阿基米德的报复-第2章

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…1也会是素数。那么，让我们来试试看第五个素数：11。如n=11，2n…1则为2，047，而2，047并非素数（它是23和89的积）。真实情况是：要使2n…1为素数，n必须是素数，而n为素数并不就意味着2n…1是素数。事实上，对于n的大多数素数值来说，2n…1并不是素数。

　　　　由2n…1一式得出的数列现在称作默塞纳数列，马林。默塞纳是17世纪的巴黎僧侣，他在尽僧职之余抽空进行数论的研究。根据欧几里得的公式，每发现一个新的默塞纳素数，就会自动出现一个完全数。　1644年，默塞纳自己说，213…1，217…1和219…1这3个默塞纳数是素数（8，191；131，071和524，287）。这位僧侣还声称267…1这个巨大的默塞纳数会是位素数。在250多年的时间里，没有人对这一大胆的声言提出疑问。

　　　　1903年，在美国数学协会的一次会议上，哥伦比亚大学教授弗兰克。纳尔逊。科尔提交了一篇慎重的论文，题为：论大数的分解因子。数学史家埃里克。坦普。贝尔记下这一时刻所发生的事：“一向沉默寡言的科尔走上台去，不言不语地开始在黑板上计算267。然后小心地减去1，得出21位的庞大数字：147，573，952，589，676，412，927。他仍一语不发地移到黑板上的空白处，一步步做起了乘法运算：193，707，721×761，838，257，287两次计算结果相同。默塞纳的猜想——假如确曾如此的话——就此消失在数学神话的废物堆里了。据记载，这是第一次也是惟一的一次，美国数学协会的一位听众在宣读论文之前向其作者热烈欢呼。科尔一声不吱在他座位上坐下。没人向他提任何问题。”

　　　　在欧几里得证明他的公式总是得出偶数完全数的大约2，000年之后，18世纪的瑞士数学家伦纳德。尤勒证明，该公式将得出全部的偶数完全数。这样，我们就可以用另一种方式提出奇数完全数问题：是否存在不是由欧几里得公式得出的完全数呢？

　　　　为弄清最近取得的进展，年轻的米歇尔。弗里德曼埋头翻阅过期杂志：《计算数学》、《数论杂志》、《数学学报》及一堆决不会在咖啡桌上看到的其他期刊。他甚至参阅理查德。盖伊的艰深的经典著作《数论中的未决问题》，该书不仅讨论完全数，而且还探讨十几个其他神秘专题：“近超完全数”、“友谊图表”、“优雅图”、“贪婪规则系统”、“纽环游戏”、“达文波特…施尼茨尔系列”、“半友善数”、“友善数”和“不可接触数”。

　　　　米歇尔知道，困于这一棘手问题的数论学家们验明：如果真有奇数完全数存在的话，所必须具备的各类特征有：它必须被至少8个不同的素数整除，其中最大的一定要大于300，000，次大的也要大于1，000。如果奇数完全数不能被3除，它至少应被11个不同的素数整除。此外，当一个奇数完全数除以12时，它应有余数1；当它除以36时，它的余数应该是9。我们从这些验证中能得出什么结论呢？对奇数完全数的限制越多，奇数完全数存在的可能性就越小。1973年，彼得。哈吉斯运用这样的限制条件并借助于计算机肯定地证明了1050以下没有奇数完全数。米歇尔从盖伊的书中看到，自1973年以来，其他数论家“渐渐地把奇数完全数不可能存在的上限推到10100，尽管有人对后面这一证明表示怀疑”。

　　　　既然与盖伊一样有权威的人对这些证明提出质疑，米歇尔决定重新研究更低限问题。他运用　IBM　PC机及一组限制因素，包括一些文献中极少提到的来自印度的限制因素，证明在1079之下不存在奇数完全数，1079有8个素数因数——这是一个奇数完全数所能有的最少的素数因数的数目。

　　　　米歇尔说：“我在论文中只是引用了盖伊的话：以前（关于奇数完全数低限很高）的证明是可疑的。当我参加威斯汀豪斯决赛时，我决定检查其他一些证明，但没有发现它们可疑的原因。因此，我给盖伊打了电话，他告诉我，数学家不喜欢由计算机做出的证明，因为你没法知道：编程序的人出继漏了吗？计算机出故障了吗？”

　　　　即使该计算机的计算错误（比如说在别的计算机上）被检查出来，但由于那些证明本身常常很长并且很复杂，因而除了原作者没人对它们一步步地仔细加以审查。只有哈吉斯的证明（整整长达83页！）曾由其他数学家全面地审查过，并宣布为有充分根据。

　　　　米歇尔哧哧地笑了，他不无骄傲地说：“我的证明也是可疑的。威斯汀豪斯的人们不是没有理解就是满不在乎。就我所知，没人真正审阅过我的论文。”

　　　　根据他的论文及其他辅助材料，米歇尔成了从多达1，100名参赛者中选出的40名威斯汀豪斯决赛选手之一。他们40人被召到华盛顿，在那儿决出10位优胜者。米歇尔解释说：“一旦你来到华盛顿，那几乎就不是根据你的论文来看了。一组科学家对你进行面试，他们会问：”你如何测出太阳与地球间的距离？你如何测出华盛顿纪念碑的高度？‘有一女孩说：“用卷尺测量。’有位科学家领带上面附有半张元素周期表，他就元素周期表问题向每个人提问。有些人注意到了领带并径直读出答案。我不这样，因此我不得不记住氧的质子数及电子层数。”

　　　　米歇尔补充说：“向我们提问的还有一位精神病医生。”我吃了一惊。“当我谈到精神病医生时，人们都感到吃惊。他向人们询问他们的家庭生活。威斯汀豪斯想发现未来的诺贝尔奖获得者。那才是他们的大事。他们希望在前10名中有未来的诺贝尔奖获得者。”米歇尔解释说，过去有5名威斯汀豪斯决赛选手（一年有40个，并且这种竞赛一直进行了44年）获得诺贝尔奖，但这5人之中，只有1人是前10名的。米歇尔耐心地向我解释，威斯汀豪斯这种做法还不如随意选择呢。（每年从40名中随意选择10名会在前10名中产生出1。25名诺贝尔奖金获得者。至于怎么会有0。25个科学家到斯德哥尔摩去领奖就只能留给数学家去想象了。）那些精神病专家显然是被请来从参赛者中发现获诺贝尔奖人物的苗子，以便提高他们的比例的。

　　　　米歇尔接着说：“我的指导人在我的申请中写道，我不会放过一个问题，我是非常固执的。因此，精神病专家就固执一事整整问了我15分钟，‘你怎么个固执法？你考虑过固执会给你今后的生活造成损害吗？你是否会就是因为你曾经反对过某些建议而根本拒绝接受呢？’”

　　　　既然米歇尔成功地进入了前10名，那也许可以说固执是荣获诺贝尔奖桂冠者的部分品性。对威斯汀豪斯（以及米歇尔）来说，不幸的是：没有数学或计算机科学方面的诺贝尔奖。如果他一心要获得这方面的诺贝尔奖，恐怕最终只好去摆弄海虾了。

　　　　其实，米歇尔如果放弃完全数会更有利于他的健康。其他研究完全数时间太长的人结果都不可避免地陷入到古人的数字神秘主义中去。文艺复兴时的数学家米歇尔。施蒂费尔和彼得。邦格斯没能解开完全数之谜；施蒂费尔错误地宣称，除6以外的所有完全数可被4整除，邦格斯也就尾数做出错误的判断。他们在摆弄过数字的完满性之后转向了相反的性质——罪恶，他们是在那个臭名昭著的凶数——666——上发现罪恶的。

　　　　华莱士。约翰。斯坦霍普——保罗。内森的科幻小说《牛顿的天赋》中的物理学家——为这一想法所困扰，即牛顿和往日其他科学巨子一定在乏味的数学计算上费了很多的时间。试想一下可怜的牛顿由于算术上的简单错误而无休止地拖延了重力的发现的情形吧！当斯坦霍普发明了一种背囊大小的时间机器时，他决定到1666年的英格兰去——当时牛顿正处在他的黄金年华，恰巧，那年还是那场世纪性瘟疫的最后一年——送给牛顿一个袖珍计算器。斯坦霍普的动机无疑是要把牛顿的非凡的大脑从乏味的计算中解脱出来。

　　　　可是，牛顿害怕这个计算器，尤其是它通红的数字显示：“上帝是我的救主，它是魔王的发明吗？它的眼睛闪耀着魔鬼王国的颜色呢。”

　　　　“你不能不相信你自己的眼睛，”斯坦霍普回答说，“让我演示给你看它是如何工作的。我只要按几个钮就可以给你除两个数。”斯坦霍普随便地按了几个数：81，918除以123。当得数亮出来时，牛顿立刻双膝跪倒在地并开始祈祷。然后，他站起来，猛地从火炉中抓起一把烫手的拨火铁棍向斯坦霍普掷去，斯坦霍普这才慌忙逃回到今日的时空坐标中来。

　　　　牛顿粗暴的反应可由斯坦霍普不幸选择的数来解释：81，918除以123正巧是666：凶数。信仰宗教的牛顿在可怕的红灯中惊恐地看到倒下的大天使在他面前悸动的指纹。据说，正是这次与魔鬼的遭遇才促使牛顿写神学著作。

　　　　虽然这个精妙的故事是虚构的，但它在精神上与牛顿迷恋于玄奥和超自然是一致的。牛顿就宗教和神学问题写下了130多万字的著作。他写了多方面的文字来解释先知的语言，他无疑对《圣经》关于凶数666的预测很熟悉。由于其他研究科学和数学的人都陷于666的神秘性中，因此有必要探求一下该数是如何得此恶名的。

　　　　在中世纪，一群以希伯来神秘主义哲学家闻名的犹太学者就异教徒指出《圣经》中明显的矛盾、琐屑和谬误做出了睿智的回答。这些哲学家声称，《旧约》中的许多内容是用密码写成的。这是《圣经》显得紊乱的原因。然而，一旦破译出密码，一切都会豁然开朗，神的真谛也就被揭示出来了。破译的主要方法是隐语解法：通过对所有字母进行处理，将一个词或短语转换成数，以预定数值代替每个字母，并算出这些数字之和。他们认为该字母或短语与其他具有相等的和的词或短语有关。

　　　　例如，《创世纪》第十八章第二节：亚伯拉罕举目观看，“瞧！有3个人在对面站着”，但没有指明这3个人是谁。神秘主义哲学家们运用隐语解法发现这3个人是大天使米歇尔、加百列和拉斐尔。如果把希伯来原文的字母“瞧！3个人”代之以相应的数，它们的和为701，与“这些是米歇尔、加百列和拉斐尔”字母相应数之和相等。神秘主义哲学家们通过类似的数学破译密码法回答了《申命记》第三十章第十二节中提出的问题：“谁替我们上天去？”这些词的希伯来文所有字母合在一起得出的和与“割礼和耶和华”和希伯来语所有字母之和相等，这意味着上帝认为割礼是去向天国的通行证。这种以数学解《圣经》的方法激发了犹太学者对数学的兴趣。

　　　　基督教神学家们很快采用了神秘主义哲学家们的神秘分析方法。《新约》本身实际上推动了在姓名与数字之间寻求对应关系的应用，正是在那儿第一次出现了666这个数。《启示录》第十三章第十一节警告邪恶力量：“我又看见另有一个兽从地中上来。有两个角如同羊羔，说话好像龙。”7行后，我们知道了这只兽是与666这个数相关的一个人：“在这里有智慧，凡有理解力的人可以计算兽的数字：因为这是人的数字，他的数字是六百六十六。”但这人是谁呢？上文所述诱使我们对人名使用隐语解法来确认这头兽。

　　　　这头兽是敌基督或假基督。在《圣经》里所记的时代，假基督被认为是罗马皇帝。他通过创立一种异教而对上帝的统治进行挑战，这种异教崇拜皇帝并有自己的教士。《圣经》评论家怀疑这头兽是罗马皇帝尼禄，但要从他的名字中得出666来需要经过多次处理。如果把尼禄的名字用希腊语写成尼罗恩，再加上独裁者的称号，然后将独裁者尼禄合译为希伯来文，再将字母转为相应的数字，总数相加之和就是666。不管怎样，神奇地把该兽描绘成名数为666的人使得一代又一代的占数家绞尽脑汁。在16世纪，数学家们也参与其中。德国修道士米歇尔。施蒂费尔研究过代数和数论。他是首先使用加号＋和减号…的人之一。他偷偷地把对该兽之数的奇特解释写入一本论代数的经典著作中去。施蒂费尔决心指摘教皇利奥十世的品性，他要对宗座之名进行曲解。

　　　　他把十拼成DECIMUS（拉丁语“第十”），然后按罗马人的习惯把U改为V而得DECIMVS。他从LEO　DECIMVS中挑选出为罗马数字的字母——L，D，C，I，M和V，作为额外增添而从LEOX中加进X。这样，施蒂费尔通过以数代替这些罗马数字而计算出该名字的数值：L（50）＋D（500）＋C（100）＋I（1）＋M（1，000）＋V（S）＋X（10）=1，666。啊！多了1，000。施蒂费尔想，数值为1，000的M一定是代表mysterium（神秘）。他从这组字母中除去神秘正好得出了666。他做出这一发现后背弃了出家人的誓言而成为马丁。路德的追随者。

　　　　如果施蒂费尔把注意力集中到该教皇拉丁语尊号之一的罗马数字上，他就会更为令人信服地获得同样的结果，该尊号为Vicar－ius　Filii　Dei，其计算结果为：V（5）＋I（1）＋C（100）＋I（1）＋U（5）＋I（1）＋L（50）＋I（1）＋I（1）＋D（500）＋I（1）=666。尽管如此，施蒂费尔还是努力获得了他想要的东西。罗马天主教徒为这种叛逆的发现所激怒，威胁要杀死他。1522年，他避难到路德自己的家中。路德很高兴有一个新的皈依者，但要他忘记占数那玩意儿。施蒂费尔没有理会这一劝告而开始从《圣经》中搜寻世界末日到来的线索。他深信世界末日是1553年10月18日，并到处传播这一消息，结果被捕。随着这一天的临近，他教区的教民倾其积蓄大肆吃喝。而当他们　10月　19日一早醒来看到世界依旧平静时，他们想杀死这个骗子，由于路德的干预，施蒂费尔才免于一死。对施蒂费尔来说，一生中面临两次死亡威胁已经够受的了，因此他放弃了预言而全身心地投入到数学中去。结果他成了16世纪德国一位杰出的代数学家。

　　　　我要补充的是，施蒂费尔对那头野兽的数字的解释并非没有引起争议。他的同时代人、长达700页《数的奥秘》一书的作者彼得。邦格斯试图悄悄把该数应用于路德本人。选取马丁。路德的名字　Martin　Luther，姓用拉丁语则成MARTINLUTERA。然后，让A至I的字母代表1—9的数字（I和J按当时的习惯可以互换），K到S的字母代表10—90（均乘以10），T到Z代表100至700的数（均乘以100）。邦格斯根据字母和数之间的这种联系看出M（30）＋A（1）＋R（80）＋T（100）＋I（9）＋N（40）＋L（20）＋U（200）＋T（100）＋E（5）＋R（80）＋A（1）=666。想想看嘛！

　　　　除666外，《圣经》为趣味数学提供了许多启示。如果《圣经》中运用的某个数不是像100或1，000这样的大整数，古人就认为该数有神秘的意义。一般来说，如果一个数被发现有某些别致而简单的算术特征——往往与一连串整数的和或积有关，那么这个特别的数则具有了神秘的意义。例如，在约翰福音的第二十一章第十一节中，耶稣和他的门徒在太巴列海成功地进行了一次捕鱼行动。当他们把那网鱼拖上来时发现有153条鱼：“西门。彼得就去把网拉到岸上，那网盛满了大鱼，共153条，鱼虽然很多，网却没有破。”153在数学上有何特殊之处呢？想一想，然后我再透露实情。

　　　　首先，153=1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＋14＋15＋16＋17。换