思维科学探索-第34章
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规范化的著录和编排方式，学会使用各种信息检索工具，各种
思维工具的有效运用，将会成倍地提高思维效率。
第 328 页
”学
薛 茂芳
（ 山东
乞评指
坊教有学院）
根
为了探索高师（包括教育学院，下同）数学专业初等数
学研究与教法课程的改革，针对初等数学研究传统中的“纵
向”、“中轴”发展偏重，笔者曾经冒昧建议： 现代科
学技术高度分化又高度综合，相互渗透产生新学科的成功经
验，对整个初等数学教学积极开展“横向”研究，或“边
缘”研究，从而逐步创设和应的“断面”学科或“交
想的“ 门叫
科，在课程结构方面先行改革，很可能会取得成功。在这些设
向断面”学科或“边缘交叉”学科当中，
做“数学语言学” 。本文试就数学语言及其研究中几个
基本问题，作些初步讨论，不妥或之处，
正
什么是数学语言
第 329 页
希尔伯特
布劳维尔
） 和
能力的具体实施手段。认识功能通过思维手段所获得的结
果，便是思想，便是知识。
人类区别于其他高级动物的另一本质属性，是用语言表
达思维。“语言表达思维”是人类能够交流思想、传播知识
的前提，是人类社会能够赖以存在的必要条件之一。斯大林
说：“语言是同思维直接联系的把人的思维活动的结果、
认识活动的成果用词和由词组成的句子记载下来，巩固起
来，这样就人类社会中的思想交流成为可能了。不难
设想，思想或知识，人类这些“看不见，摸不着”的精神产
品，如果没有语言的相辅相成，如果不用语言表达出来，传
播出去，那么，思想或知识不仅不能形成，即使形成了，也
只能是永远不能开发的精神能源。
性”、“高度的抽象性”和“表达的形式
数学思维，是一种特殊的思维。它的“特殊性”突出地
表现在“严格的逻辑
罗素
化”等三个方面，以至导致产生了数学史上关于数学的所谓
“三大学派”， 怀特海
）的逻辑主义学派、
的直觉主义学派和
）的形式主义学派。三个学派固然都有自己的片面性，
但在探索、认识、总结数学思维的特殊性方面，却都立下了
不朽的功勋。
专门语
按照前述语言与思维的一般关系可以推断：必有表达
数学思维的言，必有充分体现数学思维特点的特殊语
言，这种专门特珠语言，我们把它叫做数学语言。数学
语言学，则是关于数学思维的语言表达特点和其他规律的学
问，是数学、思维学和语言学等有关学科的边缘交叉学科
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数学语言研究的目的
学对数学教学的横向断面学科。
本文所谓的“数学语言学，实际上还不是全部的数学语言
学，而只是数学语言学的一个特殊部分，即“数学教学语言
学”。从这个意义出发，数学言学又可以看作是普通语言
正如学校教育各学科所肩负的使命一样，数学教学是以
具体传授数学科学知识，进而培养相应能力为目的的一项社
会实践，是整个学校教育系统的一个分系统，子系统。数学
教师，作为数学教学系统的主导和灵魂，既要不断地从数学
科学知识宝库那儿“输入”知识，又要有效地向自己的教学
对象“输出”知识，而在从“输入”到“输出”的过程中
“运载”这些知识的信息，就是语言，就是数学语言。所
以，数学教师应当学习和研究数学语言学，能够熟练地掌握
和运用数学语，具备良好的阅读能力和表达能力。
最准确、最深刻、最完整、
数学教师一旦掌握了数学语言，在阅读教材和参考有关
教学的各种数学著作时，就能
最迅速地懂得别人说了些什么，因而能大大地提高工作效
率。数学教学实践中存在的所谓“吃不透”教材的现象，对
识
一个具有相当专业基础的教师来说，一般不是因为“数学知
不足，而往往是因为在数学思维及其语言表达方面“不
析。
在行”。现行教材关于数的绝对值的定义，许多教师觉得
“不好讲”，并有囫囵吞枣之不痛快感，主要原因就在于，作
为思维科学基本学科之一的形式逻辑，未能具体提供科学地
剖析此类定义方式的思维根据，致使教师对该定义在语言表
达上的特殊性，感到疑惑不解，无从着手
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数学语言的特点
数学教师一旦掌握了数学语言，那么，不管是在口头
上，或是在书面上，还是在口头与书面之外的其他方面，就
能够巧妙地运用各种语言信息，科学地控制学生的思维，获
得称心如意的教学效果。数学教学实践中存在的所谓“话说
不在点子上”，反应迟钝，教态呆滞，板书混乱，不会使用
图表、教具、彩色粉笔以及“会说（讲话）不会写（文
章）”等现象，仍然主要是个“语言表达”问题，而且一向
被轻视。欲克服此类缺陷，切勿以“茶壶煮水饺”故步自
封，而应努力学习研究数学语言学。
总之，数学语言是攻读数学著作、向前人学习数学知识
的有力工具，也是向别人传授数学知识的基本依托。学习数
水平
学语言学，有助于培养自学阅读能力，有助于提高语言表达
不仅使知识传授更为奏效，而且在潜移默化之中使学
生逐步树立辩证唯物主义的世界观。这就是为什么说，一个
好的数学教师，必定同时又是半个数学语言家或数学思想家
的道理。
数学语言的基本特点，在笔者看来，至少存在以几下
点。
一日简练。
文学作品的形象描绘，以不惜文字的精工编织为代价，
换来了文学语言的艺术美；数学科学对客观世界本质的抽象
反映，则以简要、精炼著称。正如“红妆”是美，“素裹”
也是美一样。
在数学中，一条应用广泛的规律用一句话就能概括；标志
～
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微分方程组（又称麦克斯韦方程组）即可表示出
着自然科学史上第二次大综合的整个电磁学理论，由一组偏
爱因斯垣的
一个数学公式予告了原子能的存在
言的“纸上谈兵”能够解决实践中不可思议的复杂课题
海王星的发现，数学语
而
优美的乐曲用七个阿拉伯数字外加一些附加符号即可谱写，
更进一步使我们领略到数学语言的简炼特色。
数学语言之简炼，一方面体现于量上之“少”，一方面
则见著于质上之“精”。这是由数学科学的研究对象、研究
方法、科学属性和抽象严密的思维特点所决定的。文学反映
社会，反映活生生的人，总是在“表现”上做文章，以“表
现”刻画本质。文学描写最忌讳直来直去，不加修饰。对
一部优秀作品的文字要求，总是写得愈婉转愈好，既不在
文字多寡上制定规范，更一贯反对概念化、脸谱化、公式
化。数学则相反，它以“数”“形”或“结构”④等理想模
型为对象，从一开始便透过“现象”而潜入内部，直取要
害，明揭规律，在“本质”上大显身手。“本质”同“现象”
，可以借来作为对数学语言之简炼特
相比，从量上讲是“少”的，从质上说又是“精”的，反映
在表达“外壳”上，便是数学语言的简要和精炼。数学语言
不允许存在与反映本质规律无关的文字，不允许动感情，随
意褒贬夸张。“增之一分则太长，减之一分则太短，著粉则
太白，施朱则太赤”
点的文学形容。
二曰严密。
数学语言的严谨致密结构，同日常语言的宽容松散结
构，是一个鲜明的对比。
日常语言是在人类漫长的进化史上自然产生、自然发展
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～
第 334 页
。数学语
念。但在数学中关于数值的“近似”却总是伴随一个“精
度”概念，以明确其“近似”程度
于边数相同的几个多边形的“相似
包含有两个本质属性： “ 对应角相等” 和“ 对应边成比
例” 。
科学对客观世界本质规律的揭示与描述越精确，才越逼
真，越逼真也便越成熟。数学科学对客观世界本质规律的揭
示描述，采取的基本方法是定量化。定量化方法以高精度精
确著称，它不仅使数学科学迅速扩散渗透到各个科学领域。
成为一门相当成熟的科学，而且使人们把能否成功地运用数
学认定为衡量“任何一门”科学成熟与否的标准
言的精确特点正是数学学科揭示描述方法定量化和思维方法
逻辑化的直接反映。数学语言不允许存在外延模糊或内涵不
定的概念，不允许制作似是而非的命题，也不允许以“差不
一，有二说二，
多”、“想当然”为依据的推理论证。数学语言要求有一说
得越精确越好。数学研究、教学及应用中
的所谓“计较” ，甚至不讲情面，并非教学工作者天性吝
啬、冷酷，而是他们忠实于数学科学的必然表现。
四曰理想化。
理想化是数学语言最集中、最突出、最体现个性的特
点。
纯数学概念（包括它的原始概念）、数学命题以及数学
推理，都不是具体存在，而是从大量具体存在中抽象概括而
成的理想存在，又称数学模型。直接地说，数学科学就是以
数学模型”为研究对象的。布劳维尔和他的直觉主义裂
数学同实践的联系，强调数学与经验世界无关，无疑是唯心
～
同样，平面几何学中关
概念，则被严格地规定
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。笔者
着一个正数的一切
对应的函数值
（
＞ （ ） ，
＝
。
，
则常数就叫做数时的极限”
设想，如果再把符号逻辑（即数理逻辑，下同）中有关的符
号适当加以引用，那么，这个定义便可进一步理想化地
为：
（ ）：
〔（
＞
＜
自然，这还不是纯数理逻辑的符号语言，但做为课堂语言
过渡性应用，却是一个相当简明的结果。可见，自觉认识和
驾驭数学语言的理想化特点，对于培养思维能力，加速思维
进程，对于科学地掌握知识，确有益处。
所
， 总存在
的， 他认定数学模型为思维对象，把数学思维理解为关于
数学模型的一种构造性的程序，却是有一定道理的。数学语
言的理想化特点，正是数学思维或这种构造性程序模型化
的直接反映。由于这一特点的存在，才使得数学语言的符号
化、公式化和形式化成为事实。
数学思维是一种为日常思维所望尘莫及的“高速”科学
思维，如果不是用理想化的数学符号、数学公式和数学形式
来表达，而是仍然借用日常语言来描述，那么，长驱直入的
数学思维必将为冗长费解的语言所窒息。下面，我们举一个
正面的例，其反面情形可想而知。关于函数的极限定义，
部分数学符号的参助下，它被记述为：
“如果对于每一个预先给定的任意小的正数
，使得对于适合不等式
）都满足不等式
）
当
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数学语言研究的内容
等等。数学概
根据普通语言学的一般原理和数学科学及其思维的特
点，作为一门应用语言学分科的数学语言学，除去研究数学
语言的定义和数学语言的基本特点外，至少还应研究以下几
个方面的内容。
从这些学科理论中必须且只须引进哪
数学语言基础理论研究。主要探讨：数学语言研究
同哪些学科理论有关
些知识
等等。
引进的知识应当建立什么样的体系，才能为数学语
言研究奠定良好的理论基础
概念
数学概词
数学语言基本形态研究。主要探讨：表示数学
的数学语言基本单位表示数学判断的数学
数学命题；表示数学推理的数学命题组合
具有其他专门用途的数学语言
词组合
数学论证
词、数学命题和数学论证相当于普通语言学中的语词、语句
和语文，它们的意义、类别、结构、规则及其相互关系等，
是数学语言研究的基本内容。
、数学语言高级形态研究，即数学语言理想化研究。
与数学书面语言的理想化相对
本项研究应从数学语言同日常语言、古典语言、其他科学语
言以及外国语言的关系入手，主要探讨：数学书面语言的符
号化、公式化和形式化问题
应，数学口头语言的理想问题（例如一个复合数学符号的读
法），对于数学教学实践尤为迫切，也要并列开展研究。
数学语言高级形态的产生和前期发展，可以看作是符号
逻辑研究的序篇。对该部分内容的研究，应以符号逻辑的有
关理论为指导，对数学的传统符号体系和理想化既成事实进
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性
行分析批判，肯定和发扬有用的部分，废除不科学的因素，
补充不完备的地方，使数学的传统符号体系和理想化成果与
符号逻辑的符号体系和理想化成果衔接起来，统一起来，从
而为学习符号逻辑和计算机语言奠定基础。
、广义数学语言研究。美国心理学家艾帕尔梅拉别
果的音调（效果）
恩做了许多实验后得出一个公式：（课堂上的）信息的总效
的文字（效果） 的面
言语”，或称“举止神
部表情（效果）。有人把“文字”看作是“言语”，而把
面部表情”甚至“音调”都视为
态语言”，进而根据上述公式，强调“研究举止神态语言，
从非言语交流方面改进教学”，对提高课堂教学质量的重要
。笔者认为，数学课堂上的信息总量，在文字、音调和
面部表情之外，还有更多的分量。例如：演示教具，直观
模型，教师的手势，色彩的运用以及多种信息交融反馈而焕
发出来的课堂气氛等，都直接关系到课堂教学的总效果。数
学教学中所有这些所谓“非言语”信息及其派生物，我们统
称为“广义数学语言”。所谓广义数学语言研究，一方面要
探讨：数学图表、数学演示教具、数学直观模型、数学理想
实验以及课堂气氛、色彩的运用等“客观”信息
面，也要探讨教师的动作、表情、声音等“主观”信息
及“主观”、“客观”两种信息的相互关系等。
、数学教师的语言修养研究。诸如：阅读、剖析数学
专著和数学教材的能力，查询、摘录、编辑和引用资料的能
力，编著数学专论和数学教案的能力，口头演说表达能力，
课堂板书能力，信息反馈能力，动态、表情等广义语言信息
的“输出”能力，对学生操作、实习、课外活动与自学的组
另一方
以
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数学语言研究的意义
织、控制能力，等等，均需进行专门细致地探讨。
总之，数学语言研究的内容，应当始终围绕这样一个目
的：为传授数学科学知识和培养相应能力取得最优效果而提
供一切有效并且可能的语言信息知识。
信息“聚焦”形成高能量，知识“爆炸”产生新成果。
这是当代科学发展的突出特征。把有关数学语言的各种知
集中起来，作为一门独立的语言分科，进行深入细致地研
究，并付诸应用，具有不可忽视的理论意义和实践意义。
首先，开展数学语言研究，不仅可以填补应用语言科学
方面的一项空白，而且能够使数学科学和思维科学在其各自
的边缘上获得延展，可望对数学、思维学、语言学以及其他
有关学科的丰富发展作出贡献。
其次，在高等师范院校数学专业开设数学语言专题或课
程，是课程结构上的一次改革，它将为高师数学专业初等数
学教学研究提供一块新的阵地，也是体现高师数学专业“师
范特点”的一次有益尝试，有助于从根本上扭转鄙薄初等数
学教学研究和高师数学专业与综合大学专业日趋混淆的不良
倾向。
第三，开展数
