数学新干线-第3章
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和）
解题 13 ＋ 23 ＋ 33 ＋ …等于多少？
n的立方可以用n个连续奇数的和表示，也就是说 算式13 ＋ 23 ＋ 33 ＋ …＋n3是从1开始的（1＋2＋ … ＋n）个连续奇数的和。
因此，算式13 ＋ 23 ＋ 33 ＋43＋53＋63＋73＋83＋93＋103等于（由于1～10的和=55）从1开始的55个连续奇数的和。从1开始到第55个奇数是
2n…1=2×55…1
从1开始到第n个奇数之和是根据右图等于n的平方。
所以
（算式省略）
（图略）
答案 3025
小知识
（算式省略）
所以，一般来说（1 ＋2 ＋ …＋n）2 =13＋23＋ …＋n3
4、钟表的篇章
“钟表篇”的功能
钟表是智力题的代表道具。
看了雅孝司著的＇令人爱不释手的直觉智力测验＇（中经出版）一书，
恐怕计算＇两根表针一天重合几次＇的人们总计也有几亿人吧？
如果是那样的话，我们也不能越过不提吧。这真是了不起的老调
新唱。
利用钟表所出的问题虽然不是很难，但是对刺激数字的感觉、逻辑性的思考能力、灵活
的想象力等却是个绝好的问题。
1、 所有的表都不准 5分
问题
在收音机报12点时，我确认了家里的表正确之后就出去散步了。
途中看见教会的大钟是12点14分。
到了目的地书店，那里的表是12点32分。
用8分钟买完东西，回来的路上教会的大钟是1点02分，到家的时候是1点14分。
由于来回走的速度都一样，所以，教会的大钟和书店的表好像都不准。
那么请问，教会的大钟和书店的表分别差几分钟呢？
（图略）
提示
用往返时间来思考。
解题 所有的表都不准
从家到教会往返用了26分（14分＋12分）。由于走的速度相同，本来应该是来去都应该各
用13分。由于教会的大钟在去时用了14分，所以教会的大钟快1分钟（请确认一下回来时前
后是否符合）
从教会到书店往返用了40分（18＋22）。由于走的速度相同，本来应该是来去都应该各用
20分。由于书店的表在去时用了18分，所以和教会的大钟比书店的表慢了2分。
由于教会的大钟快1分钟，所以我们得出书店的表比正确的时间慢1分。
请确认一下整个路程的前后是否符合。
（14分） （18分）
往 12：00》12：14》12：32
家 教会 书店
（图略）
返 13：14 （12分） （22分）
答案
教会的大钟：快1分钟
书店的表 ：慢1分钟
2、停止的钟表 5分
问题
山上寺院里唯一的一个挂钟停了。
和尚到离寺院500多米远的施主家去问时间，回来后调整挂钟的时间几乎和正确的时间
相同。
那么请问，和尚是怎样来调整挂钟的时间的？
（图略）
提示 停止的钟表
可不是你认为戴着手表那样天真的问题哟。
解题 停止的钟表
出门去邻居家时，给挂钟上满弦使之走动，计算来回路程所用的时间。将其一半的时间加
在从施主家里所问的时间上，这样就调整好了寺院里挂钟的时间。
当然，要特别注意走路的方法，使往返时所用的时间相同。
3、表针在一天里重合几回？ 15分
问题
钟表的长针和短针在一天的时间里重合几回呢？开始的0点不计算。
（图略）
提示
要计算最后的24点。
解题 表针在一天里重合几回？
长针在1分钟内走6度（360度除以60分）、短针在1分钟内走0。5度（360度除以12小时除
以60分）。我们设长针和短针重合一次后到再重合时需要n分，则有下列算式：
6n－360 = 0。5n
解算式为
（算式省略）
也就是说长针和短针重合一次后到再重合时的时间为1小时（算式省略）、可是不能说1
天24小时长针和短针就重合23次。开始的0点不计算、最后的24点计算。所以22回重合。
答案
22回
小知识
这是从室町末期后半到江户末期在民间使用表示时间用的。是报时的钟声次数成了时间
的叫法。日出前的微明叫明六、日落后的天快黑时叫暮六、把从明六到暮六白天的时间
和从暮六到明六夜晚的时间分别分成六等份、把一天的时间分成12刻。明六的下面
是五、四数字越来越小、可是突然又变成了九（正午）、然后又是八、七、暮六、五、四。为
什么不用从一到三的数字？真是不可理解的事。
4、长针和短针成一直线 15分
问题
从3点到4点之间短针和长针相互朝相反的方向走成一条直线时是几点几分？
（图略）
提示
用怎样的算式表示短针和长针成一条直线是问题的关键。
解 长针和短针成一直线
长针在1分钟内走6度（360度除以60分）、短针在1分钟内走0。5度（360度除以12小时除
以60分）。
我们设在3点n分的时候短针和长针成一条直线（180度）长针从6n、短针从3点的位置
（由于单针在1小时转动30度、所以30度×3）转动0。5n。因此、等式
6n…（30×3＋0。5n）=180 成立。
所以：（算式省略）
也就是3点49分5秒（将11分之1用十进法表示，换算成秒数约为5秒）。
答案
3点49分5秒的时候。
小知识
日出、日没的时间根据季节的变换而不同。如果把一天的时间分别分成六等份、分成
一二时刻的话，白天的一刻夏天长、冬天短（把像这样决定时刻的方法叫做不定时法）。
如果签订了夏天和冬天在同一时间内劳动的契约，夏天要比冬天的实际劳动时间多出
很多。虽然感到不合理，但是作为江户时期的人来说，夏天更容易耕作，所以好像还是很合
理的。
5、散步时间 15分
问题
12点过后出去散步去了。
出发时、回来时都看了时间，短针和长针正好交换了位置。请问，出去散步了几分钟？
（图略）
提示
在1小时之间正好有短针和长针交换的时候。短针和长针交换位置，就是说两条针前进
的角度之和是360度。
解题 散步时间
长针在1分钟内走6度（360度除以60分）、短针在1分钟内走0。5度（360度除以12小时除
以60分）。
我们假设n分钟短针和长针交换位置的话，则有
0。5n＋6n=360
所以 （算式省略）
也就是约55分23秒。
（图略）
答案 55分23秒
小知识
《“刻不容缓”的一刻是几秒？》
为了在日常生活中应用不定时法，日本古代幕府的历学家沿用了古汉代的定时法，即将一天分为100刻。否则的话就难以维持正确的年历。
“刻不容缓”中的一刻，就是指的这一刻，是864秒（24小时 ×60分×60秒÷100）。
也就是一刻为12分24秒。
即便如此，好像还是不知道这到底是长还是短？
第二部分第3节
6、钟表慢几分？ 15分
问题
把每小时慢3分钟的表在12点时校对了时间。这个表到指向24点时会慢多少？
（图略）
提示
请注意是＇这个表到指向24点时＇，而不是＇到正确的时间24点时＇。
解 钟表慢几分？
在正确的表从12点到24点的12个小时里，这个表慢36分（12×3）。在这36分之间又慢（算
式省略）。虽然所谓这段时间可以忽略，但还是计算到此为止好吧。
也就是 约37分48秒。
答案
约37分48秒
小知识
1999年由于有闰秒，在格林威治国际标准时间1月1日上午零点（日本时间午前9点）
之前的一瞬间在全世界范围内给标准计时加入1秒。所以，1999年比平年长1秒。
之所以设置闰秒，是由于地球的转动和计时不相符的原因。1秒钟的长短本来只是作为1个平均太阳日的86400（24小时×60分×60秒）分之1。但是，精密的天体观测的结果使人们知道地球的运行并不是那样一致的。特别是最近，由于异常气象等影响，自转速度趋向缓慢。
因此，于是；使用采用了铯133原子的原子钟重新确定了1秒钟。当比地球运动准1010倍的原子钟的标准时间与地球运动产生1秒钟的偏差时；设定了润秒以进行调整。
现在我们真的很怀念以日出、日没为基准的江户时代啊。
7、根本没什么秘密 15分
问题
安达龙光师一边指着在硬纸板上画的挂钟的文字盘一边解说着
“各位顾客，请在文字盘上选一个你喜欢的数字。我用魔杖敲着地板，从选出数字的下一位
数开始数，正好数到20时停下，我会猜中你选的数。”
有一个人在心里选了＇7＇，随着魔杖的声音默数着8、9。。。数到20被叫停时，龙光师马
上猜中是＇7＇、并且说到“我是天才吧？其实很简单，只是和各位反着数而已。”
那么龙光师是从几开始数的呢？
（图略）
提示
从数字m开始倒数到1，然后再从12倒数。
解题 根本没什么秘密
把顾客选的数字设为n，顾客数着n＋1、n＋2、。。。、数到20时停住，数的次数是
（20…n）次。
龙光师是从m开始倒数，数到1时再从12开始倒数。而且在停的时候龙光师的数字正好
是n
所以 （m＋12）…（20…n）=n
m=8
也就是从8开始倒着数7、6、。。。、1、12、11。。。、8、7。
用这样的方法只要是从8倒着数，不论顾客选什么数字都会被猜中。
比如说顾客选＇9＇的时候
顾 客 9…10…11…12…13…14…15…16…17…18…19…20
龙光师 8…7… 6… 5… 4… 3… 2… 1…12…11…10…9
答案 从8开始数。
5、折纸的篇章
“折纸”的功能
折纸的游戏早在室町时代就开始了。一说到折纸，谁都会马上
想到＇鹤＇。从江户时代中期开始折的纸鹤，到现代其式样几乎没有
什么改变。
在此之前的各章节主要是以数字为主题的，培养的是对数字的感觉、
直觉能力、想象力及思考力。在这一章节图形成为重要的主题。
让我们一边作着折纸的游戏，一边培养以图形为基础的感觉（也可以说是对图形
的把握能力）、直感力和想象力吧。
1、 重叠 15分
问题
在一张折纸的一角放上另外一张同样大小的折纸，使两张纸的角重叠。
要想使重叠部分的面积成为一张折纸面积的2分之1，怎样重叠才好呢？
（图略）
提示
重叠部分可以看成是等边三角形。
解题 重叠
由于重叠部分是两个相同面积的三角形，所以重叠部分的面积= （边BC×边BE÷2）×2
那么，要想与折纸面积的一半（边AB×BC÷2）相等，就有：
（边BC×边BE÷2）×2 = 边AB×BC÷2
即 E正好在AB边的中间的位置。
（图略）
2、折成八分之一 5分
问题
请把纸折成是原来面积8分之1的正方形。
（图略）
提示
如果是16分之1的话，可以按照4分之1乘以4分之1折；所以8分之1可以考虑成4分之1乘以2分之1。
解题 折成八分之一
首先把折纸按照下图的顺序那样折成4分之1。
（图略）
然后再把折成4分之1的纸按照下图的顺序那样折成2分之1。
于是，以4分之1乘以2分之1即等于8分之1。
3、折成5分之1 15分
问题
请把纸折成是原来面积5分之1的正方形。
（图略）
提示
这是古希腊十字裁合法问题的应用。看到下图以后，会得到启发吗？
（图略）
解题 折成5分之1
像下图那样折的话，就会折成原来面积的5分之1的正方形。
小知识
古希腊十字裁合法的问题好像是从记元前开始为人所知的。像基督教的十字架那样柱
子的长的部分叫拉丁十字。
4、折成15度 15分
问题
用折纸做成45度很简单是吧。那么，请做成15度。
（图略）
提示
留意正三角形。
解题 折成15度
如图所示，把角A对折在折成两等份的MN折线上，把三角形ABE折过去。这时，由于三角形A'BC是正三角形，角A'BC是60度。所以角ABA'等于30（90…60）度。
因此，其一半的角ABE、EBA'就是15度。
（图略）
5、折成最大的正三角形 30分
问题
根据前问的解题方法虽然把三角形A'BC折成了正三角形。但遗憾的是并不能说这个
正三角形就是在正方形的折纸上能折出的最大的正三角形。
让我们用折纸试一试，折成一个最大的正三角形吧。
（图略）
提示
请参考前问的＇折成15度＇。
解题 折成最大的正三角形
接着前问，这回如下图所示再把角C对折在折成两等份的PQ折线上，把三角形CBF
折过去。
当然，角CBF（=角FBC'）也是15度。
所以，角EBF也就等于60度（90度…15度…15度）。
最后再把这样折出来的EF对折，就折出了三角形EBF。成为在正方形的折纸上面折出的
最大的正三角形。（角EBF=60度、而且EB=BF）。
（图略）
6、折成正六角形 15分
问题
请用折纸折成正六角形。
（图略）
提示
请参考前问的＇折成最大的正三角形＇
解题 折成正六角形
利用前问的＇折成最大的正三角形＇里出现的正三角形。如下图所示，只要把正三角形
的三个顶点折向正三角形的中心点O，就会折成正六角形。
（图略）
（图注解）把三个顶点折向中心点O
小知识
从正三角形直接到正六角形不管怎么说
