中外科学家发明家丛书:明安图-第3章
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陈际新遵照明安图的遗嘱，认真地整理了老师的遗著，在整理过程中经
常与明新、张肱反复进行讨论，明新、张肱还帮助推算和校对，在1774年完
成了 《割圆密率捷法》这部著作。
明安图的《割圆密率捷法》由陈际新等人整理成书后，这部书稿被一个
叫张敦仁的人收藏起来，没有刊印发行。当时反有抄本流行，首先是李潢（？
—1811）、戴敦元（1773—1834）等数学家从陈际新处抄录副本。
1807年，著名数学家汪莱（1768—1813）在家乡安徽歙县参加考试，以
优行第一的成绩考取了八旗官学教习。到北京后，他被选入国史馆参与纂修
天文、时宪二志的工作。在此期间，他曾读到《割圆密率捷法》抄本。
1819年春，另一位数学家董祐诚（1791—1823）客居北京，常与秀水朱
鸿讨论数学，朱鸿以《割圆密率捷法》的抄本出示给董祐诚，董祐诚据此撰
写了三卷本的《割圆连比例图解》一书。
汪莱和董祐诚等人虽然看到《割圆密率捷法》原稿的抄本，却不知道此
书是明安图所撰，而是笼统地冠以“杜氏九术”的名称。
1821年，罗士琳（1789—1853）又从戴敦元那里影抄一本，1839年岑建
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功根据传抄本刊印出版，人们才了解到“杜氏九术”是明安图的成果，《割
圆密率捷法》才得以广泛流传
八、 《割圆密率捷法》的数学奥妙
明安图的《割圆密率捷法》究竟隐藏着那些数学奥妙呢？
《割圆密率捷法》共分4卷：
卷一《步法》：罗列出所得到的各无穷级数公式，其中公式（1）至公式
（3）是杜德美传进来的三个级数，分别叫做“圆径求周”、“弧背求正弦”
和“弧背求正矢”，这三个公式前边已经列出，这里不再重复。公式（4）至
公式（9）是明安图发现的六个无穷级数。这些级数都是弧、弦和正弦之间的
互求问题。这六个级数也各有名称。其中的“弧背”就是弧，“通弦”就是
弧所对的弦。
（4）弧背求通弦
（2a）3 （2a）5 （2a）7
C
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1 1 1
2 4 6
versx
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级数回求法是一种求反函数展开式的有效方法。明安图的工作在数学原
理方面体现的是一种曲直互通的思想，体现的是从有限到无穷的认识上的飞
跃。
明安图在求证上述公式中，想了许多办法，避免繁杂的数值计算，但是
仍有相当多的计算，而且十分复杂，一般的是二三十位的数值计算，多的达
到三十六七位数字，然而，他的计算能力却是相当强的。
九、明安图在中国近代数学史上的地位
明安图所提出的六个无穷级数中，有的是世界数学史上较早的记录，譬
如公式 （8），在欧洲最早是由瑞士数学家欧拉（1707—1783）在1737年给
伯努利（1700—1782）的一封信中提出来的，但直到1817年这一公式才由另
外的人公开发表。明安图发现公式（8）几乎与欧拉同时，而又是独立发现的。
明安图在《割圆密率捷法》中提出了级数收敛的问题。关于级数收敛问
题的考虑，在欧洲也刚在开始，是当时一种很先进的思想，而正式的研究是
欧拉和勾犀（1789—1857）开始进行的。
明安图用30年的辛勤劳动研究数学中的一个分支——无穷级数，撰成
《割圆密率捷法》，用来解析出九个公式，并由连比例三角形入手，有所发
现，取得成就。他的工作在我国数学领域中放有异采，他的数与形的结合，
可以与欧洲人笛卡尔创立解析几何相媲美，他那种科学的，不辞辛勤劳苦的
研究精神，很值得后人学习和表彰。
日本已故的数学史家三上义夫也曾称赞明安图说：
圆理发达是最紧要的事件，可以与西方的定积分相比，他的算法则始于
所谓杜氏九术……可是虽然说是九术，实际只有三术，被梅瑴成收录在《赤
水遗珍》中，三术用无限级数，表示三角函数，虽然有相当于公式的结果，
但不具备解释的方法。到蒙古族人钦天监监正明安图，用三十多年的辛劳，
才考证出解析的方法，而且又创造了六术。
英国的著名中国科技史专家李约瑟博士也对明安图的成就给予了较高的
评价。
杰出的蒙古族科学家明安图把自己的一生献给了科学事业。他在继承和
发展祖国传统文化的同时，积极吸收外国科学的长处，为丰富祖国科学文化
宝库做出了不可磨灭的贡献。在当时清政府实行闭关锁国政策的历史条件下
能做到这一点，是更加难能可贵的。
明安图在中国数学史上影响了董祐诚、项名达、戴煦（1805—1860）、
徐有壬、李善兰 （1811—1882）等一大批数学名家，创立了无穷级数研究的
一个相当活跃的局面，人才辈出，成果累累。正是在明安图的影响下，中国
学者在这一领域运用具有传统数学特色的方法，基本上解决了三角函数、对
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数等初等函数的幂级数展开式问题，其中包含了某些微积分思想的萌芽，从
而为顺利接受笛卡尔（1596—1650）、牛顿、莱布尼茨（1646—1716）创立
的解析几何、微积分等近代数学知识，推动中国数学从常量数学到变量数学，
从初等数学到高等数学的发展，奠定了重要的思想基础。
如前所述，董祐诚根据明安图的《割圆密率捷法》写成了《割圆连比例
图解》。
《割圆连比例图解》共3卷，该书主要结果是4个展开式，即：
第一：有通弦，求通弧加倍几分之通弦；
第二：有矢，求通弧加倍几分之矢；
第三：有通弦，求几分通弧这一通弦；
第四：有矢，求几分通弧之一矢。
董祐诚用一种叫“连比例四率”的方法并结合中国传统数学的垛积求积
术求得第一、第二两式，又以级数回求法求得第三、第四两式。
《割圆连比例图解》3卷在明安图的工作之后而在项名达（1789—1850）
与徐有壬（1800—1860）的工作之前，有继往开来之功。
董祐诚的4个式子称为董氏四术，而明安图的9个式子称为明氏九术，
董氏四术为明氏九术的“立法之源”，即由董氏四术可推得明氏九术。
项名达《象数一原》（1843）将董氏四术精确化并概括为二术。并在明
安图的启发和影响下，进一步解决了椭圆形的周长计算问题，把我国古代传
统的割圆术，发展到应用于椭圆的新高度。
徐有壬的代表作是《割圆八线缀术》4卷（其中有部分结果已在他的《测
圆秘率》中发表）。
《割圆八线缀术》的主要内容是给出8线互求12式，大小8线互求18
式总列于卷四。
徐有壬是在杜德美、明安图、项名达、李善兰的研究基础之上，求出π、
sina、versa展开式的其余9式，即8线互求12式。
卷二是这8线12式的推导过程。
徐有壬还在董祐诚“董氏四式”的基础上给出大小8线互求18式。
卷三是大小8线互求18式的推导过程。
徐有壬称之为缀术的幂级数表示法是一个创新。
缀术以汉字数目字一、二、三等等表示率数，以侧书的汉字数目字表示
级数各项的分母，以暗码表示分子，并按固定格式进行四则运算。
徐有壬的《割圆八线缀术》4卷是三角函数幂级数展开式传入中国以来
该项研究的一个比较系统的总法。所给8线互求12式，大小8线互求18式，
使得三角函数展开式大体完备。所创半符号式的缀术使得幂级数的表示得以
简化，在微积分传入中国之前有积极作用并在中国数学史上产生一定影响。
戴煦 （1805—1860）也有《割圆捷法》二卷。他一生的最后几年中，声
名日著，已可与董祐诚、项名达、李善兰等人相提并论。
李善兰在他所著的《方圆阐幽》一书中，发明了尖锥术，具有解析几何
的启蒙思想，得出了一些重要的积分公式，创立了二次平方根的幂级数展开
式，各种三角函数，反三角函数和对数函数的幂级数展开式，这是李善兰也
是19世纪中国数学界最重大的成就。
李善兰的尖锥理论，如果用最通俗的语言来表述，就是他首先把一个自
然数n用一个平尖锥的图形来表示，如果这个数是一个平方数，就用一个立
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尖锥来表示，如果这个数是一个立方数就用一个三乘尖锥来表示，但是，在
表示乘方数的时候，尖锥的上面就由平体变成了凹形，乘方越多，凹的就越
厉害。
n
然后，李善兰把这个尖锥体的乘方数x用线段来表示，把这个尖锥体迭
积成n乘的尖锥面。这种尖锥面由相互垂直的底线、高线和凹向的尖锥曲线
组成。乘数愈多，也就是说幂次愈高，尖锥曲线的凹就愈甚。
李善兰在《方圆阐微》中，还采用了一种叫做“分离元数”的方法，归
纳出一个二项平方根展开式，然后在四分之一单位圆内应用尖锥术就可以计
算出一个方内圆外尖锥的合积，从而获得圆周率π的无穷级数值。
李善兰还在《弧矢启秘》一书中，采用方内圆外的“截积”与尖锥合积
的关系得到“正弦求弧背”，也就是反正弦的幂级数展开式，然后用直除、
还原等方法得到其他很多的三角函数和反三角函数的幂级数展开式，特别是
正切、正割、反正切、反正割的幂级数展开式是在中国首次独立地得到的。
李善兰又在他的《对数探源》一书中列出了10条命题，从各个方面描述
对数合尖锥曲线的性质，然后，根据这些性质就可以得出对数的幂级数展开
式的。
李善兰创立的尖锥面，是一种处理代数问题的几何模型。它由互相垂直
的底线、高线和凹向的尖锥曲线组成。并且在考虑尖锥合积的问题时，也是
使每个尖锥有共同方向的底线和高线。这样的底线和高线具有平面直角坐标
系中的横、纵两个坐标的作用。
而且，这种尖锥面是由乘方数渐增渐迭而得。因此，尖锥曲线是由随同
乘方数一起渐增渐迭的底线和高线所确定的点变动而成的轨迹。由于李善兰
把每一条尖锥曲线看作是无穷幂级数中相应的项，这实际上就给出了这些尖
锥曲线的代数表示数。
李善兰的尖锥求积术，实质上就是近代数学中的幂函数的定积分公式和
逐项积分法则。
我们之所以在以上对董祐诚、项名达、戴煦、徐有壬、李善兰等人的数
学成就作了简明的介绍，目的是说明明安图的数学思想，对我国19世纪数学
发展有很大影响。
明安图的数学思想，最通俗地讲，就是在数学中应用解析法的思想。19
世纪，我国的数学家就是继续使用和发展了明安图的解析法。当时西方已经
创造出了微积分，但是微积分还没有在我国流传。从明安图开始，到19世纪
的数学家为止，我们是通过自己独立地数学研究获得了不少积分学方面的成
果，形成了我们自己的学派的。
当然，从我国19世纪数学发展的总成果来说，还是比不了西方先进的数
学的，但是，我们能够独立地进入近代的高等数学领域，是十分难能可贵的。
正是由于以上的事实，我们可以看出来，明安图在我国近代的数学史上，
具有一种非常重要的地位。
明安图在他的《割圆密率捷法》一书中所取得的解析法的成就，如果我
们打一个比喻，就好比在茫茫的荒野中种下了一棵树，当然，如果不断地给
这棵树浇水、施肥，这棵树就会不断地长大，直至长成一棵参天大树。反过
来说，如果没有人去理它，也许这棵树会慢慢枯萎、发黄，直至死去。
然而，既使一棵树苗长成了参天大树，但独木终不能成林，如果有人把
树苗一棵棵不断地种下去，这个地方就会慢慢地从一片荒野变成一片郁郁丛
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丛的大森林。
19世纪，在我国数学领域内，就出现了这样的一片森林，但永远不要忘
记，是明安图在数学解析法这片土地上，种下了第一棵树苗。
十、由明安图引起的反思
明安图对中国古代数学、天文学和地图测绘学都作出了杰出的贡献。
其实，早在明安图以前很久，数学、天文学和地图测绘学就在我国产生
了。
商朝（公元前16世纪—前8世纪）时期，我国就产生了一个叫做“高”
的数学家，因为他生在商朝，所以历史上把他叫做商高。商高在世界上首次
提出了直角三角形各边的平方关系，后人称之为商高定理。在西方，大约在
公元前531年，才由一个叫毕达哥拉斯（公元前572—前497）的人提出了同
样的定理，西方人把它称之为毕达格拉斯定理。
商朝人已经具有了相当的天文知识。在甲骨文中，已有了鸟星、火星等
星名。这两个星是测定春分和夏至季节的重要标志。还有关于日蚀、月蚀的
记录，关于风、雨、云等记录，有了较完善的历法。
西周时期，在《诗经》中，已经有了火、箕、斗、牛等星宿的名称。
春秋时期，已有了冬至、夏至、春分，秋分、立春、立夏、立秋、立冬
八个节气，并能准确地推算出冬至的日期。在《左传》中，已经有了我国最
早关于冬至日的记录，出现了夏历。
战国时期，已有了角、亢、氐、房等二十八个星宿的名称，是我国最早
的天文坐标图，是我国古代天文学研究的一项重大成就。公元前4世纪中期，
魏国人石申夫作 《石氏星经》，与他同时的楚国人甘德作《天文星占》，较
精密地记录了黄道附近120个恒星的方位和这些恒星距北极的度数，并发现
了金、木、水、火、土五大行星运行的规律。他们测定的关于恒星的记录，
是世界上最古的恒星表。
西汉中期成书的我国古代第一部算学著作 《周髀（bì）算经》使用了相
当复杂的分数算法和开平方法，勾股定理，这部书是我国现存文献中最早引
用勾股定理的著作。
东汉前期的《九章算术》标志着我国古代数学体系的形成，特别是书中
的负数、分数计算，联立一次方程解法等，�
