科学发现的逻辑 作者:波珀-第18章

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表明与p只有小的离差，这仍然是正确的。在这些序列中（正如在有频率极限的似机遇序列一样）具有拟发散行为的任何长度的节段，也就是与p的离差有任何量的节段，当然不时会出现。但是这些节段比较罕见，因为它们必定被其中所有的（或几乎所有的）节段具有拟收敛行为的序列极端长的部分所补偿。正如计算所表明的，这些延伸部分一定会比它们补偿的具有发散行为的节段长几个数量级。

　　这也就是解决“机遇理论基本问题”（在第49节就是这样称呼的）的地方。从单个事件的不可预测性和不规则性到概率计算规则对这些事件的可应用性，这看起来自相矛盾的推论实际上是可靠的。假如根据这样一个假说性假定，即在根据先行者所作的任何选择中只出现一个循环的频率——“中频率”——因而没有后效发生，我们就能够以相当的逼近度来表示不规则性。因为根据这些假定，有可能证明大数定律是重言的。坚持这样的结论，即在可以说任何事情在这时和那时都会发生的——虽然某些事情的发生只是罕见的——不规则序列中，某种规则性或稳定性将出现在十分大的子序列中，这是可以允许的，并非自相矛盾的（有人有此主张）。这个结论也不是不重要的，因为为了这个结论我们就需要特殊的数学工具（Bolzano和Weierstrass定理，n－自由度概念，以及Bernoulli定理）。当我们知道，不规则性的假定可以置于某种频率假说（不受后效约束的假说）的形式中，并且知道，如果我们要证明从不可预测性到可预测性，从无知到知识的推论的可靠性，它就必须置于这种形式中，那么这种推论外表的自相矛盾就消失了。

　　现在已变得很清楚，为什么老的理论不可能适当处理我所说的“基本问题”。大家承认，主观理论能够演绎出Bernoulli定理；但是在大数定理时兴以后它决不能用频率前后一致地解释它（参阅第62节）。因此它决不能说明概率预测统计学上的成功，另一方面，老的频率理论，根据它的收敛公理则明确要求有规则性。因此在这个理论内不会有从小规模的不规则性推论到大规模的稳定性问题，因为它只涉及从大规模的稳定性（收敛公理）同小规模的不规则性（随机公理）结合在一起，推论到大规模的特殊形式的和稳定性（Bernoulli定理，大数定律）。

　　收敛公理不是概率计算基础的一个必要部分。我用这个结果来结束我的数学计算分析。

　　现在我们回来考虑性质截然不同的方法论问题，尤其是如何判定概率陈述问题。

　　65．可判定性问题

　　无论我们可给概率概念下什么定义，或我们选择什么样的公理表述：只要二项式公式在系统内是可推导出来的，概率陈述就是不可证伪的。概率假说并不排除任何可观察的东西；概率陈述不可能同一个基础陈述发生矛盾，或被它反驳；它们也不可能被任何有限数目的基础陈述所反驳；因此也就不会被任何有限数目的观察所反驳。

　　让我们假定我们已对某个二择一α提出某个均等机遇假说；例如我们已估计到用一块硬币作掷猜出现“1”和“0”的频率是均等的，因此αF（1）－αF（0）＝1/2；再让我们假定我们在经验上发现无例外地一次又一次出现“1”：于是我们无疑会在实际上放弃我们的估计，认为它已被证伪。但在逻辑的意义上不可能有证伪问题。因为我们可以肯定观察的只是一个有限的掷猜序列。并且虽然根据二项式公式，碰巧出现与1/2的离差很大的十分长的有限节段的频率是极小的，然而它必定总仍然是大于0。因此具有甚至最大离差的有限节段十分罕见的出现决不可能反驳这个估计。实际上，我们必定会期望它出现：这是我们估计的一个推断。任何这种节段可计算的罕见性将是证伪概率估计的一种手段，这种希望证明是要落空的，因为甚至一个长的、离差大的节段的频率出现，也总可以说不过是一个更长、离差更大的节段的一次出现。因此不存在在外延方面给定的事件序列，所以不存在能够证伪概率陈述的有限的几个一组的基础陈述。

　　只有一个无穷的事件序列——根据某项规则在内包上加以定义的——能反驳一个概率估计。但是鉴于第38节阐述的考虑（参阅第43节），这就是说，概率假说是不可证伪的，因为它们的维（dimension）是无限的。所以我们实际上应把它们描述为经验上没有信息的、没有经验内容的。

　　然而面对物理学利用从概率假说性估计那里得到的预测所取得的成功，任何这种观点显然是不能接受的。（这里所用的论据同早些时候用来反对主观理论把概率解释为重言的论据是一样的。）许多这些估计的科学意义不亚于其他任何物理学假说（例如，不下于某一决定论性质的假说）。并且物理学家常常很能判定他是否可暂时接受某种特定的概率假说为“经验上得到确证的”，或他是否应该把它作为“实践上被证伪的”而加以摈弃，即对于预测设有用处。十分明显，这种“实践上被证伪”只能通过方法论上的判定才能获得，以把高度不可几的事件认作被排除的——被禁止的。但是根据什么理由可认为它们如此呢？我们应从什么地方获得这种思路？这种“高度不可几性”从哪里开始？

　　由于从纯逻辑观点看，概率陈述不可能被证伪这个事实是不可能有什么疑问的，我们在经验上使用它们这个同样不容置疑的事实似乎必定是对我关于方法（我的划界标准决定性地依赖于它）的基本思想的致命打击。然而我将通过果敢地应用这些思想来试图回答我已提出的问题——什么是可判定性问题。但是要做到这一点，我将首先不得不分析概率陈述的逻辑形式，既考虑到它们之间逻辑上的相互关系，又考虑到它们与基础陈述所处的逻辑关系。

　　66．概率陈述的逻辑形式

　　概率估计不是可证伪的。当然，它们也不是可证实的。同样理由这也适用于其他假说，因为看到任何实验结果，不管多么多和多么有利，最后总能确定“正”的相对频率是1/2，并且将总是1/2。

　　因此概率陈述和基础陈述不可能相互矛盾，也不可能彼此蕴含。然而由此得出结论说概率陈述和基础陈述之间没有任何逻辑关系，那就错了。并且同样不能认为虽然在这两类陈述之间有逻辑关系（因为观察序列同频率陈述显然或多或少是接近一致的），这些关系的分析迫使我们引入一种突破经典逻辑的特殊概率逻辑。与这些观点相反，我认为这些关系完全能够用可推演性和矛盾的“经典”逻辑关系来分析。

　　从概率陈述的非可证伪性和非可证实性可以推论出，它们没有可证伪的推断，它们本身不可能是可证实陈述的推断。但是相反的可能性并未排除。因为它可以是（α）它们有单向可证实推断［纯粹存在推断，或有推断（there－is－conse－quences）］或（b）它们本身是单向可证伪全称陈述＇所有…陈述（all—statements）＇的推断。

　　可能性（b）对于弄清概率陈述和基础陈述之间的逻辑关系鲜有帮助：一个非可证伪陈述，即一个说得很少的陈述能够属于可证伪的、因而说得更多的陈述的推断类，这是非常明显的。

　　对我们意义更大的是可能性（α），它无论如何不是没有意义的，并且事实上结果证明对我们分析概率陈述和基础陈述之间关系是基本的。因为我们发现能够从每一个概率陈述中演绎出无限类的存在陈述，但反之不然。（因此概率陈述断言的比任何这些存在陈述断言的更多。）例如，设p是对某一二择一假说性估计的概率（并设0≠p≠1）；那么我们能从这个估计中演绎出例如1和0都将出现在这序列的存在推断。（当然也还有许多远不是那么简单的例子——例如，会出现与p的离差仅为一非常小的量的节段。）

　　但是我们从这个估计中能演绎出的多得多；例如“一遍又一遍地”出现一个具有性质“1”的元素和具有性质“0’的另一个元素；那就是说，在任何元素x之后，在序列中会出现一个具有性质“1”的元素y，并且也出现一个具有性质“0”的元素x。这种形式的陈述（“对于每一个x有y具有可观察的、或外延上可检验的性质B”）既是不可证伪的——因为它没有可证伪的推断——又是不可证实的——由于使之成为假说性的“所有”或“对于每一个”。虽然如此，它能够得到更好地或不那么好地“确证”——指我们可以证实它的许多或很少存在推断，或者不能证实它的存在推断；因此它与基础陈述处于似是概率陈述特有的关系中。上述形式的陈述可称为“全称化的存在陈述”或（全称化的）“存在假说”。

　　我的主张是，概率估计对基础陈述的关系，以及这些估计或多或少得到很好“确证”的可能性，考虑到这一事实就能理解：存在假说在逻辑上可从所有概率估计中演绎出来。这对概率陈述本身是否可有存在假说的问题是有启发的。

　　一切（假说性的）概率估计蕴含着这样的推测：所说的经验序列几乎是似机遇和随机的。这就是说，它蕴含着概率计算公理的（近似的）可应用性，以及真理性。所以，我们的问题就是这些公理是否代表我所说的“存在假说”的问题。

　　如果我们检查一下第64节中提出的两个要求，那么我们发现随机性要求实际上具有存在假说的形式。另一方面，惟一性要求则没有这种形式；它不可能有这种形式，因为这种形式的陈述“只有一个……（There　is　only　one……）”必然具有全称陈述的形式。（可译为“至多一个……”或“所有……是同一的”。）

　　在这里我的论点是，正是概率估计的（可称之为的）“存在成份”，因而正是随机性的要求，概率估计和基础陈述之间才建立起一种逻辑关系。因此，惟一性的要求，作为全称陈述，没有任何外延的推断（extensional　consequences）。具有所要求性质的p的值存在这一点确定能够在外延上得到“确证”——虽然只是暂时地；但是只存在一个这样的值这一点则不能。这后一个全称的陈述可能在外延上有意义，仅当基础陈述能够同它发生矛盾时；这就是说，仅当基础陈述能够肯定存在的值不止这一个时。由于它们不能够（因为我们记得不可证伪性与二项式有密切关系）做到这一点，惟一性的要求必然在外延上是没有意义的。

　　这就是为什么如果我们从系统中消去惟一性要求，概率估计和基础陈述以及前者的分级“可确证性”之的分级之间所有的逻辑关系不受影响的缘故。在这样做时，我们能够给予系统以纯粹存在假说的形式。但是我们因此不得不放弃概率估计的惟一性，并且因而（就惟一性而言）获得某种不同于通常概率计算的东西。

　　所以惟一性的要求显然不是多余的。那么它的逻辑功能是什么？

　　虽然随机性要求有助于确立概率陈述和基础陈述之间的某种关系，惟一性要求调节着各种概率陈述本身之间的关系。没有惟一性要求，作为存在假说的某些陈述，可以从其他陈述中推导出来，但是它们决不可能彼此矛盾。只有惟一性的要求才保证，概率陈述能彼此矛盾；因为根据这个要求它们获得其成分为一个全称陈述和一个存在假说的合取形式；并且这种形式的陈述能够彼此处于同样基本的逻辑关系中（同义、可推导性、相容性和不相容性），正如任何理论——例如一个可证伪的理论——的“正常的”全称陈述那样。

　　如果我们现在考虑收敛公理，那么我们发现，在它具有一种不可证伪的全称陈述的形式这一点上它类似惟一性要求。但是收敛公理要求的比惟一性要求的更多。然而这种附加要求也不可能有任何外延上的意义；此外，它没有逻辑或形式的意义，而只有内包上的意义：它要求排除所有没有频率极限的用内包定义的（即数学的）序列。但是从应用观点看，这种排除证明甚至在内包上也没有意义，因为在应用概率论中我们当然不涉及数学序列本身，而只涉及经验序列的假说性估计。所以排除没有频率极限的序列，只能用来告诫我们不要把那些经验序列着作为似机遇或随机的，对于那些经验序列我们假定它们没有频率极限。但是对这种告诫，我们能够采取何种可能的行动？鉴于这种告诫，我们应该容许或避免哪类关于经验序列可能收敛或发散的考虑或推测，保证收敛标准同发散标准一样可应用于这些序列？一旦摆脱了收敛公理，所有这些尴尬的问题也就消失了。

　　因此我们的逻辑分析使系统各部分的要求的形式和功能都一目了然，并且表明反对随机性公理和支持惟一性要求的理由是什么。同时可判定性问题似乎变得越来越重要。并且虽然我们不一定称我们的要求（或公理）“无意义”，看来我们被迫把它们描述为非经验的。但是概率陈述的这种描述——不管我们用什么话来表达它——是否同我们研究的主要思想相矛盾呢？

　　67．思辨形而上学的概率系统

　　概率陈述在物理学中最重要的用处是这样：某些物理学规律性或可观察的物理效应被解释为“宏观定律”；也就是说，它们被解释或说明为大数现象，或假说性的、不能直接观察的“微观事件”的可观察结果。宏观定律用下列方法从概率估计中演绎出来：我们证明，与所说的观察到的规律性一致的观察结果，应该期望其概率十分接近于1，即其概率与1的离差为一个能达到按我们选取的那样小的量。当我们已证明这一点时，那么我们就说，我们已经用我们的概率估计把所说的可观察效应“解释”为一个宏观效应。

　　但是如果我们以这种方法使用概率估计来“解释”可观察的规律性而不采取特定的预防措施，那么我们会马上陷入某些思辨，根据一般的用法，完全可以把它们描述为思辨形而上学的典型。

　　因为概率陈述是不可证伪的，以这种方法用概率估计“解释”我们喜欢的任何规律性必定总是可能的。以万有引力定律为例。我们可以下列方法设想出一些假说性的概率估计来“解释”这个定律。我们选择某类事件作为基本事件或原子事件；例如某一小粒子的运动。我们也选择某方面作为这些事件的主要性质；例如粒子运动的方向和速度。于是我们假定这些事件显现出似机遇的分布。最后我们计算出所有的粒子在某一有限的空间区域内，在某一有限的时期内——某一“宇宙期”——将以规定的精确性（附带地说，以万有引力定律要求的方式）运动的概率。计算出的概率当然将十分小；实际上小得微不足道，但是仍然不等于零。因此我们可以提出这样的问题：这个序列的某个n－节段得有多长，或换言之，整个过程必须假定有多长，我们才可期望这种宇宙期出现的概率接近1（或与1的离差不超过某一任意小的值E），在这宇宙期内，作为偶发事件积累的结果，我们的观察将会完全与万有引力定律一致。对于任我们选取的接近于1的任何值，我们获得一个确定的、虽然极端大的有限数。于是我们可以说：如果我们假定序列的节段有这十分大的长度——或换言之，“世界”延续得足够长——那么我们的随机性假定使我们能够期望