科普-中华学生百科全书-第388章
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全家的年龄之和也闯过了 100 大关。问今年小康一家人的年龄各是多少？
解答：设女儿年龄为 x，妈妈年龄为 y，爸爸年龄为 z。
x＝3a，y＝4b，z＝5c（a、b、c 为大于 0 的正整数）
并且明年又分别被 4、5、6 所整除，故：
3a＋1＝4a＇，4b＋1＝5b＇，5c＋1＝6c＇（a＇、b＇、c＇为大于 0 的正整数）
可以得到一组相应的关系：
3a＋1＝4a ＇ 4b＋1＝5b ＇ 5c＋1＝6c ＇
a＝1 a ＇＝1 b＝1 b ＇＝1 c＝1 c ＇＝1
a＝5 a ＇＝4 b＝6 b ＇＝5 c＝7 c ＇＝6
a＝9 a ＇＝7 b＝11 b ＇＝9 c＝13 c ＇＝11
a＝13 a ＇＝10 b＝16 b ＇＝13 c＝19 c ＇＝16
这时，女儿、妈妈、爸爸的年龄可以由
x＝3a，y＝4b，z＝5c 来决定。有以下组合：
x y z
3 4 5
15 24 35
27 44 65
39 64
51
由于女儿年龄尚小，13 年以后正读高中，故取 x＝3，而 13 年后三人年龄
闯过 100 大关，目前其年龄之和大约在 100…3×13＝61 左右，故应取 y＝24，
z＝35。
最后正确答案是：女儿 3 岁，妈妈 24 岁，爸爸 35 岁。
丢番都的年龄
丢番都是一个数学家，他生活在公元 3 世纪的古希腊。在他的墓碑上有
着一个谜语方程，它的谜底就是数学家的寿命。墓碑是这样写的：
“在这里长眠的是丢番都，他生命的 1／6 是童年，再过了生命的 1／12，
他成为青年，并结了婚，这样度过了一生的 1／7，再过 5 年，他有一个儿子，
但儿子只活了他寿命的一半，以后，他在数学中寻求安慰，度过了 4 年，终
于也结束了他的一生。”
请你算一算，丢番都活了多少岁？
解答：设他活了 x 岁
列方程：
1x 1 1 1
＋ ＋ x ＋ 5＋ ＋ 4 = x
6 12x 7 2
14x＋7x＋12x ＋42x ＋ 9 = x
84
75＋756 =84x
9x = 756
x = 84
丢番都活了 84 岁。
庞贝古城
庞贝是意大利的古城，它位于维苏威火山东南麓。它全盛时期到火山爆
发把它湮没，正好是横跨公元前后相同的年数。原来人们都不知道有这么一
个古城，在挖掘的那年，才发现庞贝已被火山爆发湮没了 1669 年，而挖掘的
工作一直延续了212年，到挖掘结束后，证实庞贝城最繁华的时期已相距2039
年。请问：庞贝城全盛时是哪年？火山爆发把它湮没又是哪年？挖掘工作又
是从哪年到哪年？
解答：设庞贝城全盛时为公元前 x 年，由于它横跨公元前后，火山爆发
把它湮没在公元后 x 年。
设挖掘工作从公元 y 年到 z 年，则
y…x =1669 ①
z＋ x = 2039 ②
z…y = 212 ③
由①＋②，得
y＋z＝3708 ④
由③、④联立，得 z＝1960
由此，y＝1748
x＝79
所以，庞贝城全盛时为公元前 79 年，火山爆发把它湮没在公元后 79 年，
挖掘工作从公元 1748 年一直延续到 1960 年。
转让摩托车
甲花了 8000 元买了一辆摩托车，两年后，他转让给乙，要乙交付 9000
元。乙很不满意：“都用了两年了，还长了 1000 元，真不应该。”甲道出了
苦衷：“其实，我还亏了本了呢！你想，我要交税牌的钱，两年来还要修车，
花了不少钱呢！告诉你吧！我亏的本正好是 1／6 的卖价加上 1／3 的交税和修
车费。”你想想，甲亏卖了多少钱？
解答：设交税和修车一共用 x 元
9000 x
＋ = （8000 ＋ x） 9000
6 3
x
1500＋ = x1000
3
2
3x = 2500
x = 3750
实际上，甲交税和修车花了 3750 元，亏卖的钱数为：
（8000＋3750）…9000＝2750
甲亏卖了 2750 元。
蛋铺的生意
有一家小蛋铺，主要出售鸡蛋、鸭蛋和鹅蛋。鸡蛋 1 元 5 角一打，鸭蛋
1 元 8 角一打，鹅蛋 2 元 6 角一打（注：一打蛋是 12 个）。有一位顾客，身
边只带了 1 元 1 角，他能买几种蛋、几个蛋？
解答：假设可买鸡蛋 x 个，鸭蛋 y 个，鹅蛋 z 个。
有方程：1。50 x＋ 1。80y 2。60z
＋ = 1。10 ①
12 12 12
化简得：15x＋18y＋26z＝132 ②
∵132＝3×44＝4×33
∴②的解有两种形式：
（1）x＝0 y＝z＝3
（2）z＝0 x＝y＝4
由此，1 元 1 角可以买 3 个鸭蛋和 3 个鹅蛋，或者买 4 个鸡蛋和 4 个鸭
蛋。
四通八达
这里要传授给你一个秘决，只要你领会了，今后你遇到这一类问题，你
会感到四通八达、迎刃而解了。
假如你遇到这样一个问题：求 3 个整数 a、b、c，使其满足 a3＋b3＝c4，
这时，你该怎么办？
最好的办法是，等式两边同除以 c3，于是
c a 3 ＋ = c
b 3
c
a b
令A = ，B = ，则
c c
c＝A3＋B3
你可以任意设 A 和 B 两个整数，从而求得 c，进而知 a、b，问题解决了。
举例：设 A＝2，B＝3，得
c＝A3＋B3＝23＋33＝35
∵a＝cA＝70，b＝cB＝105
∴703＋1053＝354
这类问题可以推广到：
（1）a3＋b3＋c3＝R4
a3＋b3＋c3＋d3＝R4，等等。
（2）a2＋b2＝c3 a4＋b4＝c5 a5＋b5＝c6，等等
为了使你熟练这种办法，请你举一个例子能满足 a2＋b2＋c2＝d3。
解答：将等式变为d ＋ a ＋ d = d
a 2 b 2 c 2
a b c
令A = ，B = ，C =
d d d
且 A＝1，B＝2，C＝3
d＝A2＋B2＋C2＝12＋22＋32＝14
由此，a＝14，b＝28，c＝42，
∴142＋282＋422＝143
各自为政
在现代工业中要求产品标准化，因为过去各自为政的局面会带来许多麻
烦。可以举一个实例：有甲、乙、丙、丁、戊 5 个工厂生产的电线规格都不
一样，即每一盘电线的长度都不相／同。现在要从变电站 A 往居民小区 B 拉两
根供电干线。若用甲厂的产品 2 盘不够，还得搭上 1 盘乙厂的；若用乙厂的
3 盘也不够，还得搭上 1 盘丙厂的；若用丙厂的 4 盘也不够，还得搭上 1 盘
丁厂的；若用丁厂的 5 盘还不够，还得搭上 1 盘戊厂的；若用戊厂的 6 盘也
是不够，还得搭上 1 盘甲厂的。你看，不按统一的标准，有多噜嗦。请你只
好耐心一点计算一下各家工厂每盘电线的长度，以及 A、B 两地的距离是多
少？（已知每盘电线都是以整数来盘绕的，A、B 两地干线的总长度也正好是
个整数米，求最小的一组解。）
解答：设甲、乙、丙、丁、戊各厂生产的电线每盘长 x、y、z、u、v 米，
A、B 两地所用干线的总长度为 w 米。
根据题意，列出方程组：
2x＋y＝w ①
3y＋z＝w ②
4z＋u＝w ③
5u＋v＝w ④
6v＋x＝w ⑤
这是一个不定方程组，即 5 个方程，要求 6 个未知数。
由 3×①…②，得：6x…z＝2w ⑥
由 4×⑥＋③，得：24x＋u＝9w ⑦
由 5×⑦…④，得：120x…v＝44w ⑧
由 6×⑧＋⑤，得：721x＝265w
w 可以有许多解，但最小的一组解为：x＝265，w＝721。代入①、②、③、
④，可求得：
y＝191，z＝148，u＝129，v＝76
因此，甲、乙、丙、丁、戊各厂生产的电线规格，每盘电线分别是 265
米、191 米、148 米、129 米、76 米，A、B 两地所用的干线总长度为 721 米，
A、B 两地距离为 360．5 米。
马克思与数学
马克思是精通数学的，他在《数学手稿》中，曾提出解不定方程的例子：
有 30 个人，其中有男人、女人和小孩。他们在一家小饭馆里就餐共花费
了 50 先令；知道每个男人花 3 先令，每个女人花 2 先令，每个小孩只花 1
先令。问男人、女人和小孩各有多少？
你知道马克思是怎么算的吗？
解答：
设男人、女人、孩子分别有 x、y、z 人，列出方程：
x＋y＋z＝30 ①
3x＋2y＋z＝50 ②
由②式减①式，得
2x＋y＝20 ③
③式代入②，得
z…x＝10 ④
∵x≥0，由④式知：
z≥10 ⑤
由③式
y＝20…2x
x≤10
列表：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0
z 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
因此这 10 组解都满足本题的要求。显然是一个典型的不定方程。
趣味几何
意大利著名科学家伽利略曾经说过：“大自然用数学语言讲话，这个语
言的字母是：圆、三角形以及其他各种数学形体。”几何学研究的对象正是
圆、三角形及其他各种数学形体。
一个由 36 个小方格组成的正方形，如图所示，放着 4 个黑子和 4 个白子。
现在要把它分割成形状大小都相同的 4 块，并使每一块里都有一个黑子和一
个白子，应怎样分割？
分析：要将图形分成大小相同的四块，可先将图形一分为四，如图（A）
但这样左上角一块中就出现了两个白子，为此必须将它们割开。但问题
要求 4 块形状大小都要一样，因此只要一块割开，其他 3 块都要做同样的割
开，如图（B）。然后再将原来的分割线去掉一部分。如果去掉近中心的 1／3，
则黑子就会连成一片；如果去掉中间的 1／3，又会有两个白子连在一起。
因此只可去掉靠边上的 1／3，如图（C）。
现在只需要把左边两个白子分开。显然，只要将 4 条短的分割线延长到
边，就能达到目的，如图（D）。到此，图中的 6 条分割线都不能再延长，只
能沿折线分割，成为符合要求的图（E）。
节能灶
便民小吃店准备改进炉灶，知道煤厂生产有两种蜂窝煤。大蜂窝煤的直
径是小蜂窝煤直径的 2 倍，3 个大蜂窝煤垒起的高度与 4 个小蜂窝煤垒起的
高度相等。
假如砌的炉灶采用 3 块大蜂窝煤，那么相当于多少块小蜂窝煤的热值？
如果按同样热值的那么多小蜂窝煤砌成炉灶，哪个灶更节省？
解答：假设大蜂窝煤半径为 R，高度为 b，小蜂窝煤半径为 r，高度为 a，
则：
R＝2r，3b＝4a
大蜂窝煤的体积为πR2·b，小蜂窝煤的体积为πr2·a
∴πR2 b = π（2r）2 a 3
4
= 16 πr2 a
3
即 3πR2·b＝16πr2·a
由此可知，3 个大蜂窝煤的体积等于 16 个小蜂窝煤的体积，3∶16 也是
它们重量的关系。
由于热值与其质量成正比，相同质量的蜂窝煤应该产生相同的热值，所
以要砌放 3 块大蜂窝煤的炉灶，也可以砌成能放 16 块小蜂窝煤的炉灶，如同
图上所示的两种炉膛内的蜂窝煤全部燃烧（令中间小孔不计），其燃烧面积
应该是上端面的面积加上侧面的面积之和，于是，对于 16 块小蜂窝煤，燃烧
表面积之和为：
SA＝4×4×（πr2＋2πra）
＝16πr2＋32πra
3 块大蜂窝煤，其燃烧表面积为：
SB＝3×（πR2＋2πR·b）
＝3πR2＋6πRb
3
∵R = 2r；b = a
4
∴SB = 3π（2r）2 ＋ 6π（2r）43a
= 12πr2 ＋16πra
∴SA＞SB
由此，小蜂窝煤燃烧面积大，烧得快，不节省煤，而大蜂窝煤燃烧面积
适中，烧得慢，省煤。
影子部队
数学大军中有一支劲旅，称做“影子部队”。它就是“三角函数”，因
为它离不开角度，它总是跟随着角度，像它的影子一样。
这天，影子部队随着角度观光了三角形博览会。角度是这里的常客，它
也很自负，它说：“任何△ABC，三个内角和为 180°。”说完没有人理它，
它又说：“△ABC 若是直角三角形，那么 Rt∠C＝∠A＋∠B。”这时影子部队答
了话：“凡是有你的地方，就有我存在。至于△ABC 若满足下列条件：
sinC = sinA ＋ sinB
cosA ＋ cosB
则△ABC 一定是直角三角形。不信，你可以试试。”
证明：先设△ABC 为任意三角形，有 A＋B＋C＝180°
A ＋ B B
2sin cos A
∴右式 = 2 2
2cosA ＋ B cos A B
2 2
sin180° C cosC
= 2 = 2
cos180° C C
sin
2 2
左式 = 2sinC cosC
2 2
∴2sinC cosC = cosC
2
2 2 C
sin
2
∵cosC ≠0
2
C
∴2sin2 = 1
2
C 2
sin =
2 2
∵ = 45°
C 即 C = 90°
2
所以△ABC 为直角三角形。
巷中行
有一个小巷，本来就不宽，充其量只有 5 米，却遇上修理房屋。巷内架
起了两个梯子，一个梯子长 8 米，另一个梯子长 7 米。架起来后，行人走到
那里就皱起了眉头。请你计算一下，这样架着梯子，人在巷中行走，有妨碍
没有？
解答：设巷宽 DB＝5 米，两个梯子 AB＝8 米，CD＝7 米
令 EF＝x，FB＝x
EF DF
∵ BC DB；
=
BC = CD2 DB2 ；
DF = DB y
x 5 y
∵ = ∴
72 52 5
同理：
EF FB
=
AD DB
AD = AB2 DB2
x y
∴ =
82 52 5
由①、②式，求得：
5 y y
72 52 = 82 52
5 5
10 6 2 6y = 39y
10 6
y = = 24。5=2（米 ）
2 6 ＋ 39 12。2
又
x y
=
82 52 5
39
x = y
5
x= 6。25× 2=2。5（米）
5
由此可见，两梯子交叉点离地面约有 2．5 米高，因此并不影响行人通过。
截去多少
有三角形、平行四边形和 1／4 的圆形（或称 90°的扇形），它们高度相
等。现在在高度一半处，与底边平行地截过去，截下一个小的三角形、平行
四边形和半个弓形，问截下部分是整体面积的几分之一？
解答：三角形截下部分是整体的 1／4，因为小三角形的边和高都是原来
的 1／2，其面积是原来的（1／2）2。
平行四边形截下的部分为整体的一半，即 1／2。
半弓形的面计算如下：
扇形ABC的面积 = πR2
1
6
1 R 3 3
三角形DBC的面积 = × × R = R2
2 2 2 8
半弓形 ADC 的面积＝扇形 ABC 的面积…三角形 BDC 的面积：
πR2 3 R2
6 8
扇形ABE的面积 = πR2
1
4
πR2 3
半弓形的面积 R2
= 6 8 2 3
3 2π =0。382
90°扇形的面积 πR2
4
园丁的难题
公园里有一个圆形的花圃，在它外面有一个水泵。为了浇花的需要，又
兼顾花圃外用水的方便�
