1965-零的历史-第8章
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。如果没有这些单词，就让我们永远也不要去推测古人的事情，以免发现我们自己有教古人该怎么说话的嫌疑，就像一些匿名的学者在公元11世纪对波伊提乌（Boethius，罗马哲学家，被误判叛国罪处死。在狱中写成以柏拉图思想为理论依据的名著《哲学的慰藉》（Consolation of Philosophy）——译者注）做的一样。为什么不谈到公元五世纪罗马人关于几何学的一本大百科全书似的专著呢，作者自己一定做了很深的思考，包括数字0到9通过阿拉伯人很快传到了印度；如果我们同意这样一个陈述，事实上计算板是毕达哥拉斯的工作台，用毕达哥拉斯来修饰——以至于后来的读者将会把深奥的传统和神秘的流言与那个在狱中写下了《哲学的慰籍》的权威人士联系在一块，然后就可以推论出来，毕达哥拉斯是从东方漫游后回希腊的时候带回了计算板。到此为止，我们希望发生的事情已经证明为真实发生了的事情的一部分。
我们弄清楚了上面的灰尘却使另外的灰尘显露出来。西班牙摩尔（Moorish）文化中（公元950年），有一种数字，阿拉伯人称他们为“灰尘数字（带点的数字）”。这些数字是什么呢？他们起源于那里呢？为什么会有这么奇特的名字？他们是1到9的数字，没有0，人们认为他们的名字来自印度的满是灰尘的计算板，被一些商人而不是学者在旅行返回时带到了他们那里。和我们的故事有关的（好像半路里突然出现了一个神秘的不可信的新鲜事物）是这些灰尘数字使他们自己有某种奇特的灰尘点在他们周围，一串圆点表示他的位置值。如果数字上面没有圆点就表示这个数字代表个位；数字上面1个点代表10位，2个点代表百位，等等以此类推；因此（用我们现在的数字系统表达这种方法，而不用他们的数字系统来表达。） 就表示8030，而 就表示8 003。
这些实心的圆点几乎扮演了零作为位置符号的功能：这个实心圆点是中空圆圈的压缩吗？或者，这个实心圆点是零的一个完整起源的踪迹，这个完整起源的“家族财富”就是我们一直寻找的零的真正起源吗？这个实心圆点就是那个“懒汉叔叔”，突然出来宣称自己对“财富”拥有所有权？因为，如果我们在大脑中想像这些圆点，我们将会发现这些圆点无处不在：扮演零的角色，以某种方式作为无效的、丢失的、缺少的、模糊的和不可见的标记。
研究历史的一个似是而非的方法就是我们通过看现在或者将来的东西来了解过去的东西：看到现在分散的结果来推测发生这样结果的原因，看到子孙后代中相似的地方我们就应该知道祖先应该有的特点。因此，让我们跟随这些从一些作品中发现的实心圆点，跨越巨大的时空，关注数学方面的问题，来看看这些实心圆点是否可以带领我们进入这个问题的重要部分。
当发音（音标）从希腊语、拉丁语、梵语和其它语言中分离出来的时候，至少在公元前1世纪的时候，他们已经变成了可区别的符号了：鼻音、Gs和Hs失去了他们的共同特性，不再发音，它们大部分以圆点、某种形式的笔划或者曲线的形式出现在其它的字母上——某个语言学家说，字母零表示什么也没有，因此能够很好的作为一个标记来修饰字母使发音更强。零的这种听力上的角色转换成了数字中的数值零了吗？在希伯来语中，当元音字母出现的时候，它们往往就是扮演这种角色，像实心圆点一样被标记在其它字母的上边或者下边，其作用可以帮助初学者或者防止模棱两可的情况出现（或者，当这些元音字母缺省，不再被标在字母的上边或者下边，也是一种解释形式，这时的发音明显不同，表达了不同的意思。）在这种“点彩派画家”氛围下，前辈们带“灰尘”的数字出现了。
在这些修饰性符号中，实心圆点是用的比较少的和神秘的，在圣经旧约的前五卷和希伯莱圣经三个部的第二部中总共只使用了15次，大部分是在单词或者字母的上面，偶尔出现在下面。进一步的证据是进入公元2世纪后，但是，它们表示的东西充满了学术上的争论。这些修饰性符号破坏单词的意义了吗？评论家拉什（Rashi）说了这样一个例子，这些圆点可能倾向于表示那些没有写完全的单词。要么给它赋值为零，要么就把它从计算板上拿走。另外一类点可能表示的是生和死不同，这是因为它是一个写在安息日（Sabbath 安息日犹太教徒和一些基督教派认为星期六为休息和拜神的日子即安息日。）大写字母上的点。但是，如果我们使用一个单一的字母来缩略一个单词，事情会怎么样？观点有分歧，这样做会不会导致犯错误呢？如果这样做，那我们如何知道一个单一的字母表示缩略单词的意思呢？拉什做了这样的评论，一个圆点可能用来区分一个普通的字母和单词的缩略字母，这是一个简单可行的方法，而不用花费太多。
但我们再来看印度那时期的文章的时候，我们发现一个小点是代表一个誓言——完成一项艰巨任务的誓言，但是，有时在题词或着手稿中也代表一个空缺（想一下，如果我们留给读者三个小点（英语中的省略号）来代表我们完整的明显的思想，差不多是表达这样一个意思：用单词来表达这个思想实在太难了，但是你知道我想要表达的是什么。）在梵文中，当零（这里应该叫做kha）代表鼻音n时，它常常传递着神秘的信息，表示可以和湿婆（Siva，印度三大神中司破坏之神——译者注。）取得联系。
给了表示零的点在语音上、句法上和语义上的意义，我们是否可以从阿拉伯的灰尘数字中找到一些线索，这些线索有关于印度数学上的零（实心圆点）？更详尽的这方面的知识在《列表的书》（The Book of Lists， ）中可以看到，这本书是公元987年艾本•；阿比亚•；丘布拉•；南蒂姆•；（ ）编纂的。他独自一人描述说，印度人也使用相同的方法来表示数字，只是他们把点画在下面（一个点表示10，等等依此类推），这些把点画在下面的数字是早于和不同于阿拉伯的数字的。如果这些点（写在上面或者下面的）早于中空的圆圈，他们可能无法解释，为什么它的书写大小总是其它数字的一半？或者它的这个细微的区别是否也证明零的符号（像一个点）同字母和数字都不是一个级别的？它仅仅担当起了一个修饰者和分隔者的角色，就像我们现在所用的冒号、逗号和分号的作用。如果你想获得印度人在圆点和中空的圆圈之间的更多的信息，你可以去看卜哈斯卡瑞（ ）的关于圆圈的使用，在1150年，它把一个小圆圈放在一个数字的上面表示这个数字将要被减去：在比他早5个世纪的卜日马古普塔的书中，这个小圆圈是一个小圆点。当然对卜哈斯卡瑞，他既使用小圆圈又使用小圆点，这两个符号舒服的在一起使用：正如他的一个评论家所写的那样，“……位置，当9个数字中的任何一个数字都不表示位置的时候，位置就用一个空白来代替，为了避免错误，这个空白就用一个小圆点或者小圆圈来标明。”
然而，重要的问题是：把圆点作为零的历史有多久？在你试图回答这个问题以前，这个问题看起来似乎很简单，但事实并非如此。在阿拉伯文中提及的印度的这方面问题总是被这样一个事实影响着，那就是在阿拉伯文化中零一直被写做一个圆点，因为，对于阿拉伯人，他们把中空的圆圈用来表示5（在他们的数字列表中没有符号“0”）。在1881年印度西北边境线上的巴卡沙里（ ），一个农名挖出了很多白桦树皮，在这些树皮上面写满了算术符号，不过很遗憾被烧毁了很多。在这些树皮上用圆点表示零的地方很多——这里我们也称作空白——但是，它们属于哪个年代呢？人们曾经认为它的年代应该是公元三世纪，甚至有可能是公元二世纪，但是这些推论是基于刻上去的算术符号比白桦树皮分解的快得多，当前比较流行的观点是在这些白桦树皮中的符号零是出现在公元七世纪。
出现在大约公元620年一本著名的书中（ ），你可能会找到更好的证据和吸引人的想象。在这本书中，作者这么说到，天空中圆点似的星星就像是一个个的零，因为这些闪亮的星星代表着一个无效的生命轮回（流星代表着成功的生命轮回），上帝在蔚蓝的天空中用月亮的光线作标记来数这些星星的总数。把时间回退一个世纪，你是否还记得瓦哈米黑瑞和他表示零的同义词？在他的同义词中，其实还有一个词叫做“点”（bindu，虽然它仅仅是用名字，没有符号）——这看起来好像是我们所能确定为正确事实的最早时间了。在这以前几乎没有历史性的事件出现，在我们看来是混乱的神秘状态。
几乎没有？但并不完全。公元270年，一个名叫斯非吉瓦加（Sphujidhvaja）的人写了一篇文章《希腊人的占星术》（ ，The Horoscopy of the Greeks）；这本书是翻译公元150年的一个梵文散文。在这之后希腊人的原创几乎当然是从亚历山大大帝才有。在1978年复原的这本书的一段中，我们发现60被提到了两次：第一次是 ，第二次是 ，这两个单词表示的意思也就是“6和0”，即60。你可以看到，表示零的单词，第一次使用的是“bindu”（点），第二次使用的是“kha”。公元150年是希腊天文学家托勒密《天文学大成》（Almagest；公元二世纪时托勒密作的天文学数学名著）的出现时间。在这个时间（梭仑（Solon）和波利比奥斯（Polybius古希腊历史学家）也曾这么说过），出现在粘土上的记载文字——一个小球或者珠子——在不同的位置代表不同的值。有更好的证据来证明表示中空圆圈的“kha”和表示实心圆点的“bindu”是从希腊传到印度的吗？
第二部分 灰尘第12节 表示未知数（1）
现在看起来，所有的东西都很清楚，似乎想当然的是这个样子……其实，当你想想，我们是在用一些细线似的证据来架起一座证明一个很大的问题的桥梁，这就好像使用一个钢丝绳来拉住尼亚加拉河（在加拿大和美国间）瀑布不让他往下流，然后把这个钢丝绳再用一根细线连接到一个飞过它的风筝尾部上，所以，我们的证明是那么的脆弱。我们能否架起一条牢固巨大的快车道呢？斯非吉瓦加的那篇文章一经复原，那个句子中表示零的单词就成了问题的核心。一个学者这样认为，表示圆圈的“kha”和表示圆点的“bindu”的出现是相互作用的结果，一个的出现相应的就会引出另一个的出现。
达芬奇（da Vinci）在老年的时候，一遍又一遍的在帆布上潦草的书写：“告诉我是不是任何东西都是完美的？”，我们也要像他那样在我们的帆布上乱写吗？我们应该把问题减小到同几个点一样简单吗？不：再一次被否定。“bindu”毕竟意味着一种突破，也意味着“发展过程中的一次突变，就像滴入水中的一滴油滴，慢慢的扩大它的地盘。”这样我们对这件事的理解就有了这样的发展：这些能告诉我们一些问题的东西——不管是否是印度人首先提出了用圆圈或者圆点来表示零——更重要的问题是，当他们拥有零的时候，面对零他们是如何思考的。非常明显，对于他们，这个圆点不仅仅用来表示零，还用来表示未知的东西，我们现在用x来表示未知的东西。因此在巴卡沙里的手稿中，一个问题我们可以这样理解：“当27/8和32相乘时结果是多少，”或者表示为：
（因此，x=108），他们在书写的时候就是这样的方式了：
（在点下面的1表示一个未知的数）。
这可能并没有使你感觉到这个表示未知的符号有什么用，因为这个问题太简单了：这个问题也就是 是多少呢？但是在巴卡沙里手稿中的另外一个数学问题就会使你重新进入学生时代那熟悉的困境当中：
B是A的2倍，C是B的3倍，D是C的4倍。这四个数在一起是132。那么A 是多少呢？
这个手稿中解决这个问题的方法是很聪明的：
用1来表示这个未知的数。那么就有A=1，B=2，C=6和D=24。它们在一起的和是33。132被33除，答案是4，这也就是A的实际的值。
（我们现在的解法可以这么来算：用x代表A，那么B是2x，C是6x和D是24x。因此x＋2x＋6x＋24x=132，或者32x=132。因此x= =4。）
我们不能讲清楚使用这个圆点来表示未知的数有多么的早。卜日马古普塔在公元630年称它的变量为“ ”，缩写为“ya”（当他需要使用更多的变量时，就像我们用x，y和z来表示多个变量一样，他使用颜色来表示多个变量：黑（black），蓝（blue），黄（yellow），白（white），红（red），缩写为：ca，ni，pi，pa，lo）。但是当一个印度数学家（通过一个传奇故事了解到）认为把“没有东西（noting）”和“某物（something）”都叫做“空的（ ）”毫无问题的时候，一个时代来临了，这个用法也固定了下来。这是怎么回事呢？美国的逻辑学家威拉德•；奥曼•；奎恩（Willard van Orman Quine）这样指出“没有东西”和“某物”都是虚指的存在，从语法上看是一个名词而从逻辑上看不是名词。他这样写道，名词命名事物，举个例子来说，一个东西不可能既是红色又不是红色。但是，如果我们说“某物是红色的”和“某物不是红色的”，这又都是正确的（奎恩讲这样一个故事，当一个钢琴家为自己演奏莫扎特的作品敲错了一个音符而道歉的时候，奎恩认为他仅仅是演奏了一个其它更好的作品）。
什么东西可以在这一秒的时候是“没有东西”而下一秒的时候就是“某物”，又在代替任何事物的时候出现？这听起来好像是在一个晚会上，为了减轻某一个人的忧虑说出来的一个答案具有双关意义的密语，但是，事实上这是令印度人感到迷惑的“空的（ ）”。这个问题的答案是我们一直在用“空白（void）”或者“空的（empty）”来错误的翻译“ ”这个词。在印度教徒的眼中没有绝对的空白或者虚无状态。和我们现在的物质守恒定律具有同样的思想，物质不能消失，仅仅能改变它们存在的状态和性质：物质充满着整个宇宙，相对于“绝对元素”，它既不能增加也不能减少，“绝对元素”和佛教中的“绝对存在”是扮演着同样的角色。
或者这么理解：它好像是藏在外表后面，有一种东西，它没有特性，但是却呈现出和它的环境相似的性质，可以让我们来解释它，就好像是龙涎香（一种脂肪物质；用以制香料，加入香水中以减缓挥发速度——译者注）保留着香水的气味，给我们散发出香水味。“ ”不是十分的空白，作为一个容受性很强的东西，就像是一个中空的子宫，准备好了去膨胀。它的伙伴“kha”来自动词“去挖（to dig）”；因此这个词含有“洞”的含义：一些东西将用来填满它。
在计算板上零是这样的：存在着一列，但是这一列上没有一个计算筹码。这时零作为一个位置占有者的符号，本身不代表任何大小的数值，但是它的存在却给其它的数字赋了数值。这些同样的性质是变量也有的，未知的数
