世界古代中期科技史-第20章
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① ［美］贝尔：《数学人物》，转引自解延年、尹斌庸编著《数学家传》，湖南教育出版社1987 年版。
① 克莱因：《古今数学思想》第一册，第102 页。
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在一直线AB上，AB则被称圆锥曲线的直径。阿波罗尼乌斯证明了若过
AB的中点C作直线DE平行于FG，则DE将平分所有平行于AB的弦，DE
就叫做AB的共轭直径。对双曲线，AB的共轭直径DE被定义为AB与双曲
线的正焦弦的比例中项，它与双曲线并不相交，如图6。15。对抛物线，
由于它的任一直径总是平行于对称轴，而平行于直径的每根弦都是无限
长，因此，抛物线没有共轭直径。阿波罗尼乌斯通过直径及共轭直径来
描述圆锥曲线的一些性质，可以认为这里已含有坐标的思想萌芽。
第2篇首先描述了双曲线渐近线的性质，阿波罗尼乌斯不仅指出双
曲线渐近线的存在，而且还指出在定的长度。在这一篇，阿波 罗尼
乌斯还说明了如何求圆锥曲线的直径以及有心 圆锥曲线的中心和轴的
方法。最后，阿波罗尼乌斯给出了怎样做满足给定条件的圆锥曲线的切
线。
图6。15双曲线的共轭直径
图6。16圆锥曲线的极线
第3篇首先论述了关于圆锥曲线的切线与直径 所成图的面积定理，
接着又论述了极点和极线的所谓调和性质。如图6。16，TP与TQ是圆锥
曲线的切线， 直线TRIS过T并与圆锥 曲线相交于R与S，与PQ相交
于I，则有：
TR IR
TS
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阿波罗尼乌斯对圆锥曲线的创造性研究及理论的系统化工作是极有
价值的，特别是对后来天文学、力学的发展起到了积极的作用。对此，
英国科学家贝尔纳高度评价道：“他的工作如此的完备，所以几乎二千
年后，开普勒和牛顿可以原封不动地搬用，来推导行星轨道的性质。”①
阿波罗尼乌斯除了《圆锥曲线》这部巨著之外，还有其它一些数学
著作。其中二本书中，各有一个对后世有较大影响的问题。一个是在《论
切触》这本书中，阿波罗尼乌斯讨论了作一个圆与三个给定圆相切的问
题，这在当时算是一个比较难的问题，以致成为一道历史名题，称之为
“阿波罗尼乌斯问题”。这个问题引起许多数学家的注意，像韦达、欧
拉和牛顿这样著名的数学家都给出过这个问题的解。另一个是在《平面
轨迹》这本书中，阿波罗尼乌斯给了一个定理：“如果A和B是两个固
定点，K是一个给定的常数，则使AP/BP=K的点P的轨迹是一个圆（如果
K≠1）或是一条直线（如果K＝1）。这个定理中的圆，在有些教科书中
被称为“阿波罗尼乌斯圆”。
（9）亚历山大前期的算术和代数
从毕达哥拉斯学派开始，到欧多克斯将数与量加以区分，古希腊的
数学偏重于几何学，古希腊的几何学产生了巨人和巨著。与几何学相比，
算术和代数的发展是相当缓慢的。
记数制在亚历山大前期有了一些发展，阿基米德和阿波罗尼乌斯发
明了两种记大数的方法。阿基米德在《数砂术》中，提出了一种写大数
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的方案。他取当时希腊数学里最大的数“万万”，即10作为记数的一个
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新单位，由此出发又可以往下记出一系列大数，可到 10。这样不断增
大，可以记下去表示出任意大的数。阿基米德估计宇宙间砂粒数目要小
4
于他能写的最大数。阿波罗尼乌斯也有类似的方法，只不过他是取 10
为一个记数单位。但这还没有能达到10进位的位值制。这一时期，古希
腊的天文学家则在分数中分母用60进制。
在亚历山大前期的数学家之前，古希腊的数学家只把分数当作整数
之比，实际的分数只是在商业上才有意义，那是为了表示钱币或度量单
位的若干部分，这种数学的实际应用被排斥在数学研究的范围之外。但
是，到了亚历山大前期，情况有了一些变化。一些数学家开始从追求完
美而转向注意实际应用，并使这种转变体现在数学的研究中。欧几里得
在 《几何原本》中，对分数给出了定义，但没有给出运算方法。阿基米
德在他的《圆的度量》中，对大数和分数进行了运算，他得出 3的
很好的近似值。
1351 265
＞ 3＞
780 153
古希腊代数著作是纯粹用文字形式写出的，到亚历山大前期，代数
的重大进展是产生了代数符号。欧几里得在《几何原本》中曾用字母表
示一类数，阿基米德在讨论运动时也曾经用字母表示一段时间或一段距
离。但是，他们并未认识到字母表示对于代数进一步发展的重大意义。
因此，他们的工作停留在初步和零散的状况。真正系统地提出代数符号，
那已是公元3世纪的事了。
① 贝尔纳：《历史上的科学》，科学出版社1959 年版，第124 页。
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3。中国古代数学知识的积累
（1）四则运算和筹算
在殷墟甲骨文卜辞中，已有很多记数的文字，当时已采用了十进位
制。到了春秋时期，记录大数已经用亿、兆、经、姟等字表示数字的十
进单位。
春秋战国时期四则运算方法已趋完备。如战国初年李悝的《法经》
中，已讲到了减法、乘法和除法。不少先秦典籍中都有乘法口诀的例句，
但到春秋战国时期才有不完全的记载。 《夏侯阳算经》说：“乘除之法
先明九九”。因当时的乘法口诀是从“九九八十一”起到“二二如四”
止，共36句；口诀以“九九”二字开头，故将乘法口诀称为“九九”。
中国古代用算筹作为记数工具，并由此发展起一种独特的计算方
法，即筹算。算筹就是一些径约一分、长约六寸（合现在13。8厘米）的
小竹棍；利用算筹在案上摆成数字进行计算，就叫筹算。表示数目的算
筹有纵横两种筹式：用筹来表示一个多位数字，其方法就像现在用数码
记数一样，把各位的数目纵横相间地从左到右横列，个位用纵式，十位
用横式，百位、万位用纵式，千位、十万位用横式；数字中遇有零时，
就用空位表示。如86032，其筹式为 ，百位上空位不放算筹。由
于筹式用的是“十进位值制”，不同位值要纵横相间摆设算筹，所以空
位很易辨别。筹算的加减法是摆上两行筹式，位数对齐，相加相减变成
一行筹式就得出结果。乘法则分三层摆筹，上位、中位、下位分别相当
于被乘数、积和乘数；除法也分三层摆筹，中位为实 （被除数），下位
为法 （除数），上位为商。图6。18给出84×61的筹算图式，所得积为
5124（图）；图6。19给出5987÷
3
16的筹算图式，所得商为374 。
16
十进位值制记数法和以筹为工具的各种运算，是中国古代一项十分
杰出的创造，比古巴比伦、古埃及和古希腊所用的计算方法更为优越。
春秋战国时期，分数已常被使用。当时历法计算中的奇零就用分数
表示；生产和生活中大量的分配问题，也常用到分数概念。如《管子》
在谈到土地种植的分配时有“十分之二”、“十分之四”、“十分之五”、
“十分之七”等分数；《墨子》在讲到食盐的分配时有“二升少半”、
“一升大半”的说法。“半”即二分之一，“少半”为三分之一，“大
半”为三分之二，都是当时通用的分数术语。《考工记》中对于各种器
具规格的规定，大量使用了分数，而且有了分数运算。
从战国墓葬中出土的天平砝码的重量，以1、2、4、8……递增，这
0 1 2 3
相当于等比数列、2、2、2、2……。在乐律研究中，《管子·地员》
篇提出了“三分损益法”的乐律计算方法，其法为“先主一而三之，四
4
开以合九九”。相当于1×3=9×9=81。这两个例子表明当时已有了指数
的初步概念。
（2）几何知识
《周髀算经》卷上之一中，记载了西周开国时期周公姬旦与大夫商
高关于原始的割圆之法的问答。第一段讲周天历度之数的方法，即勾股
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法。文中称：“故折矩以为句（勾），广三，股修四，径隅五。既方其
外，半之一矩。环而共盘，得成三、四、五。两矩共长二十有五，是谓
积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。”这是说在夏禹时已有了
“勾三股四径（弦）五”这个勾股定理的特例的知识了。在卷上之二中
更有“以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪（斜）
2 2 2
至日”。这是明确的“勾＋股 =弦 ”的表述。所以中国发现勾股弦定
理至少比古希腊毕达哥拉斯早一个世纪。
由于战争和生产的需要，春秋战国时期各地修建了不少城防和水利
工程。这就需要运用大量的几何知识进行距离、高低、厚薄、土方等测
量。《墨子》中就记载了有关城墙、城门、垛口、城楼的一系列计算问
题，都与立体几何有关。 《春秋》记载，公元前594年鲁国首先实行对
公、私土地一律按田亩征税的“初税亩”制度，这就要对各种形状的面
积进行丈量计算。可以相信，当时对正方形、长方形、三角形、梯形和
圆等各种面积，已有了计算法则。
春秋战国时期的文献中，有不少关于测量绘图的记载。测量包括直
线测量、水准测量和垂直测量，分别称为“绳墨”、“水”和“悬”。
“绳墨”就是打墨线以取直，“水”就是以水平面为标准测量坡度和高
程；“悬”就是用铅垂线以定竖直。
在制造各种农具、车辆、兵器和乐器中，常会遇到不同部位有不同
角度的问题，所以当时已形成了角的概念以及衡量角度大小的一些单
位。 《考工记》把角称为“倨句”（j） g#u，音巨勾），“倨”就是钝，
“句”就是锐。直角被称为“倨句中矩”或“一矩”。在“磬氏”节中
讲“磬氏为磬，倨句一矩有半”。这是说石磬背部折角的大小是一个直
角（矩）再加上半个直角，即135°。
（3）组合数学思想的萌芽
流传至今的最古典籍之一《易经》，是符合体系与概念体系的统一
体。它的符号体系中包含有严格的数学逻辑性。这种符号体系是由代表
“阴爻”的“”和代表“阳爻”的“—”两种基本符号通过排列组合
而得出的“四象”、“八卦”和“六十四卦”的集合。
2
把“—”“”分别与“—”、“”排列一次，共有2=4种组合，
就是“四象”；再把“—”、“”与“四象”各配一次，即由三个爻
3
组成一组，共有2=8种组合，就是“八卦”。八种符号分别象征天（）、
地（ ）、水（）、火（ ）、风（ ）、雷（）、山（）、泽（ ）
八种自然事物，再分别赋予乾、坤、坎、离、巽、震、艮、兑八个卦名，
同时还分别代表八个方向。把八卦的每一卦都和八卦相配一次，即取六
6
个爻组成一组，共有2=64种组合，即“八八六十四卦”。由于“阴”
和“阳”是中国古人对一切事物和现象中两种对立力量的高度概括，因
而由“阴”和“阳”两种符号排列组合而形成的“六十四卦”，就可以
表示出事物和现象的六十四种可能的状态；卦爻从下 （第一个初爻）到
上 （第六个上爻）的每种排列，就可以表示出事物的某种发展过程。这
样， 《周易》就给出了一个朴素的、具有一定逻辑结构的关于事物发展
变化的描述体系。
卦爻还包含了二进制的数学思想。如果把阴爻“”以“0”代替，
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把阳爻“—”用“1”代替，可以看出易卦就是二进制数码组。八卦和二
进制数码的对应关系为：
坤 艮 坎 巽 震 离 兑 乾
卦 画
二进制数 000 001 010 011 100 101 110 111
十进制数 0 1 2 3 4 5 6 7
①
所以，六十四卦也可以表成二进制展开式和相应的自然数序 ：
000000 000001 000010 000011 000100 000101 000110 000111
00 01 02 03 04 05 06 07
001000 001001 001010 001011 001100 001101 001110 001111
08 09 10 11 12 13 14 15
010000 010001 010010 010011 010100 010101 010110 010111
16 17 18 19 20 21 22 23
011000 011001 011010 011011 011100 011101 011110 011111
24 25 26 27 28 29 30 31
100000 100001 100010 100011 100100 100101 100110 100111
32 33 34 35 36 37 38 39
101000 101001 101010 101011 101100 101101 101110 101111
40 41 42 43 44 45 46 47
110000 110001 110010 110011 110100 110101 110110 110111
48 49 50 51 52 53 54 55
111000 111001 111010 111011 111100 111101 111110 111111
56
