世界古代中期科技史-第19章
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的出发点 ：一种看法认为欧几里得认为在他前几篇中所用的量的概念中
并不包括数；因此需要把关于数的比的命题重新证一遍；另一种看法是
关于整数和可公度比的理论是欧多克斯以前就有的，欧里得很可能是按
传统方式对独立发展的毕达哥拉斯的理论和欧多克斯的理论分别加以介
绍。
① 克莱因：《古今数学思想》第一册，第73 页。
① 克莱因：《古今数学思想》第一册，第88 页。
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第10篇有115个命题，主要是对无理量（即与给定量不可公度的量）
进行分类。
第11篇首先给出了关于立体、立体的边界、直线与平面的垂直、两
平面的垂直、平面与平面的夹角等的定义，另外还定义了平行平面、相
似立体形、立体角、棱锥、棱柱、球、圆锥、圆柱、立方体、正八面体、
正十二面体等立体形。这一篇的39个定理，证明了直角和平面的性质以
及多面体的一些特殊情形。
第12篇有18个命题，主要证明了关于面积和体积的定理，特别是
关于曲线和曲面所围成的面积和体积。欧几里得的证明体现了穷竭法的
思想。
第13篇有18个命题，讨论了正多边形的性质及其内接于圆时的性
质，并论述了怎样把5种正多面体内接于一个球的问题。
《几何原本》全书这467个命题，涉及初等几何的各个方面，反映
了古希腊几何学的成就。全书内容是由少数定义、公设、公理演绎而得，
足见欧几里得选择公理、编排体系之出色。当然，这部巨著也并非没有
缺点：有个别证明证错了，也有些定义含糊而不明晰；有的内容前后重
复，也有些内容带有前人著作堆砌的痕迹。然而，暇不掩瑜，这些缺点
同这部巨著的成就相比是微不足道的，《几何原本》的成功使它对数学
发展的影响超过任何一本书。《几何原本》起初以手抄本形式流传，在
欧几里得死后700年，《几何原本》出版。1120年被译成拉丁文，1570
年出现英译本，到19世纪末，已有1000多种版本。中国最早的译本是
1607年 （明朝万历丁未年），由利玛窦和徐光启合译的《几何原本》前
6卷，1857年 （清朝咸丰7年）由伟烈亚力和李善兰合译了后9卷。还
应特别指出的是， 《几何原本》在数学教育上的不容忽视的价值。直到
19世纪末，《几何原本》一直是几何学的教学课本；就是在当代，《几
何原本》的一些内容仍是中学几何教材所不可缺的。它作为学生接受严
格的逻辑训练和数学训练的工具，曾经训练出一代又一代的数学家和科
学家。
欧几里得在数学研究上还做了其它一些工作，保存下来的有他的两
本数学著作——《数据》和《论图形的剖分》，《数据》中的材料与《几
何原本》基本相同，只是某些特殊定理有所不同，它可能是供学习《几
何原本》用的习题集； 《论图形的剖分》则主要讨论了如何把所给图形
分成其它图形。欧几里得还有几部已失传的数学著作，根据后人记载的
情况看，有一本《二次曲线》，据说这本书成为阿波罗尼乌斯的《圆锥
曲线》中头3篇的主要内容；还有 《衍论》和《曲面—轨迹》，这两本
书的大部分内容和性质已无人知道，据后人的零散记载推测，前一部书
可能是和几何做图有关，后一部书可能是讨论曲面的轨迹问题；另外还
有一本《辨伪术》，可能是书中包含有故意给出的错误证明，以达训练
学生的目的。在欧几里得的天文学教本《现象》中，涉及到球面几何的
问题。
（7）阿基米德的数学工作与贡献
阿基米德（公元前287～前212）是西西里岛叙拉古人，当时叙拉古
是希腊的一个殖民城市。他青年时代到亚历山大城求学，后来返回叙拉
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古从事研究，但始终与亚历山大学派的学者们保持联系。阿基米德兴趣
广泛，才智高超，他在数学、力学和天文学上都有重大贡献。他还具有
非凡的机械技巧，有一些发明创造。由于他的一系列成就，使得阿基米
德在古希腊学术界十分有名。以至后世流传了许多关于他的传说和故
事，而且这些传说都和他醉心于科学有关。据说，阿基米德在临死关头
仍不忘他的数学研究。阿基米德死后，人们在他的墓碑上刻了一个球内
切于圆柱的图形，以作纪念。因为阿基米德生前曾证明了球的体积和表
面积分别是其外切圆柱体积和表面积的2/3。
阿基米德在数学上的主要工作和贡献有这么几个方面：
①用穷竭法求出面积和体积。这是阿基米德最重要，也是最有特色
的工作。他做出了穷竭法最巧妙的应用，并且他的方法最接近于现行的
积分法。他在 《抛物线的求积》一书中，求抛物线弓形的面积就是一个
精彩的例证。图6。11中PQq是抛物线弓形，Pv是直径，并平分Qq及与
Qq平行的所有的弦，v1、v'分别是PQ和Pq的中点。根据抛物线的几何
性质，阿基米德证明了△PPQ＋ △
1
1
PP' q＝ △PQq 。在新得到的弦QP 、P P、PP' 和P ′q上照上
1 4 1 1 1 1
述方法可以使 做三角形的过程不断进行 下去。这里，抛物线弓形的
面积就可以用在原来的三角形PQq上加添一系列三角形而得出：
1 1
S＝△PQq＋ △PQq十 △PQq……
4 16
4
＝ △PQq 。
3
阿基米德首先对上述结果作出了证明。他的结果是通过对上式中公比为
1/4的几何数列的头几项求和得到的。然后，他利用双归谬法，即若S
4 4 4
＞ △PQq或S＜ △PQq均产生矛盾或不可能而对S = △PQq
3 3 3
给出严格证明。
阿基米德在他的主要著作《论螺线》中，定义了一种新的曲线。设
有一直线将其一端固定后，在一平面内绕定点作匀速运动；同时直线上
有一点从定点沿直线作匀速运动，那么这个动点
图6。12阿基米德螺线
将描出一条螺线。这就是著名的“阿基米德螺线”。这部著作中最深刻
的结果是用类似于积分的方法确定了螺线一圈所围的面积。其命题是：
螺线第一圈与初始线所围的面积等于第一个圆的1/3，如图6。12。第一
2
个圆的半径OA＝a，因此，螺线第一圈与初始线所围的面积S＝πa/3。
对此证明也是用穷竭法作出的，证明方法是把圆周n等分，于是就可作
出与螺线弧所围面积相对应的外接扇形和内接扇形。面积S大于所有内
接扇形面积之和，而小于所有外接扇形面积之和。阿基米德仍通过穷竭
1
过程，并用双归谬法最后证明了S＝ πa2 。这里，同样用的是穷
3
竭法，但与求抛物线弓形面积时靠增添越来越多的三角形相比，新颖之
处是阿基米德选取了越来越小的扇形。这种做法对后人是极有启发的，
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尽管阿基米德的证明中没有明确的极限步骤，但是他的证明过程中已经
有了微积分思想的萌芽。
在《论球和圆柱》的著作中，阿基米德利用穷竭法还证明了许多命
题，其中有：
任一正圆柱 （不计上、下底）的表面积等于一圆的面积，该圆半径
是圆柱高与底直径的比例中项；
任一球的面积等于球大圆面积的4倍；
以球的大圆为底，以球的直径为高的圆柱，其体积是球体的3/2，其
包括上、下底在内的表面积是球面积的3/2。（这就是刻在他墓碑上的那
个著名定理）。
②用近似计算得到π值。在 《圆的度量》中，阿基米德证明了3个
命题。第1个命题是圆的面积与直角三角形AOB的面积相等，如图6。13，
直角边AO等于半径，另一直角边AB等于圆的周长。第2个命题是圆的
面积与由它们的直径构成的正方形的面积之比大约是11∶14。第3个
1 10
命题是圆的周长与其直径的比小于3 而大于3 。这第3个命
7 71
题已经产生了圆周率π的近似值，它是阿基米德通过计算圆的外切与内
接正96边形的周长的近似值得出的。这在科学中，第一次提供了带有误
差估计的π的数值结果，而且整个求值的过程表现了阿基米德近似计算
的高超技能。在阿基米德之前，比例是以几何形式出现的。但是，阿基
米德为了得到对实际有用的结果，把算术运算运用于确定量的比例，这
为数学实数理论的发展打下了基础。
③用力学的方法解决数学问题。阿基米德不仅是一位伟大的数学
家，同时还是一个伟大的力学家。在力学上，他有非常重要的贡献。他
计算出了许多种平面形和立体形物体的重心；总结出了杠杆的一般原
理；关于浮力的研究，他发现了比较不规则物体重量的方法，使后人将
浮力定律与他联系起来。据说，他曾豪迈地表示，“给我一个支点，我
能掀翻地球。”他的力学成就与他的数学工作密切相关，这不仅表现为
他的一些力学结论是以数学为基础的，而且还表现为他用力学的思想得
出正确的数学定理，解决了一些数学问题。
1906年，阿基米德写的一个短文被后人发现了。在文中，他提出了
一种借助于力学原理研究数学问题的方法。这种方法的要点是，把所求
的面积和体积都看作是有重量的东西，而且体积是由面积构成的，面积
是由彼此平行的直线构成的。这样，为了求得面积和体积，可以先将相
应的面积或体积分成很多小长条或小薄片，它们都有重量；然后找出它
们的重心和支点，就可以用杠杆平衡定律算出它的面积或体积。阿基米
德用这种方法得到抛物线弓形的面积、球和球冠的面积、抛物体旋转截
体的体积等成果，他把这种方法看作是发现数学真理的主要方法。不过，
阿基米德也仅仅把它作为发现方法，得到结果后还要进行证明，用的还
是双归谬法。他的这种发现方法虽然含有把一个量当作是由许多微小部
分组成的思想，但是，由于这种方法中没有积分求和的计算，因此不能
视为积分法。不过，有的数学史专家则把这看作是通往积分的迂回之路。
阿基米德在数学领域中作出了重要的贡献，他既长于严格论证，又
精于巧妙的计算，尤其是他能够将理论与实际密切结合，将数学成功地
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应用到力学方面，在古希腊数学家中还难以找到第二位。
当然，由于时代的局限，阿基米德的数学研究中还有一些不完善的
地方；他的方法也是几何式的而不是代数的；同时也缺乏有力的分析工
具，这限制了他的进一步创造。另外，由于没有方便的代数符号，使得
他的著作读起来也比较艰涩。但是，这种状况并未能阻止阿基米德的工
作和成就的传播。13世纪，阿基米德的著作全部被译成拉丁文，从而成
为西欧学者的经典著作；17世纪，他的著作被介绍到中国。这使得阿基
米德对后人产生了深刻的影响。后人也给予阿基米德以极高的评价，“任
何一张开列有史以来三个最伟大的数学家的名单之中，必定会包括阿基
米德，而另外两位通常是牛顿和高斯。不过以他们的宏伟业绩和所处的
时代背景来比较，或拿他们影响当代和后世的深邃久远来比较，还应首
推阿基米德。”
（8）阿波罗尼乌斯与 《圆锥曲线》
阿波罗尼乌斯（约公元前262～前190）是与欧几里得、阿基米德齐
名的大数学家，他们三人被称为亚历山大前期的数学三大家。阿波罗尼
乌斯在青年时代曾跟欧几里得的门人学习过几何学，以后就留在亚历山
大城与当地的数学家们合作研究，使他成名的工作是他关于圆锥曲线理
论方面的建树。在阿波罗尼乌斯之前，很早就有人研究圆锥曲线了，欧
几里得和阿基米德也都写过这方面的书。但是，阿波罗尼乌斯还是做出
了他独特的贡献。由于他曾接受过欧几里得几何学的训练，因此他按照
欧几里得的方法和精神写出了经典之作《圆锥曲线》。在这本书中，他
综合前人的成就，去粗取精，并加进了自己独到的创见材料，使圆锥曲
线理论系统化。后人对此给予了高度评价，“除了综合前人的成就之外，
还含有非常独到的创见材料，而且写得巧妙灵活，组织得很出色。按成
就来说，它是这样一个巍然屹立的丰碑，以致后代学者至少从几何上几
乎不能再对这个问题有新的发言权。这确实可以看成是古典希腊几何的
登峰造极之作。”①
《圆锥曲线》一书的内容分为8篇，共计有487个命题，可惜的是
第8篇已经失传。
第1篇给出了圆锥曲线的定义并讨论了它的性质。阿波罗尼乌斯推
广了梅奈克莫斯的方法，第一个依据同一个圆锥的不同截面，分别研究
了椭圆、抛物线和双曲线。在他之前，梅奈克莫斯等人是分别以三种不
同的圆锥，即锐角圆锥、直角圆锥和钝角圆锥的同一截面，来发现和研
究圆锥曲线的。椭圆（原名亏曲线）、抛物线（原名齐曲线）和双曲线
（原名超曲线）的名称就是阿波罗尼乌斯引入的，取代了 梅奈
克莫斯的锐角圆锥曲线、直圆锥曲线和钝角圆锥曲线之称，他还是第一
个发现双曲线有两支的人。
图6。14椭圆曲线的共轭直径
在阿波罗尼乌斯研究这些圆锥曲线的性质时，他 还引入了共轭直径
的概念。如图6。14，考察椭圆中与FG平行的一组弦，这些弦的中点都
① ［美］贝尔：《数学人物》，转引自解延年、尹斌庸编著《数学家传》，湖南教育出版社1987
