写给考生家长的书-第18章

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8、揭示数学概念相互的联系。尽管数学概念是以定义形式引入的，但我
们不能只求死记硬背定义，更为重要的是要懂得概念的来龙去脉和前因后
果。例如方程的增根和失根现象，从其定义表面上理解并不困难，但在实际
运算过程中，不少同学并不能准确地做出，准确地判断鉴别。这是由于不明
白这个概念是与方程同解的概念紧密相关的，而方程同解的概念是与方程未
知数允许值范围扩大和范围缩小的概念分不开的。因而方程同解的概念及其
前因后果，而增根和失根的来历最终还是解方程的未知数允许值范围的变
化。由此可见解方程时，能否真正掌握增根和失根的判断就在于对这一系列
概念及相互间的联系是否有透彻的理解。
110．你弄通数学概念的内涵和外延了吗？
任何一个数学概念，不论其定义方式是种概念加属差的方式、揭示外延
的方式、发生定义的方式还是其他的定义方式，都显示了这个概念的本质属
性，即它的内涵。例如在立体几何中：
四棱柱平行六面体长方体棱部相等
正方体。
底面是平行四边形相邻棱垂直
棱部相等
？？？？？？？？？？？？？？？？
？？？？？？
很明显，“平行六面体”、“长方体”、“正方体”这些“属”概念都
分别是它们前面“种”概念加“属差”而得到的，在复习中，应注意突出“属
差”。
又如初等代数中的函数、数列、极限的定义都是用发生定义的方式定义
的，这是种概念加属差的一种特殊方式，不过定义中的属差是描述被发生概
念的过程，而不是揭示它的特有的本质属性。复习这类概念时，要突出“过
程和结合图形”。另外，还有一些概念则是用揭示外延的定义方式来定义的。
如数、式、方程的分类就表明了概念的外延，复习这类概念时则要弄清它们
的范围。
此外，还有一些别的定义方式，在复习时对构造定义（如等差数列、等
比数列）要突出“结构及顺序”；对形成定义（如直线方程）要突出“定义
的模型”；对规则定义［如规α°＝1（α≠1）］要突出定义的“合理性和
必要性”。
由上面所述可以得知：内涵和外延，定义和分类显然是密切相关的，掌
握概念的外延，可以识别同类事物，二者结合起来就能真正理解和掌握概念。
这不仅有助于对概念加深理解，而且有助于运用概念进行推理判断。
同类概念之间有多种多样的关系，如同一关系（外延相同，内涵不同）、
从属关系（种概念的外延大于类概念的外延）、交叉关系（两个概念内涵不
同，外延有部分相同）、并列关系（两个概念都是某一概念的类概念）、对
立关系（两个概念有部分是对立的，外延是互相排斥的），矛盾关系（两个
概念内涵互相否定）。具有同一关系的两个概念（例如在同一圆中，直径和
最大的弦），在论证过程中可以互相代替；两个概念如有从属关系，比如代
数式与有理式，那么它们的外延和内涵有交叉关系；而一个方程组是否有解，
就要看方程的解集是否有交叉关系，根据有理数和无理数为并列关系，可以
认识它们之间的共性和个性，等边三角形和不等边三角形，虽然互相对立但
有中间概念——等腰三角形，而矛盾着的两个概念在推理中必然是“非此即
彼”，不可能有第三种情况存在。
111．必须在实践中巩固和深化所学的知识
要巩固和深化概念，有效的途径就是数学实践——做练习题。主要应从
三个方面做题来巩固和深化概念。
1。易混易错概念的鉴别练习。
例1：方程x2＋y2…1＝0　能否确定y　是x　的既奇又偶的函数？
看到这个问题，许多同学会认为这是一个单位圆，y　轴是对称轴，原点
是对称中心，所以认为能够确定，其实这是错误的。错误在于模糊了函数及
其奇偶性的概念，要知道函数为单值映射，而这里的映射非单位，所以既不
成为函数，更说不上奇偶性了。
在解答定性选择题时，许多考生表现出对相似概念的鉴别能力差。例如
容易混淆“包含”与“属于”、幂函数与指数函数、绝对值与模等，这就要
求我们在复习中用实例去区分，用实例去鉴别，在实践中去体会，在应用中
去巩固。
2、灵活地掌握数学概念。
例：若两条直线k1∶y=k1x＋b1，L2∶y=k2x＋b2　的斜率k1，k2　都存在，则
此两条直线垂直的充要条件是
k　=　…
1
1　k
2
显然这个命题要求两直线的斜率存在，即直线倾角为90°时，此结论忌
用，但是做如下变化，就全面了。即：则L1∶A1x＋B1y＋L1=0，L2∶A2x＋B2y＋L2=0
则L1⊥L2　的充要条件是A1A2＋B1B2=0
特别要强调的是，在复习中，有必要进行变化数学概念的复习，从而掌
握实质性的东西。
3、加强直接运用数学概念解题的能力。
这要求考生对概念的适用性、规定性有所了解。
另外，在复习时，对数学概念的认识不能仅仅停留在它的外表，而应真
正深入到它的内部，去把握它的本质东西。
例：求以（1，2）为顶点，原点为焦点的抛物线方程。
如右图所示，此题若考虑用转轴和移轴来求抛物线方程是不能奏效的，
但若想到抛物线约定义：“平面内与一定点F　和一条定直线的距离相等的点
的轨迹叫抛物线”，就不难得出结论。
例：　年高考试题，如果×　≤
π
1989　1　1　求函数f（x）　=　Cosx＋Sinx的最小
4
值。
本题考生一般能化成f（x）　=　的形式并写出答案：
5
4
Sinx　…
1
2
？？（　）2
当Sinx=…1　时，f（x）最小值为…1，其实这是错的，因为它没有考虑到题目的
条
件｜　｜≤
π
x　。
4
由上面的例题可知，概念、定义在解题过程中起到判定作用。这里，笔
者想为大家介绍一个简捷的方法。在考试中常出现这样的题型：有两个式子
A、B，问两者是什么条件？通常，一般的考生是硬推去做，这样很费时间，
也容易出错。若是用定义域求解，即如果A　的定义域包含B　的定义域则为充
要条件，反之为必要条件：若A　与B　的定义域相同则为充要条件，若定义域
不同则什么也不是。读者感兴趣，不妨一试。
希望大家在实践中不断巩固和深化知识。
112．数学的基本功训练亟待加强
在数学复习中，许多考生身上都或多或少地存在这样的倾向：即注重解
题技巧的复习而轻视对基本功的训练。这种倾向造成严重的后果，据对1984
年到1989　年考分的抽样调查，因运算错误而造成的平均失分率为50％左右。
这就要求考生不能盲目地去攻高难度的题，而要练好基本功。其实，基
本功练好了，高难度的题就不在话下了。在练习中我们要注重抓这样几个环
节：
1、把握易忘、易混淆定理、公式和法则。
例：计算（sin50＋icos50）12
误解：原式=　sin60　＋　icos60　=　，　原因在于忘记了棣密佛定
3
＋
1
2
0　0　i
2
理只有在是复数三角式的情况下才能够用。
2、提高活用定理、公式、法则的能力。
例：求π　的最小值。误解：
∵　≥　∴　的最小值为在这个解的过程中
f（x）　=
2
sinx
f　f（x）　2
？？？？？
×？？
sin
（　）
（　）
sin
sin
x
x
x
x
x
2
0
2
2
2
2
死套基本式，忽视了sinx　的范围为〔0，1〕，此时，不等式没有取得等号的
可能（答案为4）。
3、突破运算能力薄弱的环节。
例：　1989　年高考题，　已知a　＞　o　且α　≠1　试求使方程Loga（xak）
2=loga（x2…a2）　有解的K　的取值范围，考生列成混合组
（x　ak）　x　a
x　…　ak　》　0
x　a　0
（x　ak）　x　a
x　a　0
2　2　2
2　2
2　2　2
2　2
？？？？？
？？？
ì
í？？
？？？
？？？？？
？？？
ìí？？
？？
或
同样，由于计算能力不过关而半途而废。
例：1987　年高考题，对于所有x，不等式
x　log　（
4（a　1）
a
）　2xlog　（
2a
a　1
）　log
（a　1）
4a
2　0
2　2　2
2
2
？
？
？
？
？
？
恒成立，求α的取值范围。
在高考中，许多考生都归结为不等式组，
a
a　1
0
log
4（a　1）
a
0
（2log
2a
a　1
）　4log
4（a　1）
a
log
（a　1）
4a
0
2
2
2
2　2
？
？
？
？
？
？
？？？
？
ì
í
？？？
？
？？？
这个解题过程大繁，不是解不出来，就是中间某一步出现错误。其实，这个
题根本不需要这样解，只要对不等式变个形就会简单多了。
解：变形为：
即：
x
a
a
x
a
a
a
a
x　x
a
a
2
2　2　2
2　2
2
8
1
2
2
1
2
2
1
2
0
3　1　1
1
2
0
＇log　（　）＇　log　log
＇（　）　＇　log
？
？
？
？
？
？
？？？？？
？
？
∵对于实数x　恒成立。

∴log　→　→　→　所以的取值范围为
a　1
2a
0
a　1
a
1
a
a
0　0　a　1　a　2
？
？
？
？
？
？？？？？
（0、1），
因此，我们要重视基本功的训练，提高计算能力。
113．怎样才能提高自己的解题能力？
目前高考数学命题的指导思想是要既有利于选拔人材，又要有利于指导
中学教学。命题的原则是：考察基础知识，注重数学思想，培养实际能力，
这就要求在考前多培养解题能力。
1、要掌握数学方法，突出数学现实，优化数学模型。
例1：已知P＝｛（x；　y）｝1（k　2　…　1）　＋　2kx　＋　（k　＋1）　2　=　0，k　？R｝求P的图形。
由题中条件可知P　为直线（k2…1）y＋2kx＋（k…1）2＝0①上的点，若按R　取不
同的值来研究直线之外的点是不能奏效的，但要是把①视为k　的一元二次方
程，优化其数学模型，则求P的图形成为求①关于K无实根时X、y的范围。
解略。
例2：求证：对称轴互相垂直的二抛物线的四个交点共圆。
在处理曲线的交点时，基本方法是“设”和“解”。“设”而且“解”
最繁，“设而不解”或“解而不设”较简，“不设不解”最简，是繁是简取
决于数学模型，本题宜用其交点的曲线系方程f1＋=λf20　这个模型，可以不
设不解。
证明：抛物线y2±2px＋s=0①与抛物线
x2±2py＋t=0②的对称轴垂直。
①＋②得：
x2＋y2±2px±2py＋t=0　这正是圆的方程所以交点共圆。
2、培养发散性思维和逆向思维的能力。
例1：直线L　与抛物线y2=2px　和y2=2p（x…y）分别交于A1，B1　和A2、B2
（如下图），求证1A1A21=1B1B21，
要证明这个题，用发散性思维，至少有四种方案。
（1）用普通方程求交点、距离。
（2）用普通方程求中点，证与中点座标相同。
（3）用参数方程求交点，求距离。
（4）证明A1B1　与A2B2　的中点对应同一参数。
通过比较，第四种方案为映射观点，最为简捷。这样运用发散思维，就
可以缩短解题时间，能力也随之提高了。
作一番探索，就会发现：在特殊情况下，抛物线y2…2px　的弦AB　切抛物
线y2=2p（x…y）于点M，则1AMl＝1MB1。
在一般情况下，直接L　与抛物线和y2=2p（x…y1）和y2=2p（x…y2）分别交
于A1、B1　和A2、B2　则：A1A2｜=｜B1B2｜
这个结论如再推广可证出：
1　l
x
a
y
b
1
x
a
y
b
g　A　B
A　B　A　A　B　B
2
2
2
2
2
2
2
2　1　1
2　2　1　2　1　2
（　）直线与椭圆成双曲线和分别交于，
和，　则｜　｜　｜　｜
±？？？±？？
？
（　）直线与双曲线和它的渐近线分别交于，
及，　则｜　｜　｜　｜
2　L
x
a
y
b
A　B
A　B　A　A　B　B
2
2
2
2　1　1
2　2　1　2　1　2
？？？？1
？
