学习哪有那么难-第6章
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一关，接下来怎么做呢？15÷3=5，甲用了5倍于上到第4层的时间。同理，乙到了第3层，就等于乙上了2个台阶，于是2×5=10，你一测算，就等于乙上了10个台阶。这时第二个挑战又出来了，很多学生就回答乙上了10个台阶，又栽进去了。你想想，人家问的是乙到多少层，乙上了10个台阶，其实是到了第11层，所以最后的答案就是，乙到了11层。学生从这个过程中受到一种感悟，今后思维就会有意识的越来越严谨。
数学是一个挑战智慧的学科
第二个特点是智慧。就是你干什么事情，都得用心去想。比如说有这么一道数学题：有81个球，其中1个球比较轻，其余80个球重量相同，所有的球大小都是一样的。现在我给你一个没有刻度、没有砝码的天平，你最多用多少次，能把这个比较轻的小球找出来？最多用多少次，这好办，一个一个地称不就行了吗？这是对的，但不叫数学。有智慧的人怎么办呢？你看，我把那81个小球，平均分成3堆，一堆27个，然后这堆放在这个盘上，那堆放在那个盘上，一称，这两堆只要是重量相同，好了，小球就藏在没称的那一堆里；如果这两堆重量不一样，好了，哪一堆轻，小球就藏在哪一堆，这就把藏着较轻的小球的那27个球找出来。然后再平均分成3份，一堆9个，再称一次搞定了，又找出了藏着较轻小球的那一堆。照此办理，最多用4次，就能把这个较轻的小球给找出来。这就是数学培养出来的智慧。
再看一道题，甲乙两个人往一个圆盘上摆硬币，硬币的面积是一样的，然后甲往上放1枚，乙再往上放1枚，依此类推。那么大家想一想，硬币放得越多，圆盘的面积就越少，总有那么一个时刻，其中一个人拿着硬币往上放的时候，就没地放了。问题是甲乙两个人，就这样放，轮到谁的时候放不下了？乱放肯定不行，最后的答案是什么呢？乙最先没法放。怎么放呢？甲拿着这枚硬币，放在那个圆盘圆心的位置上，然后乙随便放，乙放1枚硬币，那么关于圆心总能找到1个对称点，甲就总放在对称的那个地方，那么大家想想，无论乙怎么放，只要乙能够放得下，甲肯定能找着那个对称点，一定能放上。最终呢，肯定是乙没地方放了。这就是数学智慧的体现，你们感觉数学好玩吧！
数学其实很好学（2）
现在咱们再看一个题，这是一张纸（如下图所示），我把它对折一次，然后沿着中轴线，再把它对折一次，经过这两次处理，然后我用剪刀沿这个折好的正方形中线横竖各剪一次，问剪成了几块？多么好的数学题，不需要什么数学背景，就是锻炼你的思维。一块块数当然可以，但还可以找找规律和方法。
这个方法是什么呢？大家看上图，剪刀的剪痕就相当于图二中的粗线，你把纸重新摊开的时候，你看这线条清清楚楚地画在原来的那张纸上，原来的那张纸被这个粗线方框分成九部分了，是不是？所以答案应该是九部分。它就有这样一种联想，你得从折叠后的状态，联想到剪刀进去之后，在原来那张纸上，留下一种什么样的痕迹，所以一观察，答案一目了然，这是数学的智慧。
数学语言最准确
数学还有一个很大的特点，就是准确。我不知道大家是否听说过，人世间最准确的语言其实就是数学语言。好比说我今年的收入是5万块钱，明年的收入要增长1倍，就相当于收入是10万；说我增长2倍，那就相当于，第二年是5万加上增长的2倍，是15万。增长2倍和增长到原来的2倍，这是两个概念，所以数学要求表达非常准确。
不仅表现在语言的准确上，它在具体问题上的准确性也是令人惊叹的。我上大学的时候，物理课本上有这么一个题目，当时把我折磨得不得了。说一个山坡，它的倾斜度是15°，在这个山坡下面有一门大炮，炮的仰角是30°。这门炮以一个初速度发射了一发炮弹，问能落在那个斜坡的什么地方？当时用物理的方法解起来，就感觉挺费劲，后来我想，我是数学系的学生，是不是应该用数学的方法来解呢？结果很容易就解出来了。什么办法呢？首先我建立一个直角坐标系，把那个斜坡看成是一条直线，把它的方程写出来，那发炮弹离开炮筒的一刻，它做斜上抛运动，是一条抛物线。于是问题就变成，抛物线和直线求交点，结果就变成一个非常简单的问题，所以解起来就比较轻松了。
考大学之前，我还做过一个物理的题目，说在1万米的高空有一架飞机正在飞行，要对着地面的一个目标投弹，问它要从离那个目标多远的地方开始投弹？这个问题要用物理的方法来研究，还真的有点儿难，最好的解法是什么？那个炮弹离开飞机的那一刻，它的初速度和飞机的速度一样，所以这是一个斜下抛运动，斜下抛运动的轨迹是一条抛物线，那么问题就变成了，求那个目标正好在抛物线上的坐标。所以你看用数学的方法来解决现实问题，又简单又准确。
数学有一种惊人之美
数学的美那可不得了，美在什么呢？美在它的对称和谐，美在它的跌宕起伏，美在它的波澜壮阔，美在它的茅塞顿开，美在它的一题多解，美在它的多题一解，甚至美在它的小题大做。
其实数学远不止这些，它与现实生活也是密切相关的，它的应用非常广泛。先不说具体的现实生活，先说说数学与美术。达？芬奇有一幅著名的画《最后的晚餐》，我通过研究发现，这幅画竟然是用数学的远近法原理来画的。那个远近法原理，是要有一个基点的，那个基点，恰好就在耶稣的两只眼睛上，所以你看达？芬奇，既是一个画家，又是一个很著名的数学家。还有一幅很著名的画，叫《清明上河图》，这幅画给人的感觉是，看见树木便现森林，看见河流便现大海，你知道利用了什么原理来画的吗？它也是用数学远近法原理来画的。
数学其实很好学（3）
我们知道现实生活中，经常提到一个词“黄金分割”，什么叫黄金分割呢？它是数学上的一个非常独特的数据，这个数据是这样来的：一个矩形，如果它的宽和长相比，得出的数据是0618，这个矩形看上去就最好看，而且这个矩形的结构最合理。于是把0618这个数，就叫黄金分割数。0618这个数挺好玩的，把它放到分母上，分子是1，结果恰好是1618。这个黄金分割在现实生活中有广泛的应用，包括在一些优选法中，这个数字太活跃了。
我问大家一个问题，为什么女孩愿意穿高跟鞋呢？大家可能感觉穿上高跟鞋漂亮，但是漂亮的原因是什么呢？有些人说穿上高跟鞋，走起路来那种风姿绰约的感觉挺动人，还有一种飘飘欲仙的感觉。其实不是这样的，女孩穿高跟鞋好看的原因就是一个，实现了黄金分割。就是说一个人，如果她的上半身和她的身高之比，能够达到0618的话，效果是最好的。但是一个人的上半身和她的身高之比，往往达不到0618，如果穿上高跟鞋，高度一增加，上半身和身高的比，恰好能达到0618，她的体形看上去就特别和谐，视觉的冲击就特别大。
有这样的一个题目，好像看似不太可能，其实就是一个数学问题。你看一张纸，我对折一次，纸就变厚了，厚度增加了1倍，我对折两次，它的厚度是原来的4倍，我再对折一次，这张纸厚度成倍增长。我问个问题，要是把这张纸对折64次的话，这张纸的厚度有多高？大家可以放开去猜，胆子有多大，都可以猜。我告诉你一个让你感觉不太可能的数据，这个高度恰好是地球到月亮的高度，就这么厉害。所以你看，我们国家研发神六、神七到太空去探月，其实我上太空吧，不用这一套，我拿这一张纸，折叠64次，我就上去了。我这个数不是虚的，你可以用等比数列算出来。
数学的这种超凡脱俗的美，确实令人震撼，每一个喜欢数学的人，我相信都能够体会到。对称就是体现数学的和谐之美的一个方面，像北京这个城市，天安门、故宫在它的中轴线上，东西依次相互展开，形成了一个非常和谐的城市。在2008年奥运会上大家看到，焰火顺着中轴线，一步一步到鸟巢，也是落在中轴线上。
数学的跌宕起伏之美，体现在它对一个人思维跨度的要求，特别是当你在苦苦思索中，突然眼前一亮，找到了解题的思路，那种对灵魂的巨大冲击，可以让一个人心情久久难以平静。
再有就是茅塞顿开之美，凡是比较好的数学题目，往往都稍有些难度，当我们通过认真思考，突然找到它的答案，就会感受到一种豁然开朗的美。
还有它的一题多解之美，有时候一个看似很平常的题目，但是可以找出七八种解法，而且每一种解法都隐含着一个非常美妙的技巧。
再一个就是多题一解之美，数学可谓题海无边，但是只要注意归纳，就会发现，数学中的许多题目都是可以归类的，万变不离其宗。
还有小题大做之美，本来这个题目看似很小，但是就像一个金矿的入口一样，背后潜藏着一个巨大的金矿，你一旦把窗和门打开，在你面前就是一座宝藏。在教学中有些内容，按照教学大纲的要求，可能只讲一节课，但我可以就这个问题，展开讲一周，甚至讲好几周。因为这个题，引发了我的一些情怀、一些感慨，竟然能够把整个数学都覆盖得到。
数学其实很好学（4）
我举一个小小的例子，这是过去数学课本上的一个题目，大家都觉得这种题目难度不大，而且也很基本。但就是这样一个题目，却潜藏着非常丰富的数学思想和数学方法，以至于让我讲了整整两周。
这是过去中学课本上的一个题8－2x2－x＞…1，因为这道题很基本，所以大家都会做。一般的做法就是，把x移到右边，因为这个不等式里边，最讨厌的就是那个根号，它是一个无理的东西，所以我为了处理这个根号，就把相关的闲杂人员全处理到右边去，把这个比较难对付的根号孤立起来。下面要采取的方法是去掉根号，但是如何去掉根号呢，得考虑这个不等式两边的非负性。于是就出现了这个不等式，一方面是，8－2x2≥0，保证这个根号下不是负数；另一方面是，x－1≥0，保证两边非负。在这个情况下，两边平方得到8－2x2＞（x－1）2，这是得到的第一个不等式。第二个不等式，还是8－2x2≥0，因为根号下必须保证不能是负值，但是这个x－1，它当然可以是负的，所以第二种情况x－1＜0，那么我们看到，只要是这两个不等式同时成立，原不等式肯定是成立的。于是原来不等式的解，就是这两个不等式组解集的并集。分别把这两个不等式解出来，然后一求并集，答案就出来了，这就是这个题的常规解法。
我想几乎所有的学生都会采用这种解法，而且解完之后都感觉到完成任务了。其实这个题中间潜藏着一些伟大的数学思想和数学方法，可是用第一种解法没法儿发现。如果学数学仅满足于这种解法，就会陷入一种套路式、教条式的模式，很难了解到数学的波澜壮阔。我现在构造两个函数，一个是y=8－2x2，再一个是y=x－1，那么大家看，刚才这个问题就变了，变成这两个函数，谁比谁大的问题。大家注意，第一个函数，它是椭圆的上半部分，第二个的图形呢，它是一条直线，那么这个问题就变成了这条直线和椭圆相交，然后只要看看那两个图像的交点，就把这个题很简单地解出来了。本来是一个解不等式的问题，但是构造两个函数之后，通过求解交点，就转化成一个等式的解法，这是数学中的一个巨大的变化。大千世界相等是短暂的，不等是永恒的，但是利用了这种函数思想，就能够抓住相等的那一刹那，解决永恒的不等的问题，它的智慧就在这儿。第二种方法简洁，解法正确率高，更重要的是，这第二种解法体现出数学的一个非常重要的思想，就是数形结合。
如果这个题再做变化，比如说我要是把那个…1，偷偷地换成一个a，那么你会发现，刚才提供的第一种解法，就无能为力了。因为那个a是啥呢？这个讨厌的a，它变化多端，每一次变化都给这个不等式的解法带来灭顶之灾，但是你要利用第二种解法，那么这个问题就好解决了。构造两个函数，一个是y=8－2x2，再一个是y=x＋a，刚才讲过，y=8－2x2，它其实就是椭圆的上半部分，y=x＋a是一组平行直线，它的斜率是1，随着a的变化，那条直线在不断地变化。
这个题在高考中，应该是一种比较有难度，而且也非常常见的题目，就是分类讨论。我们通过这个图形一看，就可以分成四段来讨论，一目了然。通过这个题，我们可以看到，方程是数学上非常核心的概念，可以在函数的观点下，和不等式统一起来，这就是函数在数学中的重要性。一方面，要解决的具体问题一旦归结为函数，就可以把一些局部的问题，拿到高瞻远瞩的全局上去解决，所以局部的问题就变得很简单；另外，能够把静态的问题，放到波澜壮阔的动态的过程中去研究，使问题变得简单，比如说那个解不等式的问题。
数学其实很好学（5）
有了这样的一个背景，这个题可以随意变。通过观察图像，得出了a
再看一个题，还是各种复习材料上都会有的一个题目：
y=mx2＋43x＋nx2＋1
这个函数的最大值是7，最小值是…1，求m，n。我经常给学生讲的一句话，叫“上帝让谁死亡，必先让谁疯狂”，这个现实生活中的道理，在数学上也有恰到好处的应用。大家看这个题，这个函数中有四个字母，一个x一个y，一个m一个n，那么我们现在要求m，n。我要做的就是怎么能把x和y消掉而后快。大家看，我先把x2干掉，怎么干掉呢？我得先让x2疯狂起来，于是把分母乘过来。乘过来以后，x唱主角了，把这个函数整理成一个关于x的二次方程，x高兴了，你看我多厉害，这个方程竟然是我的一个二次方程，岂不知大难临头了，然后怎么办？面对这个题目，我们采取什么措施呢？因为这是二次方程，它恒有解，所以判别式大于等于零。你看x没了，从这个判别式中，怎么再去寻找x2的踪影呢，找不着了吧？所以这个不等式现在就剩下m，n还有y，我们要求m，n，就得把y消掉，怎么消呢？上帝让y死亡，必先让y疯狂，所以重新打开整理，于是这个题变成了y的一个二次不等式，这个y高兴了，你看这是关于我的一个一元二次不等式，其实大祸已经来临了。你看y2－（m＋n）y＋mn－12≤0，这是关于y的不等式。注意题目，这个函数的最大值是7，最小值是…1，这说明了y的最小值是…1，最大值是7，那就说明，这个不等式的解是＇…1，7＇，就意味着这个二元一次方程的解，一个是…1，一个是7，把…1和7代入，y没了，把…1代入得到m和 n的一个方程，把7代入又得到m和 n的一个方程，这两个方程一联立，m，n搞定了，这是一种做法；或者根据韦达定理，两根之和等于…1，两根之积等于7，那么m和n的方程也就出来了，我们解了这个方程之后，便会把m，n求出来。
这一个小小的片段，就体现了函数这种工具在数学中的重要性。函数是数学上一个永恒的话题，所以每年的高考，对函数这个内容，老师是情有独钟，每年必考，而且考的分量也很重，因此在学习的过程中，一定要高度重视函数的问题。我们研究的问题，一旦转化为函数，那函数的重要性
