神奇的二维国-第7章
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转动，让这个孩子说出我们的位置。他的回答总是令人满意的。为了鼓励他，我又教给他一些几何学上有用的数学知识。
我拿来九个四边形，每个边长均为一英寸，我把它们放在一起，便组成了一个边长为三英寸的大四边形。由此我向我的小孙子证明——因为我们无法看到它的内部——将每个边上的英寸数平方一下，就会知道它的面积有多少平方英寸。我告诉他：“这样，我们就能知道，这个边长为三英寸的四边形面积的平方英寸数是九，也就是3^2。”
我的小孙子思索了一会儿，便对我说道：“你教我算过一个数的三次方，我想，三的三次方3^3一定是有几何意义的，但是有什么意义呢？”
我回答道：“什么意义也没有，至少没有几何意义，几何学里只存在两个维。”然后，我又对他演示了一个点怎样通过沿一条线移动三英寸而生成一条三英寸的直线，在数学中以3代表之；然后，这条三英寸的线又平移三英寸，便得到了每边为三英寸的四边形，以3^2表示之。
对此，我孙子又拾起了他原来的想法。他一下子打断我，兴奋地喊道：“这就对了！如果一个点移动三英寸便生成一条三英寸长的直线，并可以以3表示；一条三英寸的直线平移后生成边长为三英寸的四边形，并可以以3^2表示，那么，这个边长为三英寸的四边形若再以某种方式平移一下——怎么平移，我可就说不出来了——就一定会生成一个每边长三英寸的什么东西——我也说不出是什么东西——而且一定可以以3^3表示……”
“睡觉去吧！”对他的插嘴，我有点生气了，“如果你少来点儿胡说八道，就会多记得些道理。”
于是，我的孙子只得怏怏离去。我坐在妻子身边，竭力回顾1999年，展望2000年。可这个聪明伶俐的小家伙的想入非非却老在我的脑子里打转，怎么也摆脱不了。半小时一颠倒的计时沙漏里还有不多的砂子了。我从沉思中惊觉过来，在第二个一千年的最后时刻里最后一次把沙漏转向北方，同时生气地大声说道：“这孩子真是个小傻瓜！”
突然，我觉得房间里好象又有了一个人。顿时，一股冷气袭遍我的全身，使我感到毛骨竦然。
“他可不是傻子！”我的妻子喊道，“这样说你孙子的坏话，不是违背戒条的吗！”
但我并没有注意她的话，只顾向四周打量，却没发现任何人，但我还是觉得真地有个人，似乎我又听到什么声音。我一下惊跳起来。
“你是怎么啦？”妻子问道，“没有穿堂风啊！你要找谁？这儿谁都没有啊！”
的确什么都没有。我又回到老地方，再次大声说：“我说这孩子是个傻瓜，3^3没有几何意义。”话音刚落，我便清清楚楚地听见有个声音回答：“这孩子可不傻，3^3有明显的几何意义。”
我和妻子都听见了这句话——当然，她并不明白是什么意思。我们都跳起来，向有声音的方向张望过去。我们看见面前出现了一个图形。对此，我们是多么恐怖啊！乍一看这是个女人，正侧向对着我们，但再瞅一眼，就能明显地看出，这个人有极迅速地变得模糊起来的两侧，因此又不象是位女性。我又猜想这是个圆，但又好象是个能改变大小的圆，而根据我的经验，无论圆还是其它任何规则图形，都不可能以这种方式变化。
我的妻子可不如我有经验，也不象我那样会冷静地注意观察。由于女性的急燥和没来由的嫉妒，她立即断定这是一个女人从哪个小缝隙里钻了进来。她生气地喊：“这个人是怎么进来的？亲爱的，你可是答应过我，在这所新房子里不开通气孔啊！”
“是没开通气孔，”我说，“可是，你为什么就认为这个陌生客是个女人呢？依我用视觉辨认术判断，我看见的是……”
“哟，我可没功夫听你那套视觉辨认的玩艺儿，”她回答我，“要知道，谚语里说‘耳听为虚、触摸为实’、‘看时一个圆，摸时是条线’啊。”（这两条谚语是二维国女性们常挂在嘴边的。）
“好啦好啦，”我不想惹恼她，便说道，“如果真是这样，那咱们便同这位客人彼此认识一下吧。”我妻子便以最优雅的仪态走向陌生人说：“这位女士，请允许我请求您摸一摸我，也让我……”话未说完，她忽然退了回来：“哟，这不是个女人，而且也没有角度，压根儿也没有！我刚才是不是无礼地摸了一位标准圆呢？”
“从某种意义上说，我的确是个圆，”这个声音回答，“而且比二维国的任何一个圆都更完美。更确切地说，在我身上有许多个圆。”他又更温和地加了一句：“亲爱的夫人，我有件事要同你丈夫谈，但不便当着你的面讲。劳驾您离开一会儿……”我的妻子不肯让这位尊贵的客人纡尊降贵地请求，忙说自己早该回屋休息了，并又就刚才的失礼道歉不已，最后总算真的走了。
我瞥了一眼砂漏，最后一点砂子已经漏下去了，2000年——第三个一千年的第一年——开始了。
16．陌生人间我揭示三维国奥秘的一番徒劳
我妻子的告别声刚刚消失，我就开始靠近这位陌生人，打算请他“坐”下来，并借此更近地看看他。一见他的外表，我就目瞪口呆、痴若木鸡。他竟连一点点带角度的征候也没有，但他的大小和光亮程度又每时每刻都在变化着。据我所知，这在任何图形来说几乎都是不可能的。我突然想到，这可能是一个窃贼或强盗，是装成圆的某个邪恶的不规则等腰三角形，不知用什么方法钻进了我的屋子，正打算用他的尖角刺穿我呢！
但我是在房间里，而且目前正值干燥季节，所以没有雾气，这使我很难相信视觉辨认的结果，特别是我现在就站在离他极近的地方。我恐怖极了，竟唐突地向他冲去，说道：“先生，你必须允许我……”一边说，我一边触摸起他来。
我的妻子是对的，他没有角的迹象，也没有一点有棱角或不均匀的地方，在我的生活中，从没有见到过比他更完美的圆了。我从他面前开始，围着他转上一圈。当我绕着他走动时，他一动也不动。我看出他的确是个圆，一个极好的圆，这是毫无疑问的。
后来便是一番谈话。我在这里尽量将原话复述出来，只是把其中没完没了地道歉的话砍掉了一些——我竟斗胆摸了一个圆，事后想起来真是羞愧难当啊。谈话是以来客对我长时间的触摸表示不耐烦开始的。
陌生人：“现在你该摸够了吧？可你还没有自我介绍呢！”
我：“最杰出的阁下，请原谅我的唐突，这不是因为我不懂得文明社会的规矩，而只是惊奇和紧张使然。您的造访实在是太出乎我的意料了。阁下，我恳求您不要把我的失礼行为告诉别人，特别是我的妻子。在和您交谈之前，请您满足一下我的好奇心，让我知道您是从哪里光临的，好吗？”
陌生人：“从空间。我从空间来，先生。不从空间，又能从哪里来呢？”
我：“对不起，阁下。不过就在此刻，您和鄙人不也是在空间里吗？”
陌生人：“非也，非也。你认为什么是空间呢？你能下个定义吗？”
我：“空间就是无限延伸的长和宽，阁下。”
陌生人：“说真的，看来你连什么是空间都不知道呢。你以为空间只是二维的吧？我再告诉你第三个维——除了长和宽以外，还有一个高。”
我：“阁下可真爱开玩笑。我们也把长说成高，把宽说成厚，因此是两个维的四种说法。”
陌生人：“我的意思并不是叫法问题，而是说存在着三个维。”
我：“请您说明一下，这个我所不知道的第三个维在什么方向上？”
陌生人：“就从我来的那个方向上，也就是沿着上和下的方向。”
我：“您的意思是说沿着南和北吧？”
陌生人：“根本不是这个意思。我所指的方向你是看不见的，因为在你的身子边上没有生着眼睛。”
我：“请原谅，阁下。您看一下就会相信，我是生有眼睛的。在我的两条边的相交处有一个发亮的小点，那就是我的眼睛。”
陌生人：“我知道。但为了向空间看，你应当还生有别的眼睛。不是在你的周边上，而是在你身体的侧面。可能你会叫它是你的体内，可在我们三维国，则称之为侧面。”
我：“让我体内长一只眼睛？长在我的肚子里？阁下是在开玩笑吧！”
陌生人：“我可没有开玩笑的闲心。我跟你说过，我是从空间来的，可你不懂得什么是空间，所以我又对你说，我来自一个有三个维的国度，我刚才就从那里俯瞰了你们自称为‘真正的空间’的这个平面。从刚才那个有利的位置，我可以进一步描述你们称之为‘立体’（在你们这里，凡是四面都有边界的，你们都叫它是立体）的东西：称们的住房、教堂、家具、保险箱，甚至你们的内脏，全部暴露在我的视野里。”
我：“嘴上这样说说倒也不难，阁下。”
陌生人：“你的意思是说证明起来可就难了不是？可我这就来证明一下。当我往这儿下降时，我看见了你的四个儿子，他们是五边形，都在自己的房间里；还有你的两个六边形的孙子。我看见你最小的孙子和你在一起呆了一会见，然后回到了自己的房间，这间房子里只留下了你们夫妻二人。我还看见你的三个等腰三角形的仆人在厨房里准备晚饭，另有一个小听差在帮忙洗碗碟。然后我便到这里来了。现在，你认为我是怎么来的呢？”
我：“我想，您说不定是从天花板的什么地方钻过来的。”
陌生人：“不对，你很清楚，你的屋顶最近刚刚修缮过，甚至连个能让女人钻过的缝隙都没有。告诉你，我是从空间来的。我已经对你讲了有关你的孩子和家庭的情况，你还不相信我是从空间来的吗？”
我：“阁下一定很清楚，象您这样一位能拥有广泛情报来源的贵人，要想从我周围了解到一些鄙人家里的私事，不是易如反掌吗？”
陌生人：（自言自语）“我该怎么办？对了，我又想起了一招。——当你看一段直线，比如看你的妻子时，你认为她是几维的呢？”
我：“听阁下同我谈话的口气，就好象我是个粗人，对数学一无所知的，所以觉得我会认为女人真地是一段直线，只具有一个维。不，不，不，阁下。我们四边形多少是喝过些墨水的，因此能象您一样，知道妇女虽然一般被称做直线，其实科学地说是一个极细长的平行四边形，因此有两个维，同其它人一样有长有宽。”
陌生人：“正因为有三个维，你才能看见这条所谓的线呢！”
我：“阁下，我刚刚说过，妇女是有宽度和长度的。我们能看见她的长，推断出她的宽，宽度虽然极小，但也能测量出来。”
陌生人：“你没有明白我的意思。当你看见一位妇女时，你应该——除了推测她有宽度之外——看见她的长，也应当看见她的我们称之为“高”的东西的存在，虽然最后这一个维在你的国家里是无穷小的。如果一条直线只有长而没有高，它就不再占有空间而变为不可见的了。你真地没有认识到这一点吗？”
我：“我承认我一点儿也不明白您的意思。我们在二维国看一条线时，是凭借长度和亮度看见的；如果光亮消失了，就说明这条线已不复存在了，也就象是你说的不再占有空间了。据我猜想，你所说的另一个维，就是这个我们称之为‘亮度’的东西吧，只是你们称之为‘高’就是了。对吗？”
陌生人：“不。我所说的高，就象你们的长度一样，也是一个维，只是在你们这里，高度一概是极小的，因而不易觉察出来罢了。”
我：“阁下，对您所说的是很容易加以验证的。您说我具有你们称之为‘高’的第三维。那好吧，维是有方向和大小的。那就请您测量一下我的‘高’，或者指一下我的‘高’是沿什么方向延伸的吧。如果您能叫我知道，我就会信服您，否则就只好对您所说的敬而远之了。”
陌生人：（自言自语）“既测量不出来，也无法对他指出？怎样能使他信服呢？有了，先对他说几个事实，然后再实际演示一下让他看看，这肯定就能行了。——请再听我说，先生。”
“你生活在一个平面上。设想你称之为二维国的世界，就是人们称之为流体这个东西的广大的表面，你和你的国民们就在这个面上，或者说在这个面里活动，但是不能上升或下降。
“我不是平面图形，而是一个立体。你称我为圆，可实际上我不是圆，而是叠在一起的无数多个直径从零至十三英寸的种种大小不等的圆。当我切入你的平面时，就会在这个面上截成一个图形，这就是一个圆。瞧，我现在就是这样做的。因为对于一个球来说——球就是我在我那个国家里的名称——如果能向二维国民表示出自己的形状的话，也只能表现为一个圆。
“你记不记得你昨夜的一维国之行？——我是什么都能看见的，因此我已经看到了你脑子里存留的有关幻象。喂，你记不记得，在你进入一维国时，是如何不得不在国王面前显现为一条线而不是四边形的？那是因为一维国只有一个维，因而不足以表示出你的全貌的缘故。现在的情况也完全类似。你们二维国也同样没有足够的地方来让我表现出自己的全貌；我是个三维形体，因此在这里只能显现我的一个断面，这也就是你称之为圆的图形。
“你的眼神有点暗淡，这表明你仍不肯相信。但现在我就要用确凿的证据表明，我告诉你的都是真理。既然你没有能力把你的眼睛抬出你的平面之外，你就只能看到我的一个断面，也就是说，每次只能看见一个圆。可当我在空间上升时，你至少会看见我在平面上的断面是逐渐变小的。现在你来看，我升起来了……你看见的圆正变得越来越小，直到缩成一个点，并且最后消失。”
我看不见他的上升，只是看到这个圆一点点变小，最后便消失了。我眨了好几次眼睛，为的是弄明白是不是在做梦。这不是梦。从空中不知何处传来了飘渺的声音——它好象就贴在我的心口：“我离开了吧！好，现在我再渐渐回到二维国来，你会看见我的断面越来越大。”
在三维国的每个读者都很明白，我这位神秘的客人所讲的话明摆着都是真实的。但我虽然说是二维国里一个精通数学的人，可这对于我却不是那么简单明白的事情。三维国里哪怕随便一个孩子，看了上面的那张很大略的图解，都会明白这是一个球在三维空间里上升时，对我或任一个二维国民表现为一个圆，而且开始时最大，然后就变小，最后变得极小，近似于一个点。而我却虽然看见了眼前的事实而依然感到莫名其妙。我所能理解的，只不过是这个圆使他自己变小和消失，然后又重现并迅速变大。
当他又恢复到原来的大小时，大声地叹了一口气，因为他从我的沉默中觉察到我仍完全不理解。确实，现在我倾向于相信他全然不是个圆，而可能是个高明的魔术师，要不然就是真象有些老婆婆们所说的那样，世上毕竟还有巫师方士之类的人。
又沉默了许久之后，他又自言自语了：“如果我不靠行动证明的话，至少还能有一个办法，那就是试一试类推法。”
随后，他又同我讲起话来。
球：“数学家先生，请告诉我，如果一个点向北移动，留下一条发亮的轨迹，你称这条轨迹为什么？”
我：“一条直线。”
球：“一段直线有几个端点？”
我：“两个�
