天才设题,智者解题-第2章
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难度系数：！！
第一章 设题与解答平方和立方（答）
可恶的奥兹博士让我们找出3个整数，x，y，z：
1）x ²；＋y ²；＋z ²；＝N³；
2）x³；＋y³；＋z³；＝M ²；
要解答此题，先要简化这两个方程式，以便减少变量。比如。我们可以用 （－a，0，a）来试着解题。这3个数字满足方程式2，由此可以得到，－a³；＋a³；＝M²；，M＝0。关于整数a的数值，我们很快就会发现一组数字可以满足方程式1，即，－2²；＋0²；＋2²；＝2³；。由此可知，z＝－2，y＝0，z＝2。这道题是否有无穷多个答案？如何利用计算机图表来最清晰地显示出解空间？）
a1k＋a2k＋……＋amk＝b1k＋b2k＋……＋bnk
其中，a1≥a2≥……≥am ；b1≥b2≥……≥bnk ； a1＞1；m≤n 。
这个方程式曾经让我着迷了很长时间。方程式中的k、m、m以及ai、bj两项都是正整数。你有没有想过，a16＋a26＋a36＝b16＋b26＋b36有解吗？有志于在这个领域做出新发现的读者肯定会对“欧拉网络”项目感兴趣，这是一个大型网络研究项目，分门别类地记录了此类方程式的所有已知最小答案。比如，项目组成员努蒂·库萨在2001年发现：
13077＋8577＋6187＋4007＝11847＋11337＋10307＋4237
这几个数字的总和为6；890；807；721；574；272；667；868。要了解更多进展，请参见让－查尔斯·梅里纳克所著的《计算最小的相等同次幂之和》，euler。free。fr/index。htm。为了寻找新的答案，已经进行了数千小时的计算机运算。
下面再让我们来想一想，大多数正整数都可以用3个平方之和来表示。比如，9＋9＋9＝27，16＋1＋1＝18。你能找出一个无法用三个或两个平方之和来表示的正整数吗？比如，哪些数字至少要分解为4个平方之和？早在1770年，法国数学家约瑟夫－路易·拉格朗日就证明，每一个正整数要么是其自身的平方，要么是两个、三个或四个平方之和。这方面的详细资料，可以参见伊文思·彼得森所著的《神奇的平方》，载于《科学新闻》，第159卷第24期（2001年6月16日出版），第382至383页。
澳大利亚维多利亚州的朗·斯塔伯斯日前向我发出挑战，让我找出可以解开下面这个方程的正整数：
An＋B2=C2
答案有两个：76＋84002＝84072，67＋233252＝233312。你能再找出几组答案吗？你的答案是否小于我给出的答案？
第一章 设题与解答U 结构（题）
他的父亲宣称 “ 只有科学家才真正懂得音乐 ” ，但也不仅仅是科学家，噢，不是，事实上，仅仅是理论家，他的语言是数学。 她不明白数学直到他给她解释那是具有相互联系的象征性语言。“而且，那些联系”，他告诉她，“包含着生活的本质意义。” ——泊尔· S。 巴克，《女神驻足》 多萝茜正在使劲地嚼着几块托托 's 的有营养的狗饼干，因为奥兹博士不给她主够的人吃的食物，除非她解决了台阶里的难题（图 13。1 ） “多萝茜，把你的食品放下，”奥兹博士说，“这个有关台阶和悬崖的难度很大的排列被称为 U 结构 ，它是以担轮幼虫 U 的名字命名的， 它能够在一个小时内解决这个问题。如果你正确地按照我给你的指令做，我会给你非常好吃的细牛排，要不就是寿司，随你怎么选择。你必须尽可能地踩在 U 结构的木板上，但不能在同一块木板上踩两次。你可以在高度相邻的两个木板之间上下踩（只要你来回踩的这两个台阶位于同一边线上）或者在同一水平线上的相邻的木板之间踩。我不许你走对角线。” 多萝茜放下饼干，点了点头。“好的，我会在我能走的台阶上走的。不过，我必须说，你是一个残忍的监工。” “等等！还有两个特殊条件。你必须按照这个顺序捡起夹子、头盔和绳子！木板上有油，很滑溜。你要是走错一步，你就死定了。” “噢，你这笨蛋！” “记住，你必须按照我的规则尽可能地走最多的木板！” 难度系数： ！ ！
第一章 设题与解答U 结构（答）
图 F13。1 画出了一条解题路线，只有 5 块木板没有被踩到。你能做得更好吗？ F13。1 u 结构的答案（布赖恩·曼斯菲尔德绘制）
第一章 设题与解答扔骨头（题）
“ 你只有习惯了生活中所有的事情，它们才是平常的，”稻草人回答说。 “多么伟大的哲学啊！”橡皮虫充满敬佩地大声叫道。 “是的，我的脑子今天很好用，”稻草人用他那充满骄傲的声音承认了这一点。 ——《奥兹仙境》 多萝茜、托托和奥兹博士在测试设备外面，他们沿着一条脏脏的道路走着。树木变得越来越多，很快，道路两边的树林就神秘地变黑了。多萝茜看见了清澈的溪流，奥兹博士同意让她停下来喝一口。 突然，一个陌生人走到她跟前以 R 为半径在地上划了一个圆，同时递给她一根瘦瘦的腿骨头。 “我想让你把一个长度为 R 的骨头扔到圆圈里，”这个两面讨好的人说道，“骨头的一端是圆的边缘，但骨头的方向是完全任意的。” “我不干这种恶心的事情！” 多萝茜回答说。 “好吧，”陌生人说，“试图保持平静。你可以用一个棍棒代替。”他把骨头递给托托，托托把骨头拿到一边开始啃起来。 多萝茜扔了一根棍棒，最后，棍棒的一端碰巧触到了圆圈的边缘。这样，棍棒的另一端也碰巧落在了圆圈里面。 “很好，” 奥兹博士说道，“这就是你的测验。大体上，当捆绑的一端在圆上时，另一端在圆里面的可能性是怎样的？如果细棍棒的长度是 2R 或 R/2 时答案又将有什么变化？如果你不能回答正确，陌生人会把你扔进圆圈，让你画地为牢。” 难度系数： ！ ！ ！
第一章 设题与解答扔骨头（答）
假设外星人使用的木棍或骨头的长度为 R 。为了让故事看起来更吓人，我们就权当它用的是骨头吧。圆心为 o ，骨头一端与圆的交点为 P （见图 F14。1 ）。在圆上取一点 Q ，使 PQ ＝ L ，角 OPQ 的角度为 a 。我们想知道骨头的另一端落在圆内的概率是多少。经过计算，概率为 2a/2 π （如果用角的度数来表示的话，则为 2 a /360）。你可能会问，这是怎么算出来的？设想，骨头的一端固定在圆上， 另一端可以旋转 360度或2π×弧度。在所有的旋转结果中，当弧度为 2a 时，骨头的另一端留在圆内。 F14。1 扔骨头难题的答案 接下来，要确定 a的数值。有了三角形 OPQ ，我们就可以利用余弦定律和图 F14。1中的变量来计算角a的角度： R 2 =L 2 ＋R 2 …2RLcos （ a ） 在已知对角及另外两边长度的情况下，通常用余弦定律来计算三角形的一边的长度。在已知三角形三边长度的情况下，也可以利用余弦定律来计算三个角的大小。（你在下文就会看到如何绕开这个公式。） 在第一个问题里，骨头的长度与圆的半径相同，因此， L ＝ R ，角 OPQ 为等边三角形， OP=PQ=R 。利用余弦定律，我们可以计算出 cos （ a ）＝ 1/2 ， a ＝ π /3。由此可见，概率时2π/3除以2π，结果为1/3。如果你扔出一根骨头，让其一端恰好落在外星人画的圆上且另一端落在圆内的机会为33％。多萝茜给这个外星人起了个名字，叫33％。 当然喽，要解开这道题，我们不一定非用余弦定律不可。假如你看出 OPQ 是个等边三角形，你就知道 a ＝ 60 ° ，或者， a ＝π /3×半径。 假如骨头的长度 L ＝ 2R ，经过计算， cos （ a ）＝ 1 ， a ＝ 0 。由此可见，假如骨头是一根长度为 2R 的线段（ 2R 为圆的直径），让骨头的一端刚好落在圆上，且另一端落在圆内的概率为 0 。假如骨头的长度为 R/2 ，那么， cos （ a ）＝ 1/4 ，概率为（ 1/4 ）的反余弦除以 π，等于 0。4196。注意，较短的骨头的另一端落在圆内的概率要大于长度为R的骨头。 余弦定律十分神奇，可以应用于多种实际情况。在涉及到向量的众多物理问题中，都可以运用余弦定律，比如，计算掠射碰撞中代表不同物体的两个矢量之差（见图 F14。2）。 这里还有另一个实例，可以帮助我们理解余弦定律是如何有效地解决问题的。假设，多萝茜要从现在所站的地方到奥兹博士的测试机构去，她必须骑上自行车，先向正东骑行 10公里，再向东北方向（北偏东45 ° ）骑行 5公里（如图F14。3所示）。外星人想研究一下，它们是否应该铺一条黄砖路，从多萝茜所在的地方直接通到奥兹博士的测试机构。这条路建成后，多萝茜可以少走多少路？ F14。2 余弦定律适用于矢量：要解答这个问题，我们可以先画出多萝茜目前的行走路线。由于我们知道 a ， b 两边的值，也知道这两边的夹角的度数，就可以利用余弦定律来计算黄砖路的长度： c 2 ＝ a 2 ＋ b 2 － 2abcos （θ） ＝（ 10 ㎞） 2 ＋（ 5 ㎞） 2 － 2 （ 10 ㎞）（ 5 ㎞） cos （ 135 ） ＝ 100km 2 ＋ 25km 2 － 100 （－ 0。707 ） km 2 ＝ 125km 2 ＋ 70。71km 2 ＝ 195。71km 2 求 195。71 平方公里的平方根，我们就可以得到大致的答案， c ＝ 14 公里。由于原来的道路厂 15 公里，那么多萝茜走新路可以少走 1 公里。 F14。3 余弦定律的应用（图中文字：待建的新路）
第一章 设题与解答腿骨头碎片组成三角形（题）
智者解决难题，天才提供难题。
——阿尔伯特·爱因斯坦
多萝茜，托托和奥兹博士正费力地穿过沼泽地，突然他们看见了骨头人，这个他们早先（第八题）遇到过的灰白色的动物。
“你好，”他用那他那原始的说话器官说道。他小心地把他的尖爪字移到托托的胸前。
“放开他，骨头人！”
骨头人用毛巾搽了搽他用爪子从托托身上抓下的几根毛发，然后把它们放到嘴边，它笑起来，露出一口尖尖的牙齿。
“我又给你出了一道难题。跟我来。”他是惊人地白，惊人地光滑。他的头和肚子使他看起来就象他是用漂白的骨头雕刻出来似的。
他们走到干干的地面上来了，骨头人抓出一个他放在树后的一个腿骨头。“想象这个骨头有N条长腿，”他说，然后他把腿任意的三段。
“多萝茜，这三段放在一起能形成几个什么样的三角形？”
“这对她来说太难了点，” 奥兹博士说道。
多萝茜摸了摸屁股，说：“不，这不难。”
骨头人点点头。“下面是这个难题的第二部分，我给你一段刚刚折断的最长的一段。如果你是一个赌博者，那么在每一个折断的骨头中，最长的一段与最短的一段的最大比值是多少？你是如何知道的？”
难度：！！！
第一章 设题与解答腿骨头碎片组成三角形（答）
两处断裂点必须分别位于中点的两侧，三段碎片才能组成一个三角形。如果你想不通这一点，可以画几张草图试试看。假如两个断裂点都位于中点的同一侧，那么在组成三角形时，两条短边就无法相接。在出现一个断裂点之后，另一个断裂点位于中点另一侧的机会是1/2。此外，我们还得考虑另一个条件。要形成一个三角形，每一段碎片的长度均不得超过骨头长度的一半。如果想不明白这个道理，可以再画几张草图。满足这第二个条件的概率也是1/2。要确定这道题目最终的概率，可以把上面两个概率相乘，结果为1/4。因此，骨头人用骨头碎片摆成三角形的机会是1/4。（有些读者可能会想到三角形不等式定理——三角形任意两边长度之和大于第三边。）
关于第二个问题，奥兹博士也给不出答案，欢迎读者来信告诉我们答案。罗伯特·斯特朗博士指出，最短碎片与最长碎片的长度之比的预期值没有有效答案，原因可以参见第8题的答案。这个比例并非有界函数。但是，可以用数学方法来表示最短者与最长者长度之比的预期值。
第一章 设题与解答复数在哪儿？（题）
我们接近真理不是通过什么原理而是发自内心。
——布莱斯·帕斯卡，《沉思录》 （1670）
奥兹博士正在同托托一起玩耍，喂给它吃一种鱿鱼状的狗饼干。“多萝茜，今天，我要你找到一万个连续的非质数。你找到它们以后，再告诉我你是如何找到的。”
多萝茜抓过托托，后退了几步，说“这个排列太大了。我难道不需要一台电脑来解决这个难题吗？”
“不需要电脑，只要你给我一个如何找到这一万个数字的简单的诀窍就可以了。还要我提醒你一个质数是不能被2或2以上的整数整除的数吗？例如，6是3的2倍，所以它不是质数。6是非质数，或者说是复数。再如，7不能被2或2以上的整数整除，所以7是质数。”
“奥兹博士，你今天可真罗嗦。”
他点点头。“这是从最小的质数开始排列的数字：2，3，5，5，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59等。注意这些前后两个质数之间的差。例如，在这靠前的一些质数之间的差分别是1，2，2，4，2，2，4，2，2，4，6，2，6，4，2，4，6，6，…希腊数学家欧几里得证明了存在一个无穷大的质数。但是，这些质数的出现是按照一种不规则的顺序出现的，并且没有一个公式能够概括他们。因此，巨大的质数的发现要求进行概括并测试上百万的数字。”
奥兹博士把一块狗饼干塞进他唾沫横飞的嘴巴。“用这个关于质数和非质数的例子，你的使命是找到一万个连续的非质数。你将怎么找到它们？”
难度系数：！！！
第一章 设题与解答复数在哪儿？（答）
多萝茜究竟应该怎样回答这个问题呢？靠铅笔和几张纸来找出10；000个连续的非质数，可真够难的！关于质数的分布情况，我们都知道些什么呢？
· 寻找质数的方法之一是利用古老的厄拉多塞筛法。先列出一些正数，然后从4开始，删除其中所有的2的倍数。接下来，从6开始，删除其中所有的3的倍数。重复这一过程，直到将所有复数都删除掉。（将厄拉多塞筛法应用于计算机，是评估和比较计算机优劣的一种传统方法，因为这一过程十分漫长，而且计算量很大。）
· 质数定理指出，小于n的质数的数目大致为n/（㏑n）。卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪初最先提出了这条定理，后来，雅克·阿达玛和查尔斯·德·拉·瓦莱·普桑于1896年分别独立证明了这条定理。两人的论证都依靠复杂的分析，而且在当年，也没有人曾经想到过，可以用比较简单的方式来证明这条定理。1949年，艾特尔·塞尔贝格和保罗·埃尔多斯提出了质数定理的另一条证明，整个数学界为之震动。巧的是，从质数定理可以推导出另一条相关定理：在大于1的任何数字与其两倍数之间，必然存在至少一个质数。根据质数定理，可以知道小于n的质数之间的平均“差”为In（n）。＇以最小的几个质数为例：2，3，5，7，11，13，你会注意到�
