科学发现的逻辑 作者:波珀-第11章

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法论规则，即应该选择那些能经受最严格的检验的理论（参看第20节中反约定主义的规则），等同于这样的规则：选择具有最大可能的经验内容的理论。

　　36．普遍性水平和精确度

　　还有其他的方法论要求，可以还原为对最大可能的经验内容的要求。其中两个要求是突出的：对可能达到的最高水平（或程度）的普遍性的要求，和对可能达到的最高精确度的要求。

　　考虑到这些要求，我们来考察下列可设想的自然律：

　　p：所有在封闭轨道中运行的天体作圆形运动，或者更简洁地说，所有天体轨道是圆。

　　q：所有行星轨道是圆。

　　r：所有天体轨道是椭圆。

　　s：所有行星轨道是椭圆。

　　在这四个陈述中存在的可推导性关系在我的图中用箭头表示。从p可以得出所有其他的陈述，从q可以得出s，s也可从r得出；所以s可以从所有其他陈述得出。

　　从p移动到q，普遍性程度减少，q表达的比p少，因为行星轨道形成天体轨道的一个真子类。因此，p比q更易于被证伪：如q被证伪，p也被证伪，但是反之不然。从p移动到r，（谓语的）精确度减少：圆是椭圆的其子类；如r被证伪，p也被证伪，但是反之不然。相应的话可以应用到其他的移动上：从p移动到s，普遍性程度和精确度二者都减少；从q到s，精确度减少；而从r到s，普遍性程度减少。和较高程度的普遍性或精确度相对应的是较大的（逻辑的，或）经验的内容，因而有较高的可证伪度。

　　全称陈述和单称陈述二者都可以写成“全称条件陈述”的形式（或者经常称作“一般蕴涵”）。假如我们把我们的四个定律写成这个形式，那么我们也许能更容易和更准确地看到两个陈述的普遍性程度和精确度是如何进行比较的。

　　全称条件陈述（参看第14节注）可以写成下列形式：‘（x）（φx→fx）’，或者读为：“所有x的值，满足陈述函项φx的，也满足陈述函项fx”。我们的图中的陈述s产生下列例子：“（x）（x是一颗行星的轨道→x是一个椭圆）”的意思是：“不论x是什么，如果x是一颗行星的轨道，则x是一个椭圆”。设p和q是写成这种“标准”形式的两个陈述；那么我们可以说，p比q有着更大的普遍性，如果p的前件陈述函项（可以用‘φpx’来表示）是重言地蕴含于（或可合乎逻辑地推导于），但是不等同于q的相应的陈述函项（可以用‘φqx’来表示）；或换言之，如果‘（x）φqx→φpx’是重言的（或逻辑上真的）。同样，我们说，p比q有着更大的精确性，如果‘（x）（fpx→fqx）’是重言的。即如果p的谓词（或者后件陈述函项）比q的谓词更窄，这就意味着：p的谓词衍推q的谓词。

　　这个定义可以推广到有着不止一个变量的陈述函项中。基本的逻辑变换从它导致我们已断言过的可推导性关系，这种关系可以用下列规则来表示：如果两个陈述的普遍性和精确性都是可比的，那么，较不普遍或较不精确的陈述可以从较普遍或较精确的陈述中推导出来；当然，除非一个更普遍而另一个更精确（如在我的图中q和r的情况）。

　　现在我们可以说，我们的方法论决定——有时被形而上学地解释成因果性原理——应不让任何事情得不到解释，即总是试图从其他具有更高普遍性的陈述中推导出陈述来。这个决定是从可达到的最高普遍性程度和精确度的要求中推导出来的，而这个要求可以还原成这样的要求或规则：应该选择能经受最严格检验的理论。

　　37．逻辑域　略论测量理论

　　如果陈述p，由于具有更高水平的普遍性或精确性，比陈述q更易于证伪，那么，为p所允许的基础陈述类是为q所允许的基础陈述类的一个真子类。适用于被允许的陈述类之间的子类关系，是适用于被禁止的陈述（潜在证伪者）类之间的子类关系的对立物：这两个关系可以说是相反的（也许可以说是互补的）。为一个陈述所允许的基础陈述类，可以称作它的“域”。一个陈述允许实在有的“域”，可以说是它允许实在“自由活动”的范围（或者自由度）。域和经验内容（参看第35节）是相反（或互补）的概念。因此，两个陈述的域的相互关系和它们的逻辑概率的相互关系一样（参看第34、72节）。

　　我引进域概念，因为它帮助我们处理和测量的精确度相联系的某些问题。假定两个理论的推断在所有的应用领域里区别是如此之小，以至在计算可观察事件之间的细微差别，由于在我们的测量中可达到的精确度不够高而不能检测到。因此，不首先改进我们的测量技术，就不可能用实验在这两个理论中作出判定。这表明，现行的测量技术决定了一定的域——一个范围，在这个范围内观察其间的差别为理论所允许。

　　因此，理论应该有可达到的最高可检验度（因此只允许最窄的域），这一规则衍推这样的要求：测量的精确度应尽可能提高。

　　人们经常说，所有测量都在于确定点的重合。但是任何这种确定只能在某些限度内才是正确的。在严格的意义上，不存在点的重合。两个物理“点”——比如，在量杆上的一个标记，在被测量物体上的另一个标记——它们至多能做到靠得很近；但不能重合，即不能合并成一点。不管在其他场合这个说法是如何的平凡，它对测量的精确性来说是重要的。因为它使我们想到，测量应该用下列术语来描述。我们发现，被测量的物体的点落在量杆的两个级别或标记之间，或者比方说，我们的测量仪器的指针落在刻度的两级之间。然后我们可以或者把这些级别或标记看作我们误差的两个最佳界限，或者去估计（比方说）指针在刻度间隔内的位置，因而得到一个比较准确的结果。人们可以这样描述这后一情况：我们使指针落在两个想象中的分级标记之间。因此，一个间隔、一个域总是存留着。物理学家的习惯是每一次测量都要估计这个间隔。（因此，例如他们效法Milliken用静电单位测量电子的基本电荷，得出e＝4．774·10…10，加上：不精确范围是±O．005·10－10。）但是这里发生一个问题。人们用两个标记——即间隔的两个边界——来代替刻度上的一个标记的目的究竟是什么，对于这两个边界的每一个，又一定会提出同样的问题：对于这间隔的边界，什么是准确性的界限呢？

　　给出间隔的边界显然是无用的，除非这两个边界本身能以大大超过我们对原来的测量所希望达到的精确度确定下来；即在它们不精确的间隔内确定下来，这些间隔因此应该比它们为原来的测量值确定的间隔小几个数量级。换句话说，间隔的边界不是截然分明的，而实际上是很小的间隔，这个间隔的边界本身仍然是更小得多的间隔，等等。就这样我们达到了可以称为间隔的“不分明的边界”或“缩聚边界”的观念。

　　这些考虑并不以误差的数学理论和概率论为前提。这走的是另一条迂迴的路；通过分析测量间隔的观念，这些考虑提供了一个背景，如果没有这个背景，误差的统计理论就没有什么意义。如果我们测量一个量许多次，我们得到的数值以不同的密度分布在某一间隔——精确性的间隔依赖现行的测量技术。仅当我们知道我们追求什么——即这个间隙的缩聚边界——我们才能把误差理论应用到这些数值上，并确定间隔的边界。

　　现在我想所有这些多少说明了使用测量方法对于纯定性方法的优越性。即使在定性估计的情况下，例如对一个乐音的音高的估计，有时也可能为这种估计给出一个准确性的间隔，这是正确的；但是，没有测量，任何这样的间隔只能是很模糊的，因为在这种情况下，不能应用缩聚边界的概念。这个概念只能在我们可以谈到数量级的地方因而只能在规定了测量方法的地方才适用。我将在第68节中，联系到概率论，进一步运用精确性间隔的缩聚边界这一概念。

　　38．联系维来比较可检验度

　　直到现在为止，我们仅在理论可以借助子类关系来作比较的范围内来比较它们的可检验度。在某些情况下，这个方法在指导我们选择理论方面很成功。因此现在我们可以说，在第20节中举例说到的Pauli的不相容原理的确证明是一个令人满意的辅助假说。因为它极大地增加了旧的量子论的精确度，因而增加了可检验度（如新量子论的相应的陈述断言：电子具有反对称状态，而不带电粒子和某些带大量电荷的粒子具有对称状态）。

　　然而，对于很多目的来说，用于类关系的方法来进行比较是不够的。因此，例如Frank指出，具有高水平的普遍性的陈述——例如Planck公式里的能量守恒原理——易于变成重言的，失去它们的经验内容，除非初始条件可以“……用少数测量，……即依靠系统状态特有的很少几个量值”来确定。关于必须确定和代入公式的参量的数目的问题是不能借助子类关系的帮助来阐明的，尽管它是显然与可检验性和可证伪性以及它们的程度密切联系着的。确定初始条件需要的量值越少，足以使理论被证伪的基础陈述就越不是复合的；因为起证伪作用的基础陈述，是由初始条件和推导出的预见的否定二者的合取组成的（参看第28节）。因此，通过弄清一个基础陈述必须有的最小复合度（如果它能够与理论矛盾的话），就有可能比较理论的可检验度；只要我们能找到一种方法来比较基础陈述以弄清它们是否更（或不那么）复合的，即是否是大量（或小量）比较简单的一种基础陈述的复合物。所有复合度没有达到必要的最低限度的基础陈述，不管它们内容如何，只是由于它们的低复合度，就都是为理论所允许的。

　　但是，任何这样的纲领都面临着困难。因为一般地说，单靠检查，是不容易说出一个陈述是否是复合的，即是否等于更简单的陈述的合取。在所有的陈述里，都出现普遍名称，通过分析它们，人们往往能把陈述分解为合取的组分（例如，陈述：“在k地有一玻璃杯水”也许可以被分析和分解成两个陈述：“在k地有一玻璃杯盛着一种液体”和“在k地有水”）。用这种方法来分解陈述，没有希望找到任何自然的终点，特别是因为，我们为了使进一步分解成为可能，总能引进新的已定义的普遍名称。

　　为了使得所有基础陈述的复合度成为可比的，可以建议：我们必须选择一定的陈述类作为基本的或原子的陈述，然后通过合取和其他的逻辑运算就能够从这些基本或原子陈述中得到所有其他陈述。如果成功，我们就应用这种方法来定义复合的“绝对零度”，然后可以把任何陈述的复合表示为可以说是绝对复合——度。但是由于上面已经说过的理由，这样一种程序必须被认为是非常不适当的；因为它会给科学语言的自由使用施加苛刻的限制。

　　然而，比较基础陈述的复合度，因而也比较其他陈述的复合度，仍然是可能的。可以这样做：任意选择一个相对的原子陈述类，我们把它作为进行比较的基础。这样一种相对原子陈述类可以用生成的图式或母式来定义（例如，“在……地方为了……有一个量器，它的指针指在刻度……和……之间”）。然后，我们可以把通过代入确定值，从这种母式（或者陈述函项）中得到的所有陈述类定义为相对原子的，因而定义为等复合的。这些陈述类，与所有可从这些陈述形成的合取一起，可以称之为一个“场”。一个场的n个不同的相对原子陈述的合取，可以称之为“这场的n组复合”，并且我们可以说，它的复合度等于数n。

　　如果对一个理论t，存在这样一个单称（但是不一定是基础）陈述场：对某个数目d，理论t不能为这场的任何d组复合所证伪，虽然它能为某些d＋1组复合所证伪，那么我们称d为理论对于那个场的特性数。因此，这场的复合度低于d或等于d的所有陈述是同这理论相容的，是为这理论所允许的，不管这些陈述的内容是什么。

　　现在就有可能把对理论的可检验度的比较建立在这个特性数d的基础之上。但是为了避免在使用不同的场时可能造成的不一贯，有必要使用一个比场这一概念更窄的概念，就是应用场的概念，如果已知理论t，我们说一个场是这理论t的一个应用场，假如对于这个场，存在理论t的一个特征性数字d，而且假如它满足其他一些条件。

　　一个理论t对于一个应用场的特性数d，我称之为t对于这个应用场的维。“维”这个词本身就说明了问题，因为我们可以把场的所有可能的n组复合看作有空间结构的（在无限维的构型空间中）。例如，若d＝3，则那些可允许的陈述（因为它们的复合度太低）形成这个构型的一个三维的子空间。从d＝3过渡到变为d＝2，相应于从立体过渡到为平面。维数d越小，容许的陈述类（这些陈述由于它们的复合度低，不管内容如何，不能与这理论矛盾）受到的限制就越严格，这理论的可证伪度就越高。

　　应用场的概念不限于基础陈述，但各种单称陈述都被容许作为属于一个应用场的陈述。但是通过借助场比较它们的维，我们能估计基础陈述的复合度（我们假定，与高度复合的单称陈述相应的是高度复合的基础陈述）。因此可以假定，与较高维的理论相应的是一个较高维的基础陈述类，这个类的所有陈述为这理论所容许，不管它们断言的是什么。

　　这回答了两种比较可检验度的方法如何联系的问题——一种方法通过理论的维，另一种方法通过子类关系。有这样一些情况：这两种方法都不适用，或者只有其中一种方法适用。在这种情况下，在这两种方法之间当然没有发生冲突的余地。但是如果在一种特殊情况下，这两种方法都适用，那么可以想象会发生这种的事：两个理论有相同的维，但是，假如用建基于子类关系的方法来评价，可能有不同的可证伪度。在这种情况下，从后一种方法得出的判断应该被接受，因为这一种方法证明是比较灵敏的方法。在这两种方法都适用的所有其他情况下，它们一定会导致相同的结果；因为，借助维理论的一条简单定理可以表明：一个类的维一定大于或等于它的子类的维。

　　39．曲线集的维

　　有时我们可把我所说的一个理论的“应用场”很简单地等同于它的图形表示场，即图纸上的一块面积，我们在这张图纸上用图形表示理论：可认为这个图形表示场的每一点相应于一个相对原子陈述。因此理论相对于这个场的维，就等于相应于这理论的曲线集的维。我将用第36节中的两个陈述q和s来讨论这些关系（我们用维作比较适用于具有不同谓词的陈述）。假说q——所有行星轨道都是圆——是三维的：要证伪它，至少需要这场的四个单称陈述，相应于它的图形表示的四个点。假说s：所有行星轨道都是椭圆，是五维的，因为要证伪它，至少需要六个单称陈述，相应于图形上的六个点。我们在第36节里看到：q比s更易证伪：因为所有圆都是椭圆，所以有可能把比较建基于子类关系之上。但是使用维使我们能比较以前不能比较的理论。例如，我们现在可以比较一个圆假说和一个抛物线假说（它是四维的）。“圆”、“椭圆”，