投资学(第4版)-第34章
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的资产组合。我们将考察一个包括两个共同基金的资产组合，一个是专门投资于长期
债券的债券资产组合D，一个是专门投资于股权证券的股票基金E，表8 … 1列出了影响
这些基金收益率的参数，这些参数可以从真实的基金中估计得出。
表8…1 两种共同基金的数据
项 目债券股权
期望收益E（r） （％） 81 3
标准差
（％） 1 2 2 0
协方差C o v （rD，rE） 7 2
相关系数
0 。 3
D E
投资于债券基金的份额为wD，剩下部分1…wD，记作wE，投资于股票基金，这一资产组
合的投资收益rp为
rp ＝ wDrD＋wErE
其中rD为债券基金的收益率，rE为股权基金的收益率。
从第6章中的内容可以看出，资产组合的期望收益是资产组合中各种证券的期望
收益的加权平均值
E（rp） =wDE（rD） ＋wEE（rE） （ 8 … 1 ）
＇1＇ Meir Statman；“How Many Stocks Make a Diversified Portfolio； ”Journal of Financial and Quantitative
Analysis 22 （September 1987）。
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174 第二部分资产组合理论
两资产的资产组合的方差是（第6章第5原则）：
p2＝wD
2D2＋wE
2E2＋2wDwEC o v （rD，rE） （ 8 … 2 ）
我们首先观察到，资产组合的方差并不像期望收益一样是多个资产的方差的加权
平均值。为了更清楚地理解公式中的资产组合的变量，我们再回顾一下一个变量关于
自身的协方差即该变量的方差，即：
C o v （rD，rD）＝。P r （情景） ＇rD …E（rD） ＇ ＇rD …E（rD） ＇＝。P r （情景） ＇rD …E（rD） ＇2＝
D2（ 8 … 3 ）
因此，另一种表示资产组合方差的方法是：
p2＝wDwDC o v （rD，rD）＋wEwEC o v （rE，rE）＋2wDwEC o v （rD，rE） （ 8 … 4 ）
总之，资产的方差是协方差的加权求和，权重为协方差项中的两资产的份额。
表8 … 2表示两个共同基金收益的方差矩阵，在每一基金中是资产组合的投资权重。
这个矩阵提供了一个快速计算资产组合方差的方法：斜方差矩阵中的每个因子与行、
列中的权重相乘，把四个结果相加，就可以得出式（ 8 … 4 ）中给出的资产组合方差。
表8…2 协方差矩阵
协方差
资产组合权重wD wE
wD
wE
C o v （rD，rD）
C o v （rE，rD）
C o v （rD，rE）
C o v （rE，rE）
这个方法的正确性是因为协方差矩阵是对称的。即C o v （rD，rE）＝C o v （rE，rD），这
样每一协方差都出现两次。解答以下概念检验问题将向你证明这个方法可以运用在任
何多个资产组成的资产组合中。
概念检验
问题1：
a。 首先确认从协方差矩阵中计算资产组合方差这个简单原则与式（ 8 … 2 ）一致。
b。 一个资产组合中包含三个基金：X，Y，Z，权重为wX，wY 和wZ，显示资产组合
的方差为
wX2X2＋wY
2Y2＋ wZ
2Z2＋2wXwYC o v （rX，rY）＋2wXwZ C o v （rX，rZ）＋2wYwEC o v （rX，rZ）
式（ 8 … 2 ）展示如果斜方差项为负，方差将减小。这对于以下观点十分重要：即尽管
斜方差项是正的，资产组合的标准差仍然低于个别证券标准差的加权平均值，除非两
种证券是完全正相关的。
为了理解这点，回忆一下第6章中的式（ 6 … 5 ），可以根据相关系数计算出协方差
C o v （rD，rE）＝
D E
D
E
所以
（ 8 … 5 ）
P2＝wD
2D2＋wE
2E2＋2wDwE
D
E
D E
当资产收益的标准差给定，在
越高时，资产组合的方差越高。当完全正相关时，
D E= 1，式（ 8 … 5 ）的右边可简化为：
D E
D＋wE E）2
P2＝（wD
或
P ＝wD
D＋wE E
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第8章最优风险资产组合
175
这样，具有完全正相关的资产组合的标准差恰好是资产组合中每一部分证券标准
差的加权平均值。在其他情况下，相关系数小于1，这将使资产组合的标准差小于资
产组合中各部分证券标准差的加权平均值。
在资产组合中，一个套期资产与其他资产负相关，式（ 8 … 5 ）显示这样的资产对于降
低整体风险有特殊的作用。而且，从8 … 1式中可以看出，期望收益不受各证券收益相
关性的影响。因此，在其他条件不变的情况下，我们总是更愿意在资产组合中增加与
现有资产低相关甚至最好是负相关的资产。专栏8 … 1从华尔街日报摘录的一段文字就
是建议你如何选择基金的。
因为资产组合的期望收益是资产组合中各组成证券的期望收益的加权平均值，其
标准差小于各组成资产标准差的加权平均值。非完全相关资产组成的资产组合的风
险…收益机会总是优于资产组合中各个证券单独的风险…收益机会。各资产之间的相关
性越低，所得的有效性就越高。
专栏8 … 1寻找与蓝筹股运动相反的基金
寻找低风险的投资者从财务顾问那里听到以下令人惊讶的建议：
。 共同基金投资于不发达国家，因为许多美国人不能直接在全球各地投资。
。 共同基金投资于欧洲不知名的小公司。
。 共同基金投资于商品。
顾问们准备承认这些投资的风险很大，但是，他们还是趋向于逆股市而
行，这种作法很大程度上降低了以美国蓝筹股为主的资产组合的波动程度。
投资顾问公司戈林鲍姆合伙公司（Greenbaum & Associates in Oradell）
的主席格雷·戈林鲍姆（Gary Greenbaum）在新泽西州的奥兰多说：把各类
投资资产组合起来，让它不发生变化是非常罕见的，这就像是一顿免费的午餐
—你可以得到却不用付出，这是不可能的。他解释说，正确的资产组合方法
是在不降低期望收益的基础上降低风险。
增加资产组合的多样性可能是靠不住的。例如，投资者用美元投资于多
元化的国际股票基金，并不似他们想像的那样冒风险，这是最近《启明星共同
基金》（Morning star Mutual Funds）发表的一篇文章的观点。这些基金投资
于欧洲的蓝筹股，根据国际经济形势作出反应，这一点与美国大公司无异。
寻找一个进行国际化投资，又与美国股票基金不同的基金时，可以考虑
国际小股票基金。启明星国际的编辑特里西娅·罗斯柴尔德（Tr i c i a
Ro t h s c h i l d ）建议，“除了关注那些小的以国内市场为主的公司以及与国际趋
势不太紧密的公司外，这些基金还更多地持有新兴市场的股票。”
许多投资专家利用一种叫相关系数的统计工具来分辨哪些证券与其他的
证券运动方向相反。最大的系数为1，表示两种运动方向一致，最小的系数为…
1，表明两种证券运动方向完全相反。系数为零时，两证券相互独立。
投资于日本、发展中国家、欧洲小国和黄金股票的基金运动方向在过去
几年中与前卫5 0 0指数变动的方向是相反的。
资料来源：The Wall Street Journal； June 17； 1997。
资产组合的标准差能有多低呢？相关系数的最低值为…1，表示完全负相关，此时，
式（ 8 … 5 ）可简化为
2
E）2
＝（wD
D …wE
p
176 第二部分资产组合理论
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资产组合的标准差为
P ＝wD
D …wE
E
｜
｜
当
＝…1时，一个完全套期头寸可以通过选择资产组合解以下方程得出
E ＝0
wD
D …wE
公式的解为：wD = ED＋
wE = DD＋E
= 1 … wD
E
这些权重将使资产组合的标准差趋向零。＇ 1 ＇
表8…3 不同相关系数下的期望收益与标准差
给定相关性下的资产组合的标准差
wD wE E（rp） ＝…1 ＝0 ＝0 。 3 0 ＝1
0 。 0 0 1 。 0 0 1 3 。 0 0 2 0 。 0 0 2 0 。 0 0 2 0 。 0 0 2 0 。 0 0
0 。 1 0 0 。 9 0 1 2 。 5 0 1 6 。 8 0 1 8 。 0 4 1 8 。 4 0 1 9 。 2 0
0 。 2 0 0 。 8 0 1 2 。 0 0 1 3 。 6 0 1 6 。 1 8 1 6 。 8 8 1 8 。 4 0
0 。 3 0 0 。 7 0 11 。 5 0 1 0 。 4 0 1 4 。 4 6 1 5 。 4 7 1 7 。 6 0
0 。 4 0 0 。 6 0 11 。 0 0 7 。 2 0 1 2 。 9 2 1 4 。 2 0 1 6 。 8 0
0 。 5 0 0 。 5 0 1 0 。 5 0 4 。 0 0 11 。 6 6 1 3 。 11 1 6 。 0 0
0 。 6 0 0 。 4 0 1 0 。 0 0 0 。 8 0 1 0 。 7 6 1 2 。 2 6 1 5 。 2 0
0 。 7 0 0 。 3 0 9 。 5 0 2 。 4 0 1 0 。 3 2 11 。 7 0 1 4 。 4 0
0 。 8 0 0 。 2 0 9 。 0 0 5 。 6 0 1 0 。 4 0 11 。 4 5 1 3 。 6 0
0 。 9 0 0 。 1 0 8 。 5 0 8 。 8 0 1 0 。 9 8 11 。 5 6 1 2 。 8 0
1 。 0 0 0 。 0 0 8 。 0 0 1 2 。 0 0 1 2 。 0 0 1 2 。 0 0 1 2 。 0 0
最小方差的资产组合
wD 0。625 0 0。735 3 0。820 0 —
wE 0。375 0 0。264 7 0。180 0 —
E（rp） 9。875 0 9。323 5 8。900 0 —
p 0。000 0 10。289 9 11。447 3 —
让我们把这一分析运用到表8 … 1中的债券与股票中，使用这些数据，根据资产组
合的期望收益、方差与标准方差公式为：
E（rp）＝8wD＋1 3wE
p2＝1 22wD
2＋2 02wE
2＋2×1 2×2 0×0 。 3×wDwE
＝1 4 4wD2＋4 0 0wE
2＋1 4 4wDwE
2
＝
p
p
我们可以测算一下各种资产组合权重对期望收益和方差的影响。假设我们改变债
券的投资比例，这种改变对收益的影响在表8 … 3中列出，并显示在图8 … 3中，当债券的
投资比例从0到1（即股权投资从1到0）时，资产组合的期望收益率从1 3％（股票的期
望收益率）下降到8％（债券的期望收益率）。
如果wD＞1，wE＜0时，会发生什么情况呢？此时的资产组合策略是作一股权基金
空头，并把得到的资金投入到债券基金。这将降低资产组合的期望收益率。例如，当
wD ＝2和wE ＝…1时，资产组合的期望收益率下降为2×8＋（…1 ）×1 3＝3％，此时资产组合
中债券的价值是账面价值的两倍。这个极端的头寸是通过作全部股票的空头来实现的。
＇1＇ 当资产完全正相关时，资产组合的方差是可能为零的，但要求卖空。
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第8章最优风险资产组合
177
当wD＜0和wE＞1时，情况相反，投资策略应是作一债券基金的空头，把所得投入
股票基金。
当然，改变投资比例还会影响资产组合的标准差。表8 … 3给出了根据8 … 5式和资产
组合的相关系数分别假定为0 。 3及其他
值计算出的不同权重下的标准差。图8 … 4显示了
标准差与资产组合权重的关系。首先看一下
D E ＝0 。 3时的实线，此图显示，当股权投
资的比例从0增加到1时，资产组合的标准差首先因分散投资而下降，但随后上升，因
为资产组合中股权先是增加，然后全部投资都集中于股权，从集中到分散，再到集中。
只要基金之间的相关系数不是太高，这一类型总是有效率的。对于一对收益的正相关
系数很高的资产，资产组合的标准差将单调上升，从低风险资产变化为高风险资产。
即便在这种情况下，如果正相关值很小，分散化还是会有一个积极的效果。
E＇r（资产组合）＇
股权基金
债券基金
w（股票）
w（债券）＝1…w（股票）
图8…3 资产组合期望收益率是投资比率的函数
哪种资产组合的标准差的最小水平是可接受的？根据表8 … 1规定的参数值，通过
解以下最小值问题可以得出资产组合的权重：＇ 1 ＇
wM i n（D）＝0 。 8 2
wM i n（E）＝1…0 。 8 2＝0 。 1 8
根据表8 … 3中
＝0 。 3列的数据，这个最小化方差的资产组合的标准差为
M i n ＝＇ （ 0 。 8 22×1 22）＋（ 0 。 1 82×2 02）＋（ 2×0 。 8 2×0 。 1 8×7 2 ） ＇1 / 2＝11 。 4 5％
图8 … 4中的实线表示当
＝0 。 3时，标准差是投资比例的函数，这条线经过wD ＝1和
wE ＝1两个非分散化的资产组合。我们发现最小方差资产组合（m i n i m u m … v a r i a n c e
p o r t f o l i o）有一个小于资产组合中各个单独资产的标准差，这显示了分散化的影响。
图8 … 4中其他三条线表明在其他相关系数下，资产组合中各组成资产的方差不变，
资产组合的风险是如何变化的。这些曲线画出了表8 … 3中其他三列中的数值。
＇1＇ 解题中运用了微积分求最小值的技巧。先根据式（ 8 … 2 ）写出资产组合的方差；用（1…wD）来替代wE，求
2
出公式对于wD系数，令其等于0，得w Min（ D） =
D
2 ＋
E …
2
E
Cov（ rD ； rE ）
。另一种方法是使用计算机电子表
… 2Cov（ rD ； rE ）
格求得准确解。
178 第二部分资产组合理论
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资产组合标准差（％）
股票基金权重
图8…4 资产组合标准差是投资比例的函数
黑色实线连接非分散化下的全部是债券或全部是股票的资产组合，即wD ＝1或wE
＝1，表示资产组合中的资产完全正相关，
＝1。在这种情况下，分散化没有好处，
资产组合的标准差只是组合中各资产标准差的简单加权平均值。
绿色的抛物线描绘出非相关资产，即
＝0时的资产组合的风险。相关系数越低，
分散化就越有效，资产组合风险就越低（至少在两种资产的持有量为正时），最小的
标准差是当
＝0时，为1 0 。 2 9％（见表8 … 3）；低于组合中各个资产的标准差。
最后，三角形的折线显示了完全对冲的情况，当两种资产为完全负相关，即
＝
1时，资产组合的最小方差为：
E
wMin（ D；
=…1） =
＋
D
E
20 （ 8 … 6 ）
0。625
12 ＋ 20
wMin（E；
=…1） = 1 … 0。625 = 0。375
资产组合的方差（与标准差）为零。
我们可以把图8 … 3和8 … 4组合在一起，以揭示在有关资产的参数给定的情况下，资
产组合风险（标准差）与期望收益率的关系，结果见图8 … 5。对于任一对投资比率为
wD、wE的资产，我们可以从图8 … 3中得到它们的期望收益，从图8 … 4中得到它们的标准
差。期望收益与标准差在表8 … 3中列出，并在图8 … 5中给出了它们的几何图形。
图8 … 5绿色曲线是相关系数
＝0 。 3时的资产组合机会集合（portfolio opportunity
s e t）。我们把它称为资产组合的机会集合是因为它显示了由两种有关资产构造的所有
资产组合的期望收益与标准差。其他线段显示的是在其他相关系数值下资产组合的机
会集合。黑色实线连接两种基金，表示当两种资产的相关系数为1时，分散化没有什
么益处。绿色抛物线表示，当相关系数小于0 。 3时，可以从分散化中获得更多的利益。
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第8章最优风险资产组合
179
标准差（％）
期望收益率（％）
图8…5 资产组合的期望收益是标准差的函数
最后，当
＝…1时，资产组合的机会集合是线性的，但它提供了一个完全对冲的
机会，此时从分散化中可以获得最大的利益。
总之，尽管期望收益是资产组合各个组成资产收益的简单加权平均值，但是标准
差却并非如此。当相关系数小于1时，分散化的潜在收益将增加。资产组合中的资产
相关性越低，分散化的潜在收益就越大。在极端的完全负相关的情况下，我们可以有
一个完全对冲掉风险的机会�
