12小时mba教程-第19章
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说，即要保证随机抽选的样本，对所有有选举权的人组成的总体具有代表性。
个相反的典型例子是：在预测 1948年美国总统大选结果时，由于选取了不具
有代表性的样本，导致偏差增大，致使预测失败。实际上，在那次大选中，
真正当选的是杜鲁门，而预测的却是戴维。
检验的有效性和可靠性
检验的有效性是指对所要研究的变量能准确地加以度量；检验的可靠性
是指在多次检验中，同样的结果能反复出现。而有的时候，检验的结果可能
无效并且不可靠。更危险的情况却是结果表明出可靠性，但实际上却是无效
的。例如，由于社会文化等方向的影响，一些研究人员设计出对妇女地位不
公平的问卷，即使某项关于妇女的调查结果反复出现（表现出其可靠性），但
它却是无效的，因为从一开始它就有偏差，无法做到准确度量。
本章中所列举的检验方法，有助于我们分析数据并得出结论。这些检验
都有量化的标准，如 t 值用于t 一检验（t—test），F 用于变化。一般数理统
计书后都附有统计检验值表。用计算结果和检验值进行比较，可以得到有用
的结论。例如，我们可能会得出结论说，所检验的某种关系非常强或者很显
著，这个结果在某种程度上证实了我们的假设。
但是，检验的结果落在什么范围内才算是可靠的呢？换句专业术语说就
是：误差界限或置信区间是什么？误差界限和置信区间通常用概率值来表
示，有三种形式：
P≤0。01，表明某结果出现的可能性不少于99％，其误差不超过1％；
P≤0。05，表明出现某结果的可能性不少于 95％，其误差不会 1 超过 5
％；
P≤0。1，表明出现某结果的可能性不少于90％，其误差不会超过10。
选择哪种置信区间要视情况而定。例如，对探索性研究和关键性、决定
性的研究，可能选取不同的置信区间。如果实际一些的话，前者用P≤0。05；
后者用P≤0。01。（如果我们想提高置信度、降低误差限，就必须抽取较大的
样本，而这样做很可能会既不经济又费时间）。相反，如果你是一个挑剔的消
费者，去小贩那里买东西，你所选择的置信区间，就要用 P≤0。01，而不是
用P≤0。05 了。因为前者更符合你挑剔的目的。
频率分布
在进行数据分析时，我们感兴趣的是数据（观察值）集中或者离散、相似
或者差异的程度。数据的波动程度是指数据的离散度，可以用图形来表示，
即图形分布。
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图形分布大致可分为三类：
（1）对称分布（正态分布）
对称分布的图形如钟形（见图 6—1）。大多数观察值落在图形的中部，其
他的均匀分布在两边。例如人的身材，过于矮小和过于高大的人，在整个人
群中所占的比例极小；较为矮小和较高大的人占较大的比例；而中等身材的
人占最大的比例。所以，我们说，人的身材的比例分布基本上属于对称分布。
（2）偏斜分布
偏斜分布的图形如图 6—2所示。它是指大多数观察值分布在一边（或说
聚集在一边），而较少数处于另一边。它又有两种形态：一种是如图6—2
（a）所示的向下偏斜；另一种是图 6—2（b）所示的向上偏斜。例如，假定
两个群均以图6—2 的横轴代表收入水平，收入水平从低到高排列，假设两群
体中所拿最低收入相同，最高收入也相同。纵轴代表拿某种收入人数的话，
那么就可以看出，图 6—2（b）所代表的群体；比 6—2（a）所代表的群体要富
裕。
（3）双峰分布
这种图形的形状像驼峰，见图 6—3。它表明观察值形成为两个集中区
域。例如某班级考试的成绩，得较低分数和较高分数的人都较多，只有少数
人得中等分数，所以形成双峰分布。
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三、最主要的统计度量方法
总体中观察值的分布状况，可以用分布图很好地表现出来。另外还有一
些测度方法可以反映观察值的分布信息，它们包括：
集中趋势的度量
（1）平均值
平均值是所有观察值的和与观察值个数的比值。例如有 7个销售商（观察
值个数为 7），他们在6 月份各自销售的产品数量为1、9、10、12、13、17、
17，那么6 月份平均每人销售产品数为
1＋9＋10＋12＋13＋17＋17 79
＝ = 11。28（个）
7 7
如果我们是销售商的管理者，就会用他们 6 月份的平均人销售量同以前
的月份相比，看看是否具有某种趋势。平均销售量比总销售额更能反映销售
能力和盈利能力。因为有时销售总额高，并不表明销售人员干得好，而可能
是因为增加了销售人员的缘故。如果明年六月有 14个销售人员，比今年六月
多 1倍，而总销售额只比今年增长 50％，尽管销售收入增加了，但其盈利能
力实际却在下降。这说明有时平均值比总值更能反映问题的实质。但平均值
极易受极端值的影响。
（2）中位数
将所有观察值由低到高排序，处于中间位置的观察值即为中位数。中位
数是位置平均数，它把整个序列分成两半：一半比它小；另一半比它大。对
N＋1
于奇数个观察值，中位数所在位置是 （N为观察值总数）；对于偶数个观
2
察值，中位数的值等于中间位置两个观察值的平均值。如上例中，7 个销售
7＋1
商销量的中位数所在位置是 ＝4，即销售1：2 个为中位数（1、9、10、
2
〔12〕、13、17、17——译者注）。
中位数的优点是不受极端值的影响。在上例中，有一个人6 月份仅销出
1件产品，远低于其他 6 人，属于极端值。中位数只考察观察值的位置，只
要中间项不变，其前后各项数值虽有变化，但中位数不变。所以，中位数同
平均值相比，掩盖了存在个人销量极低（即极端值——译者注）的事实。
究竟用平均值还是中位数作为平均数，视情况而定。如在上例中，一个
勇于迸取的管理者，在给销售人员下指标时，一般会倾向于选择使用中位数。
相反，如果那个销售人员不是销出 1件，而是销出35件产品，则管理者在他
给上司的报告中，就愿意使用平均值，以表明他所领导的部门的突出业绩。
因为此时，中位数仍是12个，而平均值则为：
35＋ 9 ＋ 10＋ 12 ＋ 13＋ 17 ＋ 17 113
= ＝16。6（个）
7 7
（3）众数
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众数是指在所有观察值中，出现次数最多的那个观察值。例如，在 7个
销售人员的销售记录中，17 出现了两次，则 17就是众数（1，9，10，12，13，
〔17〕， 〔17〕。如果观察值数列中各值皆不相同，也就没有众数。
众数有助于确定需优先考虑的事物和今后需加努力的重点。在市场战略
决策中经常要使用它。例如，为了最有效地利用有限的资金，皮鞋厂在生产
皮鞋时，需要了解各种尺码鞋的需求量，以决定生产什么尺码及生产的数量，
这时，就需要用众数，而不是平均值。
集中趋势需采用何种平均数度量，要视现象的分布及特点而定。
离散趋势的度量
（1）极差
极差是最粗略的离散程度度量方法，是指观察值中最大值与最小值之
差。我们仍用前述销售人员的例子，最大、最小销量分别是 17和 1，则极差
为 17－1＝16。
极差是计量离差的简便方法，它由两个极端值来决定，所以容易受到极
端值变化的影响，而与中间数值的分布无关。因而它不能充分地反映现象的
实际差异。
（2）标准差
标准差是计量离散趋势最重要、也是最常用的指标。它反映了各个观察
值偏离平均值的程度。其计算公式为：
A（X … x ）2
标准差 =
N
式中：x ＝平均值
X＝实际观察值
N＝观察对象的个数
此公式用于计算总体标准差，在计算随机样本的标准差时，公式中要以
N—1来代替N，这样，样本标准差才是总体标准差的无偏估计。
标准差计算示例（1）
我们仍用前面的例子，共有 7个销售商，各人销量分别为：1，9， 10，
12，13，17，17，平均值为11。28。那么标准差的计算过程如下表6—1所示。
表 6—1
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2
x x
（X） （ ） （X… ）
第一位销售商卖了 1件产品 1…11。28 ＝…10。28 平方后＝ 105。68
二 9 9…11。28 ＝…2。28 平方后＝ 5。2
三 10 10…11。28 ＝…1。28 平方后＝ 1。64
四 12 12…11。28 ＝0。72 平方后＝ 0。52？
五 13 13…11。28 ＝1。72 平方后＝ 2。96
六 17 17…11。28 ＝5。72 平方后＝ 32。72
七 17 17…11。28 ＝5。72 平方后＝ 32。72
N— 7 181。44
A（X … x）2 181。44
= = 25。92 = 5。09
N 7
经过上述计算，标准差为5。09。
一般来说。计算标准差比较复杂，在数据很多的情况下，没有人用手工
计算。在所有MBA 教程中的数学公式，都可用计算机计算，你只要输入原始
数据就行了。
中心极限定理
为评价标准差指标的价值，我们首先应当了解它在中心极限定理中的意
义。（中心极限定理：对于任意一个平均数为μ标准差为σ的总体进行随机抽
样时，随着样本量 N 的增大，样本平均数x 就趋向子正态分布，其平均数为
x ，山标准差为σ/ n 。中心极限定理说明无论是从正态分布总体，还是从
非正态分布总体中抽样，只要样本容易足够大，其样本平均数也趋向正态分
布——译者注）请记住以下的叙述：
（1）无论任何分布（正态的或是其他的），其样本平均值都非常接近总体平
均值。
（2）为了对总体有代表性，样本量至少为30。
（3）在所有观察对象中（见图 6—4）：
34％落在平均值上方第一个 “部分”内；
34％落在平均值下方第一个 “部分”内；
13％落在平均值上方第二个 “部分”内；
13％落在平均值下方第二个 “部分”内；
3％落在平均值上方第三个 “部分”内；
3％落在平均值下方第三个 “部分”内。
（4）上面所指的 “部分”，就是标准差。
如果你是一位经理，管理着 100位销售人员，他们人均年销售量为 100
件产品，标准差为 5（不用5。09 是为了方便计算），你会得到如下结果：
34位（占34％）销售人员卖出 75～80件产品；
34位（占34％）销售人员卖出 70～75件产品；
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图 6—4 标准正态分布
13位（占13％）销售人员卖出80～85件产品；
13位（占13％）销售人员卖出65～70件产品；
3位（占3％）销售人员卖的产品超过85件；
3位（占3％）销售人员卖的产品少于65件。
注意：在图6—4 中，除两端以外，每个 “部分”代表5件产品（即标准
差——译者注）。
由于94 位销售人员（占 94％）落在平均值旁边两个标准差的范围内，即
销量大于65件而小于 85件，我们就可以说，各销售人员之间销量的变动不
大，数据的离散程度低。
标准差示例 〔2〕：
对证券管理者和投资顾问来说，标准差是一个重要的指标。假定一位投
资者在权衡两个投资方案哪个可行。这两个方案平均获利水平相似，但一个
的标准差小，而另一个标准差大。那么，标准差大的方案风险也大。对于一
个仅有固定的有限收入的投资者来说，他很可能不会选择标准差大的方案。
证券分析专家的发现，β系数能很好地反映个股相对于整个市场投资组合的
风险的变动程度。如果β系数等于 1。25，就意味着个股风险变动高于市场投
资组合风险变动25％。所以β系数应越小越好。
前面所论述的平均值、中位数、众数所用销售商的例子，包括整个总体
的观察值（共7个），而不是样本的观察值。因此，仅仅为了描述样本的特性，
即使在少于30 个观察值的情况下，也应计算标准差。除此以外，在样本量少
于30 时，应使用标准差的概念。
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四、什么是 “正常”：一件关于统计的轶事
我很愿意给大家讲讲我个人的一段小故事，以便让大家更深入地了解统
计学的应用。
我总掉头发，因此最近我去拜访了一位皮肤病专家。他问我每天掉几根
头发。他说： “不止25根，是吗？”我回答说：“我根本没注意过每天掉多
少根，只知道头发越来越少。”可他仍然反复问我，直到我被他问得急了，
我才很不情愿地回答： “是的。”然后，他又问我是否少于200根，我非常
肯定地回答了他。最后，他说我这种现象很 “正常”。听了这话，我一下子
轻松了，因为我一直觉得自己要秃头了。可是，他马上又说”�
