趋于零的各种投资组合不仅仅包含等权重的资产组合，还
有其他形式。任何能满足随n增大每个wi均稳定的减小（特别的，随n增大每个wi2趋于
零）的投资组合都将满足该组合之非系统风险随n增大而趋于零的条件。
事实上，这条性质促使我们把充分分散化的投资组合（well…diversified portfolio）
定义为满足：按比例wi 分散于足够大数量的证券中，而每种成分又足以小到使非系统
方差
2（ep）可以被忽略。因为ep的期望值为零，如果它的方差也为零，我们可推断ep的
任何实现值将基本为零。重写等式11 … 1 ，我们得出对所有实际目的有意义的充分分散
化的投资组合的公式
rP ＝E（rp）＋
F
p
和
＝
＝
P2
pF
P2F2； p
大投资者（主要为金融机构）往往持有成百上千种证券的投资组合，因此，充分
分散化的投资组合的概念显然在目前的金融市场上是可操作的。但是，充分分散化的
投资组合并不必须是等权重的。
为了进行说明，考虑一个由1 000种股票构成的投资组合。我们令第一种股票的头
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第11章套利定价理论
267
寸为w％，令第二种股票的头寸为2w％，第三种为3w％，以此类推。这样我们持有的最
大头寸是第一千种股票，为1 000w％。基于最大头寸是最小头寸的1 000倍的事实，这
个资产组合有可能充分分散化吗？出乎意料的是，答案是肯定的。
我们来看看，让我们确定所有这些股票中的最大权重，即本例中的第一千种股票
的权重。所有这些股票的头寸的总和一定为1 0 0％；因此，有
w＋2w＋。 。 。＋1 000w＝1 0 0
求解w，为
w＝0 。 0 0 0 2％
1 000w＝0 。 2％
我们的最大头寸只是1％的0 。 2，并且这决不是一个等权重组合。但是在实际操作
中它仍然是一个充分分散化的资产组合。
11。2。2 贝塔与期望收益
由于非系统因素可被分散掉，只有系统风险在市场均衡中控制着风险溢价。在充
分分散化的投资组合中，各厂商之间的非系统风险相互抵偿，因此在一个证券投资组
合中只有系统风险能与其期望收益相关。
图11 … 1 A 中的实线描画了在不同的系统风险下，一个
A ＝1的充分分散化资产组合
A的收益情况。资产组合A的期望收益是1 0％，即实线与竖轴相交的点。在该点处系统
风险为0，意味着不存在宏观的意外情况。如果宏观因素是正的，资产组合的收益将
超出期望值；如果宏观因素为负，则收益将低于其平均值。因此资产组合的收益为
E（rA）＋
AF＝1 0％＋1 。 0×F
对比图11 … 1 中的a ）和b ）图，均为一个
S ＝1的单个股票（S）。非分散化的股票受非系
统风险的影响，并呈现为分布在直线两侧的散点。相比较，充分分散化的资产组合的
收益则完全由系统风险决定。
收益率（％）收益率（％）
a） b）
图11…1 作为系统风险函数的收益
a） 充分分散化的资产组合A b） 单一股票（S）
现在再来看图11 … 2 ，虚线代表另一充分分散化投资组合B的收益，其收益的期望
值为8％，且
也等于1，即
B ＝1。那么，A和B是否可以在图中的条件下共存呢？显然
不行：不论系统因素最终为多少，A大于B都会导致套利机会的出现。
如果你作1 000 000美元资产组合B的空头，并买入1 000 000美元资产组合A，即
实施一项零净投资的策略，你的收益将为20 000 美元，具体过程如下：
B
（ 0 。 1 0 ＋ 1 。 0×F）×1 0 0万美元（在资产组合A上作多头）
…（ 0 。 0 8 ＋ 1 。 0×F）×1 0 0万美元（在资产组合B上作空头）
0 。 0 2×1 0 0万美元＝20 000美元（净收益）
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268 第三部分资本市场均衡
收益率（％）
F（现实的
宏观因素）
图11…2 作为系统风险函数的收益：出现了套利机会
你获得了一项无风险利润，因为系统风险消除了多头与空头头寸的差。进一步说，这
项策略要求零净投资。你应继续寻求一个尽可能大的投资规模，直至两个组合间的收
益差消失为止。具有相同
值的投资组合在市场均衡时一定具有相同的期望收益，否
则将存在套利机会。
那么具有不同
值的投资组合又会怎么样呢？现在我们来说明它们的风险溢价将
与
成比例。为了说明方便，请利用图11 … 3 。假设无风险利率为4％，另一充分分散化
的投资组合C（其
＝0 。 5）的期望收益为6％。将资产组合C的收益线画在位于无风险
资产至资产组合A的直线下。因此，要考虑一个新的资产组合D，它由资产组合A和无
风险资产各占一半组成。资产组合D的
值将为1 / 2×0＋1 / 2×1）＝0 。 5，其期望收益为
（1 / 2×4＋1 / 2×1 0）＝7％。这时资产组合D具有和C相等的
值，但比C的期望收益大。
从对前图的分析，我们可以知道，这构成了一个套利机会。
期望收益率（％）
风险溢价
（市场指数
所对应的）
图11…3 一个套利机会
我们可以得出这样的结论：为了排除套利机会，所有充分分散化投资组合的期望
收益必须位于图11 … 3 的通过无风险资产点的直线上。这条直线的方程将给出所有充分
分散化投资组合的期望收益值。
注意到在图11 … 3 中，风险溢价确实与资产组合的
值成比例。风险溢价由竖向箭
线给出，它由无风险利率与该资产组合的期望收益之间的距离表示。风险溢价在
＝0
时为零，并直接与
成比例地增长。
更正式的，我们假定由两个充分分散化的资产组合合成一个零贝塔值的资产组合
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第11章套利定价理论
269
Z，资产组合Z所选择的权重参见表11 … 4 。资产组合Z中的两项资产的权重之和为1，贝
塔值为0，有
Z ＝wU
V/ （
U） / （
U＋（
V ＝0
U＋wV
V ＝
V
U）
V
U）
表11…4 零贝塔值的资产组合中的资产组合特征与权重
资产组合期望收益贝塔值资产组合权重
U E（rU）
V/ （
V
U）
U
V E（rV）
U/ （
V
U）
V
资产组合Z是无风险的，它也没有分散化风险，因为它是充分分散化的；它没有
暴露在系统风险下，因为它的贝塔值为零。为了消除套利机会，它只能获得无风险利
率。因此，有
E（rZ）＝wUE（rU）＋wVE（rV）
＝
V/ （
U） / （
U）E（rU）＋（
U）E（rV）＝rf
V
V
整理上式，我们可以得到以下结论
（ 11 … 2 ）
这意味着正如图11 … 3 所示，风险溢价与贝塔值成比例。
E（rU）…rf/
U ＝E（rV）…rf/
V
概念检验
问题3：假定资产组合E是充分分散化的，贝塔值为2 / 3，期望收益为9％，是否存
在一个套利机会？如果存在的话，套利机会是什么？
11。2。3 证券市场曲线
现在考虑市场投资组合是一个充分分散化的投资组合，我们把系统因素看作是市
场投资组合的意外收益。市场投资组合的贝塔值为1，即
＝1，由于市场投资组合也
在图11 … 3 所示的曲线上，我们可用它来决定该曲线的方程。如图11 … 4 所示，曲线的截
距为rf，斜率为E（rM）…rf，该曲线的方程为，
（ 11 … 3 ）
因此，图11 … 3 与图11 … 4 的关系和资本资产定价模型（C A P M）的证券市场曲线关系是
一致的。＇ 1 ＇
在没有严格的C A P M假设的情况下，我们已经用无套利条件得到期望收益
E（rP）＝rf＋＇E（rM）…rf＇
P
之间
的关系是等同于其在C A P M中的关系。这表明即便没有C A P M的严格假设，C A P M的
主要结论，即证券市场曲线期望收益
关系，至少是基本有效的。
值得注意的是，与C A P M相反，套利定价理论（A P T）并不要求证券市场曲线关
系的基准资产组合为真实市场投资组合。任何一个位于图11 … 4 中证券市场曲线上的充
分分散化投资组合均可作为一个基准资产组合。例如，我们可以将基准资产组合定义
为一个与任何可影响股票收益的系统因素高度相关的充分分散化的投资组合。相应的，
A P T比C A P M更具有弹性，因为那些与一个难以观测的市场资产组合有关的问题对它
来说并不是很重要的。
另外，A P T为我们在证券市场曲线关系的实现中利用指数模型提供了进一步的理
由。即便指数投资组合并不是一个真实的市场组合（在C A P M条件下这是相当重要的
一个原因）的精确替代，我们现在也可以知道，如果指数组合是充分分散化的，证券
＇1＇ 方程11 … 3 也可以从方程11 … 2 中推导出。如果你用市场投资组合M，就如方程11 … 2 中的资产组合U，通过
对资产组合V解出期望收益（注意
M ＝1），你将发现V的期望收益是由S M L关系给定的。
270 第三部分资本市场均衡
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市场曲线关系仍然可以真实地与套利定价理论保持一致。
到目前为止，我们只是证明了充分分散化投资组合的A P T关系。C A P M的期望收
益
关系适用于单个资产和投资组合。下面，我们要对套利定价理论的结论作进一步
一般化的分析。
期望收益率（％）
（市场指数
所对应的）
＇E（rM）－rf＇
图11…4 证券市场曲线
11。3 单个资产与套利定价理论
我们已经证明，如果由充分分散化的投资组合引起对套利机会的排除，每个资产
组合的期望收益一定与其
值成正比。对任意的两个充分分散化的投资组合P和Q，上
述关系可表达为下式
＇E（rP）…rf＇ /
P ＝＇E（rQ）…rf＇ /
（ 11 … 4 ）
Q
问题是这种关系是否可以提供给我们有关成份股票的期望收益率的信息。答案是：
如果所有的充分分散化的投资组合均满足该关系，那么所有的单个证券也将几乎肯定
地满足该关系，尽管要证明这个命题是比较困难的。从一开始我们就注意到，直觉上，
我们仅需证明非系统因素对证券的收益并不重要。支配充分分散化投资组合的期望收
益
关系必然也会支配单个证券的。
首先，我们要证明如果单个证券满足方程11 … 4 ，那么所有的资产组合也满足。如
果对任意两种股票i和j，相同的关系也成立，即
＇E（ri）…rf＇ /
i ＝＇E（rj）…rf＇ /
j ＝K
这里，K为适用于所有证券的常数，然后通过交叉相乘，我们可以得到对任意证
券i的方程
E（ri）＝rf＋
iK
因此，对于权重为wi的任意资产组合P，我们有
E（rP）＝。wiE（ri）＝rf。wi＋K。wi
i
因为。wi ＝1，且
，我们有
P ＝。wi
i
E（rP）=rf＋
PK
这样，对于所有的资产组合，有
＇E（rP）…rf＇ /
P ＝K
下载
第11章套利定价理论
271
由于所有的资产组合具有相同的K，有
＇E（rP）…rf＇ /
P ＝＇E（rQ）…rf＇ /
Q
换句话说，如果期望收益
关系对所有的单个资产成立，那么它也对所有的资产
组合成立，不论资产组合是否分散化。
概念检验
问题4：在方程11 … 4 中用简单数字例子进一步肯定了所表述的性质。假定资产组
合P的期望收益为1 0％，
值为0 。 5，而资产组合Q的期望收益为1 5％，
值为1，无风险
利率rf为5％。
a。 找出这些资产组合的K值，并说明它们是相等的。
b。 找出有相等权重的资产组合P和资产组合Q的K值，并说明它也等于每一单个证
券的K值。
现在我们来证明对所有证券来说满足该条件是必要的。为了避免繁琐，我们仍然
先从不复杂的形式入手。
假定对所有单个资产期望收益
关系都是相背的。现在从这些资产中构造两个充
分分散化的投资组合。尽管对于任意两个资产，如下关系
＇E（ri）…rf＇ /
i ＝＇E（rj）…rf＇ /
j
并不成立，那么对满足
＇E（rp）…rf＇ /
＝＇E（rQ）…rf＇ /
p
Q
的充分分散化的投资组合，前述关系成立的可能有多大？这种机会是很小的，但有可
能当这种关系在单个证券中以相互抵消的方式被违反时，它对充分分散化的资产组合
是成立的。
现在构造另一充分分散化的投资组合。那么当第三个资产组合也满足无套利的期
望收益
关系时，单个证券违反此关系的可能性又有多大？显然，这种可能性也是很
小的，但这种关系是可能的。继续构造第四个充分分散化的资产组合，由此类推。如
果无套利的期望收益
关系对无数不同的充分分散化的投资组合一定是成立的，那么
这一关系对所有单个证券均成立也几乎是十分肯定的。
这里我们故意用了“几乎十分肯定”一词，因为我们必须把这个结论与所有证券确
实满足这种关系的说法区别开来。由于充分分散化的性质，我们对后一说法很难证明。
回顾一个资产组合必须在全部证券上具有非常小的头寸才能符合“充分分散化”
的要求。例如，如果只有一种证券违反了期望收益
关系，这种违反对充分分散化的
资产组合所产生的影响是非常小的，以致对任何实际情况均不具有重要意义，亦不会
出现有意义的套利机会。但是，如果有许多证券都违反期望收益
关系，那么，这一
关系对充分分散化的投资组合将不再成立，套利机会就会出现。
因此，我们得出结论，将无套利条件加在一个单一要素证券市场上，这意味着期
望收益
关系对所有充分分散化的投资组合及（除可能的一小部分以外的）所有单个
证券都成立。
套利定价理论起着许多与资本资产定价模型相同的作用。它提供了一个可应用于
资本预算、证券评估或投资业绩评估的收益率的基准点。此外，套利定价理论强调了
以风险溢价形式取得收益的不可分�
