科学史(下)-第39章
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个点组成的线段）有止境，有些则没有，又有些数的集合，虽为无穷，而非
级数。
其他困难，是由于想把有限数的某些特性，如可以数清的特性等，应用
于无穷数。无穷级数虽其项数不可胜数，但可由其自身数类的性质而识别。
并且一个无穷数，不因有所加减，甚至乘除，而变大或变小。现在把所有数
字1，2，3，。。书一横行，而将所有偶数2，4。6，。。在其下面另书一横
行。两行数字的数目相等，但下行乃从所有数的无穷集合中，取去无穷个奇
数而得的。这样，全体显然不大于其部分。此种矛盾，使哲学家否认无穷数
的存在。但是所谓“大于”，其意义颇为含糊。这里的“大于”，乃“含有
较多项”的意义。在此意义上，全体固能等于其部分，而无自相矛盾之病。
无穷大的现代理论，是坎托在1882—3 年提出来的。他证明有无穷个不
同的无穷数，而较大及较小的观念，通常也可应用于无穷数。在此种观念不
能应用的某些情况下，必有新问题发生。例如一长线所含数学上点的数目，
与一短线所含的相等：这里所谓较大较小，并非纯粹算术的，而含有几何上
的新概念。
哲学家所遭遇的困难，大部起于假设有限数的特性，能应用于无穷数。
如果有限的时间与空间，为有限个数的时刻与点所组成，则芝诺的论据或可
正确。为了避免芝诺的矛盾，我们可以有几条出路：（1）否认时间及空间的
实在性；或（2）否认空间及时间为点与顷刻所组成；或（3）坚持认为如果
空间与时间为点与时刻所组成，则点与时刻之数为无穷。芝诺与其许多信徒
选择了第一条出路，而其他如柏格森等则选择了第二条出路。
但是根据其他的理由，无穷数，无穷级数，以及不含连续项的无穷集数
的存在，是必须予以承认的。例如我们可以按1/2，1/4。1/8 等的次序，写
列一个小于1 的分数级数，但在每两个分数之间，尚有其他分数，如7/16，3/8 等等。在此级数中，没有两个分数是相连的，而它们的总数目是无穷的。
然而在它们所有数值的总和之外还有1。因此我们必须承认在一个无穷级数
的总和之外，确还有数的存在。芝诺关于线上的点数的论述，许多可应用于
这分数的集数。我们不能否认分数的存在，因此我们为了有效地避免芝诺的
矛盾，就必须找到一个站得住脚的无穷数的理论。
数学中的无穷数，是在可以计数的数之外的。无穷数不能靠从一个数走
到下一个数的连续步骤达到。它们存在于数类中，只能以数学的术语来下定
义，用数学的方法来加以检验。但凡有资格判断的人士，都一致承认数理逻
辑及无穷数的数学理论，确实是在正确的路上前进。妄图证明感觉对象与科
学定律为虚幻的陈旧的逻辑数据，今已证明其不确了；这一问题仍然存在，
因此须另用其他方法去研究。不管许多唯心主义哲学家怎样宣讲，想用先验
的心理方法推出外界的性质，实不可能。科学的观察与归纳方法，是必需的。
归纳法
从个别的现象以求概括定律的步骤，叫做归纳法。逻辑中归纳法的部分
在实验科学中特别重要。从以前各章所述，我们知道有许多哲学家研究它，
其中以亚里斯多德及弗兰西斯·培根最为有名。
培根赞扬实验，以为用差不多是机械式的方法可以确定地建立一般性的
定律。怀疑论者休漠，则以为如果用归纳法求新知识，即使归纳法完成其应
有的任务，有时也可能得到错误的结果，因此，用归纳法所得的定律，只能
说多少是或然的，而不能认为是确定的。但不管休谟的意见如何，大多数科
学家与若干哲学家，仍以归纳法为探求绝对真理的道路，甚至穆勒也持此信
念。他把归纳法放到因果律的基础上，而认为因果律已为许多确具原因的实
例所证明。惠威尔指出，单单经验可以证明一般性（generality），但不能
证明普遍性（universdlity），但如果再加上运用必然的真理，如算术原则、
几何公理及几何演绎，则普遍性也可求得。当然，这些见解都是在非欧几里
得空间发现以前的事①。当时虽有惠威尔的警告，穆勒的见解似乎仍然代表了
当时一般的信念。正如亨利·彭加勒（Henri Poincare）所说①：。。
自一肤浅的观察者看来，科学的真理是毫无疑问的；科学的逻辑是决无
错误的；学者有时错误的原因是他未认清原则。
科学的功用，在追溯各种现象间的关系，或更恰当地说，在追溯表述各
种现象的概念间的关系。但当我们，比方说，已发现气体压力的增大，使其
体积缩小时，我们也同样可以说，气体体积的缩小，使其压力增大②。在我们
的意识看来，凡是我们先想到的变量，就是原因。由此可知原因的观念与结
果的观念是暧昧不明的。只有当此中含有时间的因素时——即当互相关联的
事件之一，在另一事件之后时——我们的意识，才本能地把前件（post hoc）。。
看做是事因（propter hoc）。但这时也不可能把一个事件的真正原因和一
长串发生在前的情况——都是该事件发生的必要条件——分开。更进一步，
相对论已经证明，在“此地—此时”的一个事件，只能成为绝对的未来中的
事件的原因，与绝对的过去中的事件的结果。在第16 图（见406 页）中的中
立区域内的事件，与一个“此地—此时”的事件，不能有因果的关系，因为
如果这样的话，其影响的传递必将超过光速才可以③。并且如果用因果原理来
证明归纳法的有效性，说明它是追寻绝对真理的响导，那末，从逻辑上来说，
这一原理自身便不能用归纳方法来加以证明。因此，穆勒的论据的基础就动
摇了。
的确，归纳方法叙述起来是很容易的，而要证明归纳在逻辑上的有效性，
则颇为困难。归纳方法确非培根式的。惠威尔指出，归纳的成功，在于出发
时须有正确的观念。洞察力，想象力，或者天才，都是需要的：首先要选择
①
惠威尔对算术的称颂可能是对的；整数间的关系似仍含有绝对的真理。或者如克隆尼克（Kronecker）所
说：“只有整数是上帝创造的，其他都是人为的。”
① H。 Poincare； LaScienceetl’Hypothese，Paris，p。 1。
②
w。C。D。Dampier…Whetham，TheRecentDevelopment of PhysicalScience， 1sted。London，1904，p。 29。
③
A。S。Eddington； TheNature of thePhysicalWorld，Cambridge，1928，P。
最好的基本概念，并把各种现象加以妥善分类，使其适于归纳的运用①；其次
要制订一个临时的“定律”，作为工作假说，再以进一步的观察及实验加以
检验。
现试以实例说明于下：亚里斯多德的物质及其特性、天然位置等等的观
念，不能用作动力学的概念；如果说它能导出些什么，它所导出的，只是些
假的结论，如重的东西坠落得较快之类。从此以后，毫无进步可言。直至伽
利略及牛顿才摈弃了整个亚里斯多德的体系，从混乱之中选择距离或长度、
时间及质量作为新的基本概念，这样才能对物质及运动加以思考。
伽利略利用距离和时间以及由此导出的速度，于一度失败之后，猜得落
体的速度与其降落时间的正确关系，推出其数学推论，并且用实验加以证实。
牛顿再添上质量的概念——本隐涵于伽利略的研究成果内——成立了运动定
律，又由此推导出动力科学。
这种动力学广泛地得到观察与实验的证明。
正确概念的重要是很明显的，有了正确的概念，再给予正确定义的重要
性也是很明显的。所以彭加勒以为我们对于时间的测量，会不自觉地选择从
正午到正午，而非从日出到日出，因为只有如此，才使牛顿的动力学成为可
能②。反对此说的人士，如怀德海及里奇（Ritchie），所以走到反对的地步，
是因为他们把意识当作仲裁者，把我们对于各段时间相等的直接感觉，当作
测量的基础①。
正确的概念既已择定，人们大概就可以象伽利略那样看出概念间的某些
关系。这些关系，或它们的逻辑推论，就可以用实验加以检验，而其中有些
将得到证明。于是简单的定律就建立起来，而新的学科也就开始形成了。每
一得到证明的新关系，又引起新的实验，实验知识的增加，又需要并引出假
设性的新关系。提出可能正确的假说，需要洞察力与想象力；推求假说的推
论，需要逻辑本领同时还需要数学本领；检验假说的正确性，需要忍耐、毅
力与实验技巧。的确，如坎贝尔所说，归纳是一种艺术，而科学是艺术中的
最高的。
从第九章所叙述的生理学及心理学最近的研究成果看来，有一些人如持
“行为主义”的观点的人认为，归纳所依靠的基本方法，与心理学的“条件
反射”有密切关系。婴儿触火受伤后，将来必知避火。如他触火时，火在炉
内，他也将避火炉，即使炉内无火时也是如此。他前面的归纳是对的，后面
的是错的，虽然从逻辑上来说，二者都是从一个特殊的例子得到的不合理的
概括。相似的结果也可以在动物身上见到；但是无论其为动物或为人类，这
些，在最初不过是本能的；关于这个方法的理论及其语言的表述，在很后才
有，也许这就是弗洛伊德学派所说的“合理化”——即创设某种不管充分不
充分的理由，以证明我们所习惯去作的是合理的。有人以为这些简单的例子
可以说明甚至可以解释科学所需要的更为复杂的归纳。这些见解，在某种意
义上，是心理学中“行为主义”的扩大，大概将随着那些多少有些机械地看
待心理过程的观点，同其存
我们现在试研究一下归纳法的正确性。近年来，有许多人尤其是凯恩斯
①
H。 Poincare；及 N。R。Campbell；上所引书，A。D。Ritchie； Scientific Method。London；l923。p。62。
②
Ia Valevr dela Scierce； Chap； JI。
①
A。N。Whitehead；Concept of Nature； pp。121etseq。； A。D。Ritchie；Scientific Method； London； 1923，p。140。
（J。M。 Keynes），把概率的数学理论应用于这个问题①。凯恩斯的主要问题
是：归纳是不是象穆勒所说，只要根据若干数目的实例就行？
凯恩斯所得的结论是：一个归纳的概率，确随实例的数目而增加，不过
并不是因为穆勒所举的简单理由，而是因为实例愈多，则自首至末不存在第
三种变更因子的可能性愈大，因此各个实例之间，除所考虑的特性外，不存
其他共同点的可能性就愈来愈大。要这样增高归纳的正确性，还必须使每一
新的实例具有独立性，换言之，即必须不是从其他实例推得的必然结果。一
个归纳，可因实例数目的增加而达到确凿无疑，但要使此语有效，我们必须
首先证明或假定我们所要证明的概括本身的内在概率，并非无穷的渺小。
在检验上述的假设时，凯恩斯认为，对象的各种特性，象某些孟德尔单
元一样结合为群，因此，可能的独立的变数的数目，远较特性的总数目为少。
这个原理，在应用统计以建立定律时，也很需要。实际上所有科学的知识（除
由纯粹数学所得的知识外）都很需要这个原理。因此，依照凯恩斯的意见，
我们必须假定，一对象只具有有限数目的独立特性的概率是有限的，依照尼
科德（Nicod）的意见，一个对象具有较某一指定有限数目更少的独立特性的
概率是有限的②。
布罗德也用概率的方法来处理归纳。他想要证明：除非我们 468 持有
某种实在论者的信念——例如假定科学的“定律”所涉及的是构成感觉与概
念的基础的持久性的客体——“否则，就不可能证明我们有理由相信‘久经
考验的’归纳所得到的结果”①。彻底的经验论者，或现象论者，或许回答说：
这种信念，虽可用以指示将来什么可能是正确的，但往往证明其是错误的。
自然律
如果我们归纳成功，我们就可以得到一个工作假说；假说若经观测或实
验证实，就成为公认的理论或学说；而最后上升到自然律之列。
自然律在哲学上的重要性，曾经为人所夸大，主要责任在于十八世纪法
国百科全书学派。这种现象一直继续到十九世纪末叶。此后主要是在马赫的
影响下，科学思想之摆，又摆向另一方向，自然律又变成只是经验与感觉常
规的速记式记录。
现代的观点，介乎这两极端之间。例如坎贝尔于1920 年，批判地分析假
说、定律与学说的意义时，举出理由，说明为什么要相信：尽管把理论与事
实比较时，人们对理论有些轻视，但是仅仅建立在“事实”基础上的经验定
律，并不能引起多大的信赖；然而当此定律能用一种公认的理论加以解释时，
人们就相信了②。这样的定律，可能不只是感觉的常规。
坎贝尔以为定律有两种：（1）各种特性的一致的联想，例如“人”或“银”
的概念中所隐括的特性③；（2）往往用数学形式表达的各个概念间的关系。
穆勒与其信徒只讲第二种定律。“他们以冗长的论文，解释我们如何发现火
①
J。 M。 Keynes； Treatise on Probability； London；1921。
②
Bertrand； EarlRussell，An Outline of Philosophy； London，1927，p。284
①
C。D。Broad；Scientific Thought；London；1923，P。403。
②
N。R。Campbell，Physics， The Elements； p。 153。
③ 同书第43 页。
花在气体中激发爆炸的定律，但并不以为这样一个问题值得任何注意：我们
如何发现火花、爆炸与气体所以存在的定律（在他们的讨论中是假定知道这
些的）；然而这种后面所说的定律，在科学上却重要得多”①。凡没有毕生致
力于科学工作的人，对于不同定律的相对重要性是没有多少感觉的。
自休谟的研究以至凯恩斯的研究，人们对于归纳方法的批判469 性的考
察已证明，归纳科学虽然常常意识不到自己的局限性，也只能求得多少可能
正确的结论。有时，概括的概率很大，但是无穷大的概率②（即确定性），是
决不能达到的。不多年前，牛顿重力定律的精确以及化学元素的持久不变，
被认为毫无疑问的，而事实上，这两个原理正确的概率极大，致使我们大家
在剧烈争辩中，都愿以最后的一文钱，为其真实性作赌。然而爱因斯坦与卢
瑟福已经证明我们是错了，而我们的金钱要输给表面上愚蠢到、但也是真的
愚蠢到同我们打赌的鲁莽赌汉了。
由此可知，经验证明了现代的理论是对的，并且说明由归纳所得的概括
或定律，即使被普遍公认为真理，也只可视作或然而已。由于哲学上的决定
论的证据在很大程度上建立在自然律普遍适用的信念基础上，所以这问题颇
有其重要性。的确，在这方面所用的“定律”二字，颇易引起误解，而已产
生不幸的效果了。它使人们觉得无形中有一种道德上的义务，要叫现象“服
从定律”，并且使人们以为当我们发现了一个定律，我们就发现了一个
