数学新干线-第6章
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请从反正面都是真或者都是假来考虑一下。
解题 那个谎话是真的吗？
背面的话是假的 背面的话是假的
如果两面的话都是真的，那么两面的话就都是假的。如果两面的话都是假的，那么两面
的话就都是真的。然而，这两个都是不可能的。所以，一个是真的，另一个就应该是假的。但是哪一个是真的弄不明白。两面都写着同样的字，哪一面是真，那一面是假，把人都弄糊涂了，真是不可思议呀。
小知识
一个村庄里唯一的一个理发师傅这样说到＇这个村里的人，自己不剃胡须的人的胡子都
由我来剃。＇
那么，这个理发师傅自己的胡须是自己剃还是由别人来剃呢？
如果理发师傅是自己剃的情况下，那么他就是＇自己剃胡须的人＇。于是，他说的＇自己不
剃胡须的人的胡子都由我来剃。＇的话就不对了。
如果理发师傅自己的胡须是由别人来剃的话，那么他就是＇自己不剃胡须的人。＇于是，
因为他说＇自己不剃胡须的人的胡子都由我来剃。＇的话仍然是不对了。
这是伯特兰·罗素（1872～1970）作品中有名的反论问题。
7、突然袭击的考试30分
问题
当老师对学生们宣告说＇考试要搞突然袭击＇时，有一个学生说
＇那样考试就无法进行了。＇让老师大吃一惊。他的理由是
＇假设我们到期末的前一天为止考试还没有实行。那么，我们就会知道明天肯定要有考
试，就构不成突然袭击。因此，在期末的最后一天的考试就不能实行。那么期末的最后一天的前一天就成了可以考试的最后的日子。然而，在那天的前一天（期末最后一天的前前天）我们也会想到第二天是能进行考试的最后一天。这样，考试的最后一天又得提前一天。在那天的前一天我们又会想到第二天是能进行考试的最后一天，那么最后一天又要提前一天。这样一来，一天一天地把能进行考试的最后一天提前，结果突然袭击的考试就不可能进行。＇
那么，请问这个学生所说的理由正确吗？
提示
知道明天是能进行考试的最后一天的条件是什么？
解题 突然袭击的考试
那么假定明天是期末的最后一天。我们之所以会知道明天肯定要有考试，是因为到今天为止（期末最后一天的前一天）考试还没有进行。那么在今天开始上课之前，考试是在今天还是明天我们不知道。所以，那个学生的理论不能成立。
我们再假定期末最后一天的前一天考试还没有实行。那么，在期末最后一天进行考试的话，对于认为在期末最后一天肯定不会有考试的学生们来说就形成了突然袭击。
还是请同学们不要认为学校进行考试是多余的吧。
第三部分第1节
9、顺序的篇章
＇顺序章节＇的功能
在战国时期修建城墙原木是不可缺少的。
有一次，信长让秀吉数衫树林有多少根，对于性急又脾气暴躁的
信长交代的事情，必须在最短时间内数完，并且不能漏数错数。
因此秀吉准备了一千根绳子，把绳子分别系在每棵衫树上。然后
再数余下的绳子，很轻松就知道了有多少根衫树。这在数学上是＇1对1
的对应关系＇的理论应用。
秀吉真是聪明啊。
从某种意义上说，智力题是把逻辑性与理论性作为问题来看待的，而顺序的智力
题最重要的是：要有序的不断积累逻辑性思考能力。
在对大脑的锻炼上，顺序智力题应当说是最适合的。
1、汉诺塔 15分
问题
有A、B、C三根柱子。如图所示，在A柱上按大小有三个圆盘叠放在一起。请把三
个圆盘挪到C柱上，从下面开始按大小顺序摆放。
但是，圆盘一回只能动一个，在小圆盘上不能放大圆盘。
（图略）
提示
把三个小圆盘从小的开始按①②③顺序排列，先不管放到哪个柱子上，如果写下来移动哪个圆盘的话，按顺序就应该是①②①③①②①。
解题 汉诺塔
如图所示。
（图略）
小知识
汉诺塔来自印度神话里的玩具。
上帝创造世界时作了三根金刚石柱子，在一根柱子上从下往上按大小顺序摞着64片黄金圆盘。
上帝命令婆罗门把圆盘从下面开始按大小顺序重新摆放在另一根柱子上。并且规定，在小圆盘上不能放大圆盘，在三根柱子之间一回只能移动一个圆盘。
有预言说，这件事完成时宇宙会在一瞬间闪电式毁灭。也有人相信婆罗门至今仍在一刻不停地搬动着圆盘。
2、 巧分油 15分
问题
在桶里装入1斗（10升）油。请用7升和3升的容器，分成两个5升。
（图略）
提示
像下面那样写下顺序，最终参考桶（10升）里留5升，7升容器里放5升。
（图略）＇手顺顺序的意思＇
解题 巧分油
左边的图表用最少的次数分成两个5升。
（图略）＇手顺顺序的意思＇
小知识
在江户时代初期的代表作日本数学书＇尘劫记＇（吉田光由 1598～1672）里出现的问题叫＇油分算＇，本来被称为＇南蛮渡＇。出题的人自己是按右边的图表那样解题的。这种情况下，当然是用的次数越少越好。所以不能说是最好答案。
3、 优胜和倒数第2位是谁？ 20分
问题
A～H参加的高尔夫球赛的结果是按下列那样的顺序排列的。
1。A在第三位以内
2。B的前一位是H
3。B和C之间有两个人
4。C、F在第四位以下
5。C的前一位是A
6。D在F之前
7。E比D、G成绩好。
请问优胜者和倒数第二名是哪一位？
（图略）
提示
在直线上按顺序整理名次，判断出以谁为基准是关键。
解题 优胜和倒数第2位是谁？
A在第三位以内（1）并且在第四位以下C（4）的前面，所以可以确定，A=3位、C=4位。
在B和C（4位）之间有两人，所以B不是1位就是7位。如果B=1位，和B的前一位是H相矛盾，
所以B=7位（倒数第2位），同时可以判定H=6位。
把以上的结果在直线上做整理。
1位 2位 3位 4位 5位 6位 7位 8位
A C H B
排名还有1位、2位、5位、8位四个，球员D、E、F、G还没有决定。
E排在D、G前边（7），D在F前边（6），所以第1名=E（优胜）可以确定。D、F、G不能确定。
1位 2位 3位 4位 5位 6位 7位 8位
E A C H B
答案
优胜者是E，倒数第二名是B。
4、假金币是这个 60分
问题
现在这里有12枚金币。里边有一枚是假的，但是看不出来。只是重量有些不同。
请用天平称三次找出假金币，并且判断一下假币比真币轻还是重？
提示
第1次称几个是问题的关键。如果第1次天平的两面相等，在后两回当中必须要找出来，
所以只能剩下4个。要是剩下2个的话，第1次天平的两面不相等就不好办了。
把12个金币画上A。B。C。D。E。F。G。H。I。J。K。L符号，第1次像下图那样称。
（图略）
解题 假金币是这个
（1）第1次两面相等时，（假币就是I。J。K。L其中之一）
第2次像下图那样称。
（图略）
①第2次两面相等时》假币就是L。
第3次比较L和A，看看比A（真币）轻还是重。
②第2次两面不相等时》假币就是I。J。K其中之一。
第3次比较I和J，如果两面相等，假币就是K。假币是轻还是重在称第2次时，如果I。J这一
边重的话，那么假币就轻，相反假币就重。
第3次两面不相等时，在称第2次时的I。J一边如果重的话，那么假币就重，相反轻的就是
假币。
（2）如果第1次两面不相等，而是左面重（反过来也是一样的）
①第2次像下图那样称。
（图略）
第2次两面相等时》
剩下的两个（G。H）当中哪一个轻就是假币。还有一次称一下就会知道。
②第2次左面重时，A或B哪个重，或者F轻三选一，所以再称一回就明白了。
右边重的时候也一样，所以不管怎么样只要称三次就会找出假金币。
小知识
这个＇假金币是这个＇的智力题出现在第2次世界大战接近尾声时的美国，在当时引起了很大的轰动。
据说由于许多年轻人热衷于其中，还影响了美国的战斗力。
这时候，有一个参谋想出一个办法。将此智力题用德语制成传单，在德国境内从空中撒下。
果然不出所料，据说是因为德国的科学家们热衷于这个问题，从而使战争渐渐地冷却下来。
5、只许称一回 60分
问题
装满金币的袋子有4袋。但是，有一袋是假金币。并且假金币不止一袋。
我们知道真的金币一枚重10克，假金币比真金币轻1克只有9克。
只许称一回，请找出假金币。
（图略）
提示
如果假金币只有一袋就很简单了，可是…
解题 只许称一回
首先在袋子上作出A、B、C、D记号。然后从每个袋子里面按顺序取出1枚、2枚、4枚、
8枚金币称重量。
因为所称的金币是15枚（1＋2＋4＋8=15），所以如果都是真金币的话，应该有150克。由于假金币比真金币每一枚轻1克，所以按称的重量比150克轻多少来算，就会知道哪个袋子是装假金币的袋子。下面的表格里X印是假金币的袋子。
A
1 B
2 C
3 D
4
1 轻1克时 X
2 X
3 X X
4 X
5 X X
6 X X
7 X X X
8 X
9 X X
10 X X
11 X X X
12 X X
13 X X X
14 X X X
15 X X X X
这是2进法的应用。
6、天平法码 60分
问题
想用天平称从1克到40克的重量，每一次加1克，最少要准备几个法码？
（图略）
提示
用a、b两个砝码称能有几种测量方法？
解题 天平法码
由于可以把法码放在天平上，用a、b两个法码（设a （图略）
首先1克的法码是无论如何要用的。
把其次需要准备的法码设为x克，就可以称x＋1克和x…1克。
由于x…1克是在1克的基础上继续加1克的重量
所以 x…1=1＋1
即 x=3
根据上式可以称出 1、2=3…1、3、4=3＋1克
把要准备的第三个法码社为y克，由于第二个法码可以称到4克，所以又可以称
y…4、y…3、y…2、y…1、y、y＋1、y＋2、y＋3、y＋4克的重量。
由于y…4是在4克的基础上继续加1克的重量
所以 y…4=4＋1
即 y=9
因此可以称出1、2=3…1、3、4=3＋1、5=9…（1＋3）、6=9…3、7=9＋1…3、8=9…1、9、
10=1＋9、11=3＋9…1、12=3＋9、13=1＋3＋9
再把要准备的第四个法码设为z克，可以称从z…13到z＋13。
和前面一样、
z…13=13＋1
所以 z=27
因此可以称出到40克的重量了。
也就是说、只要分别准备1、3、9（=3的平方）、27（=3的立方）克4种法码，就可以称出
从1克到40克、每一次加1克的重量。
答案
须要准备1克、3克、9克、27克四种法码。
小知识
＇天平法码＇的问题是17世纪前半叶法国的数学家巴谢想出来的问题。
原来的问题是这样的。
＇一个商人有一颗40磅的宝石。有一次不小心掉在地上摔成了4块。摔碎的宝石哪一个都是整磅数，用它代替天平的法码，可以称量从1磅到40磅的重量。那么请问摔碎的宝石每一块是多少磅呢？＇
7、福根儿 20分
问题
有一副扑克牌。从上面开始依次是黑桃、红桃、梅花、方片，且每副牌都是按A、2、3、4。。。K的顺序排列的。
把最上面的牌扔掉，再把接下来的牌放在最下面。然后同样是把成为最上面的牌扔掉，再把接下来的牌放在最下面。
就这样一副牌一副牌重复操作下去的话，问最后剩下的一张牌是什么牌？
（图略）
提示
扑克牌开始是52张（4x13）。
按照上面的做法，最初的牌只剩下偶数牌时，只是偶数牌在重复。那么最下面的一张又
重新被放到最下面。
比如说，开始的牌有4张。经过4回（牌的张数动的次数）反复操作后，牌变成2张。这时下面的牌是开始时最下面的牌。
解题 福根儿
最初的牌只剩下偶数牌时，只是偶数牌在重复。那么最下面的一张又重新被放到最下面。
开始时扑克牌的牌数是2、4、8、16。。。。张，到剩最后一张为止扑克牌是按照牌的2等分的张数在进行。所以开始时在最下面的牌就留到最后。
也就是说，剩下的扑克牌是最初4张牌的第4张牌、最初8张牌的第8张牌、最初16张牌的第16张牌、最初32张牌的第32张牌。
由于第52张牌不属于2、4、8、16、32。。。。张数列之内，所以，需要下一些工夫。
操作52张扑克牌牌剩下32张时，放在最下面的牌是最后剩下的牌。从52张减少到32张是，中间要扔掉20张牌（52…32）。由于第20次扔的牌是奇数牌，所以是最开始从上面数第39张牌。扔掉第39张牌，把下面的第40张牌放在扑克牌的最下面。结果这个第40张牌留到最后。
最初从上面数第40张牌是在黑桃13张、红桃13张、梅花13张之后的方片A。
答案
最后剩下的一张牌是方片A。
提高能力
汉诺塔与宇宙的寿命
关于汉诺塔的由来在148页已经讲述过了。
那么，如果移动一个圆盘需要1秒钟的话，等到64个圆盘全部重新摞在一起，宇宙被毁灭是什么时候呢？
让我们来考虑一下64个圆盘重新摞好需要移动多少回吧。1个的时候当然是1次。2个的时候是3次。3个的时候像我们已经解过的题那样�
