科普-中华学生百科全书-第386章

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另两个同学丙和丁分别用　5　个　5　和　5　个　7　组成　35。其式子如下：
丙：55…5×5＋5＝35
丁：77…7×7＋7＝35
这　4　个式子有一个特点，都是在　5×7　这个基本式子引申出来的。改变其
中一个数字，使它变成　1　和　11，以及　5　或　7　的关系，那么最后的式子中就可
以保持清一色。
比如：5×（5＋1＋1）＝5×5＋5＋5＝35
5×（11…5＋1）＝55…5×5＋5＝35
7×（7…1…1）＝7×7…7…7＝35
7×（11…7＋1）＝77…7×7＋7＝35

阿凡提新传

财主正在给　9　个亲戚分一筐苹果，阿凡提来了。这时财主正不知道怎么
分好。阿凡提说：“我来帮帮你的忙，保证给他们平均分好，但是有一个条
件，最后分剩下的给我。”财主答应了。阿凡提数了　70　多个苹果，分到最后，
阿凡提剩下的苹果比其他每人分得的还多。你知道阿凡提是怎么分的，他开
始拿出了　70　几个苹果？
解答：把题的意思变成数学语言，就是
7△÷9＝○……□
其中○是商数，□是余数，要求余数最大。
由于被除数为　7△，所以○只能是　7　或　8，如果是　8，那么　7△必定在　72
到　79　之间，以　79　为例，有最大余数为　7。即
79÷9＝8……7
但如果○为　7，它的最大余数应该是比除数少　1　的数，即　9…1＝8，因此被
除数应是：
7×9＋8＝71
所以答案应是：
71÷9＝7……8
因此，阿凡提最初拿出　71　个苹果，平分给　9　人，每人是　7　个苹果，而剩
下的留给阿凡提，阿凡提反而得到　8　个苹果。

跷跷板与不等式

游乐场里的跷跷板，大个儿总是沉沉地压向一端，而小个儿总是被抬到
高处，这与数学里的不等式是多么相像！
楞儿游泳班的　8　个孩子，这时也在游乐场里玩跷跷板。他们之中，有　5
个女孩子，3　个男孩子。女孩子的体重都是　25　公斤，男孩子的体重都是　30
公斤。
他们要在跷跷板上比个高低，女孩子占左边，男孩子占右边。只见女孩
子坐上去一个，那边男孩子上去一个又给压了下来。连续　3　个女孩子坐在左
边板上，3　个男孩子那边又沉沉地压下来。这时第　4　个女孩子再坐上去，左
边胜利了，还剩一个女孩子没有机会再上去了。
正在这时，从别处跑来一个男孩子，他向着那　3　个男孩子，说：“我来
帮你们。”于是，第　5　个女孩子又上了左边，新来的男孩子上了右边，果然，
男孩子这边反败为胜。
女孩子们不高兴了，说：“你太偏向了。”于是，他们之间达成了一个
协议：女孩子们下去　3　个，然后，这个男孩子坐在左边，与女孩子们在一道。
这样一变换阵式，却并没有改变女孩子们的境遇，那　3　个男孩子还是赢了。
试问：这个新来的男孩子的体重大概是多少？
解答：
假设：女孩子用　y　表示（体重为　y　公斤）；
男孩子用　x　表示（体重为　x　公斤）；
新来的男孩子用　w　表示（体重为　w　公斤）。
那么，新男孩子来了以后，两次竞赛的结果可用两个不等式表示：
5y＜w＋3x（1）
w＋2y＜3x（2）
由（1）式，得到：
w＞5y…3x（3）
由（2）式，得到：
w＜3x…2y（4）
由（3）式和（4）式，得到：
5y…3x＜w＜3x…2y
因为，x＝30　公斤，y＝25　公斤
所以：35　公斤＜w＜40　公斤
新来的男孩子，他的体重在　35　公斤到　40　公斤之间。

数学黑洞

在古希腊神话中，科林斯国王西西弗斯被罚将一块巨石推到一座山上，
但是无论他怎么努力，这块巨石总是在到达山顶之前不可避免地滚下来，于
是他只好重新再推，永无休止。著名的西西弗斯串就是根据这个故事而得名
的。
什么是西西弗斯串呢？也就是任取一个数，例如　35962，数出这数中的
偶数个数、奇数个数及所有数字的个数，就可得到　2（2　个偶数）、3（3　个
奇数）、5（总共五位数），用这　3　个数组成下一个数字串　235。对　235　重复
上述程序，就会得到　1、2、3，将数串　123　再重复进行，仍得　123。对这个程
序和数的“宇宙”来说，123　就是一个数字黑洞。
是否每一个数最后都能得到　123　呢？用一个大数试试看。例如：
88883337777444992222，在这个数中偶数、奇数及全部数字个数分别为　11、
9、20，将这　3　个数合起来得到　11920，对　11920　这个数串重复这个程序得到
235，再重复这个程序得到　123，于是便进入“黑洞”了。
这就是数学黑洞“西西弗斯串”。同学们努力学习，去探索、发现其中
的奥秘吧！

哥德巴赫猜想

1742　年　6　月　7　日由德国数学家哥德巴赫给大数学家欧拉的信中，提出把
自然数表示成素数之和的猜想，人们把他们的书信往来归纳为两点：
（1）每个不小于　6　的偶数都是两个奇素数之和。例如，6＝3＋3，8＝5＋3，
100＝3＋97，……。
（2）每个不小于　9　的奇数都是三个奇素数之和，例如，9＝3＋3＋3，
15＝3＋7＋5，……99＝3＋7＋89，……。
这就是著名的哥德巴赫猜想。从　1742　年到现在　200　多年来，这个问题吸
引了无数的数学家为之努力，取得不少成果，虽然至今没有最后证明哥德巴
赫猜想，但在证明过程中所产生的数学方法，推动了数学的发展。
为了解决这个问题，就要检验每个自然数都成立。由于自然数有无限多
个，所以一一验证是办不到的，因此，一位著名数学家说：哥德巴赫猜想的
困难程度，可以和任何没有解决的数学问题相匹敌。也有人把哥德巴赫猜想
比作数学王冠上的明珠。
为了摘取这颗明珠，数学家们采用了各种方法，其一是用筛法转化成殆
素数问题（所谓殆素数就是素因数的个数不超过某一素数的自然数），即证
明每一个充分大的偶数都是素因数个数分别不超过　a　与　b　的两个殆素数之
和，记为（a＋b）。哥德巴赫猜想本质上就是最终要证明（1＋1）成立。数学
家们经过艰苦卓绝的工作，先后已证明了（9＋9），（7＋7），（6＋6），（5＋5），……
（1＋5），（1＋4），（1＋3），到　1966　年我国数学家陈景润证明了（1＋2），
即证明了每一个充分大的偶数都是一个偶数与一个素因数的个数不超过　2　的
殆素数之和。离（1＋1）只有一步之遥了，但这又是十分艰难的一步。1966
年至今已整整　30　年了，然而（1＋1）仍是一个未解决的问题。

莱氏数学游戏

俄国诗人莱蒙托夫也是一个数学爱好者，他在服役时，有一次给周围的
军官做一个数学游戏。
他让一个军官先想好一个数，不要告诉别人，然后在这个数上加　25，心
算好了以后，再加上　125，然后再减去　37。把算好的结果减去原来想的那个
1
数，结果再乘5并除以2，最后，莱蒙托夫对那个军官说：答案是2822　。
那个军官感到非常惊奇。立刻又有另一个军官要求试一遍，结果都说明莱蒙
托夫计算得又快又准确。
你能知道是什么道理吗？
解答：如果设预先想好的数为　x，那么莱蒙托夫的计算式是：
1
（x＋25＋125…37…x　）×5÷2　=　2822
你仔细看一下式子就发现，莱蒙托夫已经偷偷地把原数减去了，所以式
子中不存在未知数，莱蒙托夫只需把早就计算好的答案说出来准没错。
至于，莱蒙托夫第二次、第三次的表演仍能够成功，那还需要下点功夫。
也就是说，出题的人一边在出题，一边在计算，只要跳过那个“减去原来想
的那个数”就行了。

牛肉拉面

吃也有艺术，艺术中也数学。就拿吃牛肉拉面来说，有的人喜欢面条粗
一点，有的人喜欢面条细一点。大师傅有办法，喜欢吃粗面条的对拉　8　次就
行了，喜欢吃细面条的再增加　1　次。试问粗面条共多少根？细面条共多少根？
粗面条和细面条的直径差多少？
解答：对拉　8　次后，面条数目为　27，因为第一次是由　1　变成　2，然后才
是每次乘一个　2。这样　27＝128，粗面条共　128　根。细面条要拉　9　次，面条数
为　28＝256　根。
面条数目增加了一倍，面条的截面积也就小了一倍，可是直径的平方才
与截面成正比例，所以粗面条的直径应该是细面条直径的　2倍。

瞎子看瓜

有一个瞎子把　6　筐西瓜摆成一个三角形，自己坐在中间。一共是　24　个西
瓜，每排是　9　个。他每天摸一次，只要每排　3　个筐里的西瓜一共是　9　个，他
就放心了。没想到，他的邻居二嘎子跟他开了一个玩笑，第一天偷出了　6　个，
第二天又偷出了　3　个，一共少了　9　个西瓜，而瞎子却一点没有发现，这是怎
么回事？

解答：因为二嘎子通过改变每筐里的西瓜数，而使每排西瓜总数仍保持
9　个，这样瞎子以为西瓜没有丢，实际上西瓜已经少了。

爱因斯坦的舌头

大科学家爱因斯坦是“相对论”的缔造者，他在科学研究工作之余，又
练就了高超的小提琴技艺。他的表情有时很滑稽，让人捉摸不透。世人流传
一张照片就是他吐着舌头、凝视前方的形象。
有一个班级进行民意测验：
11　位同学认为表示“惊奇”，7　位同学认为这种意见也可以考虑。
6　位同学认为表示“高兴”，8　位同学认为这种意见也可以考虑。
1　位同学认为表示“幽默”，6　位同学认为这种意见也可以考虑。
1　位同学认为“惊奇”、“高兴”、“幽默”三种神态兼备。
还有　3　位同学认为是表示“无可奈何”。
请问这个班级一共有多少同学？
解答：由题意，认为表示某种神态的同学，他们的意见是肯定和专一的；
而认为可以考虑的意见是模棱两可的，他们也可能同意两种意见或三种意
见；表示“无可奈何”意见的，也是一种肯定意见。为此，可以用集合的办
法画成如图那样的圆圈，相重迭部分就是同意两种意见的，其中间　3　个圆相
重迭部分是表示三种神态兼备意见的人数。如果未知的人数分别以　x、y、z、
p　表示，则：

x＋　　　　p＋　z=　7
y＋
x＋　p＋　y=　8

p＋　z=　6
p　　　=1

求解得：
x＝4，y＝3，z＝2，p＝1
总人数为：
S＝11＋6＋1＋3＋x＋y＋z＋p
＝11＋6＋1＋3＋3＋4＋2＋1
＝31
所以，这个班级共有　31　名同学。

稀世珍宝

在东京珠宝收藏博览会上展出一棵　18K　金的圣诞树，在　3　层塔松形的圣
诞树上共镶嵌有　1034　颗宝石。
这棵圣诞树上的宝石是这样摆放的：如果从顶上往下看，3　层圆周上镶
嵌的宝石数成等差级数递增；而　3　层圆锥面的宝石数却按等比级数递增；且
第一层的圆周上与圆锥面上的宝石数相等；除此之外，塔松顶上有　1　颗宝石
是独立镶上的。请问，圣诞树的宝石具体是怎样镶嵌的？
解答：假设三层圆周上的宝石数分别为　A、B、C，则：
B＝A＋m　　C＝A＋2m
其中　m　为等差系数。
因为第一层圆锥面上的宝石数等于圆周上的宝石数，所以可假设三层圆
锥面上的宝石数为　A、D、E，那么：
D＝nA　　E＝n2A
其中：n　为等比系数。
由于树顶上那颗宝石是独立的，所以：
A＋B＋C＋A＋D＋E＋1＝1034
A＋A＋m＋A＋2m＋A＋nA＋n2A＝1033
解此方程，只有一种可能：
A（　　　　　　n2　＋　n＋4）　=1000
3m
=　33

根据　m、n、A　均为整数，得：
m　　　　　　=11
n　　　　　　=　2
A　　　　　　=100
因此，宝石的镶嵌是这样的：
塔松顶上有　1　颗宝石；
第一层圆周上　100　颗宝石，圆锥面上　100　颗宝石；
第二层圆周上　111　颗宝石，圆锥面上　200　颗宝石；
第三层圆周上　122　颗宝石，圆锥面上　400　颗宝石。

牛郎和织女

牛郎星离地球　16．5　光年，也就是以光的速度运行到地球要　16．5　光年。
织女星离地球　26．5　光年。如果牛郎和织女同时由各自的星球以最快的速度赶
到地球相会，那么牛郎要在地球上等多少年才见到织女？而见一面之后，织
女又匆匆赶回，牛郎至少又要等多少年，才又能与织女相会？
答：牛郎与织女以最快的速度赶路，充其量也就是以光速行进。因此，
牛郎比织女先到地球　10　年，牛郎需要等　10　年才见到织女。
织女匆匆赶回，如果马上又出发的话，来回需　53　年。牛郎要等　53　年才
能与织女第二次相见。如果牛郎也返回自己的星座，那么除了路上的时间不
算在内，牛郎也要坐等　20　年才能与织女第二次相聚。

百羊问题

百羊问题是出自中国古代算书《算法统宗》中的一道题。
这个问题说的是：“牧羊人赶着一群羊去寻找草长得茂盛的地方放牧。
有一个过路人牵着　1　只肥羊从后面跟了上来。他对牧羊人说：“你赶来的这
群羊大概有　100　只吧？”牧羊人答道：“如果这一群羊加上一倍，再加上原
来这群羊的一半，又加上原来这群羊的14　，连你牵着的这只肥羊也算进去，
才刚好凑满　100　只。”谁能知道牧关人放牧的这群羊一共有几只？
根据题意，我们可设这群羊共有　x　只，则

x＋　x＋　x　＋　x＋1=　100
1　　　　1
2　　　　4
解这个方程得　x＝36，也就是牧羊人放牧的这群羊共有　36　只。

百鸡问题

中国古代算书《张丘建算经》中有一道著名的百鸡问题：公鸡每只值　5
文钱，母鸡每只值　3　文钱，而　3　只小鸡值　1　文钱。现在用　100　文钱买　100　只
鸡，问：这　100　只鸡中，公鸡、母鸡和小鸡各有多少只？
这个问题流传很广，解法很多，但从现代数学观点来看，实际上是一个
求不定方程整数解的问题。解法如下：
设公鸡、母鸡、小鸡分别为　x、y、z　只，由题意得：
x＋y＋z＝100①

5x　＋　3y＋　z　=　100②
1
3
有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解。
②×3…①得：7x＋4y＝100，因此

y　=　　100　7x　　　　=　25　x　　7
4　　　　　　　　　　　　　4
由于　y　表示母鸡的只数，它一定是自然数，而　4　与　7　互质，因此　x　必须
是　4　的倍数。我们把它写成：x＝4k（k　是自然数），于是　y＝25…7k，代入原方
程组，可得：z＝75＋3k。把它们写在一起有：
x　　　=　4k
y　　　=　25…7k
z　　　=　75＋3k
一般情况下，当　k　取不同数值时，可得到　x、y、z　的许多组值。但针对
本题的具体问题，由于　x、y、z　都是　100　以内的自然数，故　k　只能取　1、2、
3　三个值，这样方程组只有以下三组解：
x　　　=　4　　　　　　　　y　　　=18　　　　　　　　　z　=　78
x　　　=8　　　　　　　　　y　　　=11　　　　　　　　　z　=　81
x　　　=12　　　　　　　　y　　　=　4　　　　　　　　　z　=　84

兔子问题

13　世纪意大利数学家斐波那契在他的《算盘书》中提出这样一个问题：
有人想知道一年内一对兔子可繁殖成多少对，便筑了一道围墙把一对兔子关
在里面。已知一对兔子每一个月可以生一对小兔子，而一对兔子出生后第二
个月就开始生小兔子。假如一年内没有发生死亡，则一对兔子一年内能繁殖
成多少对？
现在我们寻求兔子繁殖的规律。成熟的一对兔子用记号●表示，未成熟
的用○表示。每一对成熟的兔子经过一个月变成本身的●及新生的未成熟
○。未成熟的一对○经过一个月变成成熟的●，不过没有出生新兔，这样便
可画出下图

可以看出六个月兔子的对数是　1，2，3，5，8，13。很容易发现这个数
列的特点：即从第三项起，每一项都等于前两项之和。