可见，多思考，是提高能力的有效途径。
114．复习与做题的关系怎么才能处理好呢？
数学复习离不开做题，但是不能互相代替。
复习包括知识和思想方法两个方面，既要做到拾遗而不漏，扫清障碍，
又要总结原理，形成系统；而做题的目的是要在应用中加深知识的理解，掌
握解题的方法，提高运用知识的能力，同时也是对复习情况的检查和评估。
在懂得了解题的目的之后，重要的是怎样去解题。在解题时，解题方法
是十分重要的。许多同学在复习中会感到，对某些题，教师一点就破，一讲
就懂，但不点就破不了。问题就在于把学的知识孤立对待，局限于某一个范
围内思考，而不会把知识“膨胀”（一题多想，一题多解）和“收缩”（三
角、代数、几何互相融合）。解题方法墨守常规，知识不能灵活运用，这都
是破不了题的因素。下面具体讲几种解题要注意的地方。
1、解题概念要清楚，对题中所给的条件要理解透彻。
例：设x1，x2　为方程4x2…4kx＋k=0　的二实根，当K　为何值时，x1
2＋x2
2　为
最小值并求其最小值。
解：∵
∴
∴　当时取得
x　x　K　x　x　K
x　x　x　x　x　x　k
y　K
1　2　1　2
1
2
2
2
1　2
2
1　2
2
1
4
2
2
1
4
7
16
7
16
1
4
？？？？×？？？？
？？？？？？？？？？？？？
？？？？？
；　（　）
（　）　（　）
；　min　？
但是此结论却是错误的。只要追究一下4x2…4Kx＋K＋2=0　有实数根的条件
可知，K　的取值范围不是整个R，而是受原方程为实根的限制的。
即当△=（…4k）2…4？4（k＋2）≥时
∴得出的范围≤　或≥　；　＝　不在范围内，故当＝　时
＝　；当＝　时＝
K　K　…1　K　2　K　…
1
4
K　…1
y　K　2　y　2
1
2
∴当K＝—1　时，
2、解题中要不受常规解题法的局限。
例：设a、b、c　R　且a＋b＋c＝3，
1
a
1
b
1
c
？？？？？？？？？？3
求证：abc＝1
此题不按常规方法，由已知条件推导是十分复杂的，若按逻辑推理，转
化成证明不等式，从而得到证明，就简单多了。
证明：∵a、b、c∈R＋
而≥　即≥
≥即即≤
只有
3　3　1　3
3
1　1　1
3
1
3
1
1
1
3　3
3
3
？？？？？
？？？？？
？
a　b　c　abc　abc
a　b　c　abc　cba
abc
即abc＝1
3、解题中要善于联想转化。
也就是说，把不熟悉的类型变成了熟悉的类型，通过联想，使题型由难
而易。
4、在复习中要注意系列相关题的训练。
系列题具有一定的梯度，知识覆盖面广，能溶人很多知识。相关题还具
有延伸性，能沟通知识的联系，是考察考生的创造性思维与应用能力的。这
些题目在历年高考试题中都是压阵题。同学们不要轻易放弃，思考得好，处
理得当是拿分题，即使突破一部分也是好的。
最后，要提醒同学们特别是一些数学思维能力较强的同学，在做题时一
定要写全解题步骤，跳步、省去该有的部分都会失分。某些考生的教训可谓
惨痛，答案一致，却因步骤不全失了很多分。希望大家千万注意，能拿的分
一定要拿到，拿不了的分，也不轻易失去。
115．用活教材的点点滴滴
考前如何对英语进行有条不紊的复习，在短时间内达到理想的效果，最
重要的是要以教材为中心，立足教材、活用教材，同学们可以从以下几个方
面着手。
1、查。首先对自己作一个全面的、实事求是的估计。从每个人的实际出
发，查自己知识的薄弱环节，查自己的哪些知识掌握的不过关，查漏洞，找
弱点，这样复习起来有针对性，有的放矢，重点突出。力量用在刀刃上，避
免平均使用力量。
理。在复习过程中，作一些整理工作，将分散在各册书中的知识进行归
纳、整理，使之科学化、系统化、条理化。例如在词汇方面可以以最常用的
十几个动词be，take，make，look，go，have，give，keep