零的历史-第1章

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　　　　单纯的看，零就是零，但仔细研究后，你会发现通过它你将可以了解这个世界。因为，数学表达着事物复杂的本质问题，而把这个庞大的数学体系连成了一个整体的是零。从简单的计数到大量的计算，从估计事物发生的几率到精确的知道与我们相关事件的趋势何时达到最大值，这些有力的数学工具都让我们使用这样的思考方法：一事件的发生与其他的事件相关，并且所有的这些都离不开零这个中心。　　　　
　　　　利用抽象出来的符号，我们可以把控制我们周围物体做轨道运动或发生突变的规律形象的表达出来。甚至思想本身也能用数学的方法反映出来，这种反映能力的强大现在令人十分费解，但它也正使人们澄清那些深邃的问题。　　　　
　　　　零的传播历史及其具体的概念充满了玄机，当那些旅行者第一次把它带入西方的时候，它原来的身份就已经被掩盖和曲解了。在这本书中你将会了解到，零是苏美尔人（Sumerian古代幼发拉底河下游的居民——译者注）在处理问题没有办法时的一个附加产物，在随后的几个世纪中零的形式改变过，而且几乎消失过，当再一次出现时，它的形式发生了很大的改变。零的力量对一些人而言神奇无比，对其他人又极其残忍。零在希腊遭到嘲弄并最终离开那里，在印度安逸舒适，在我们西方人面前遭遇身份危机，最终出现在牛顿身边并伴随着出现我们这个精细和复杂的时代。　　　　
　　　　我探索这方面问题的方法部分是用博物学家的方法。收集零的各种各样奇妙的表达形式，这些形式表达的不仅仅是一个数字，而且还是表现绝望或兴奋的符号；作为零本身，它是一个具体的事物；作为学术先祖，又是谜中之谜。我们是比喜鹊更加勤劳的人类，我们用累积的时间来使我们的思想更加成熟。因此，我将把博物学家和历史学家放在一起，目的是使下面的故事更有趣味：在那些任意纂改巨大数字的人眼里，数字好像就是飞行中的网球；在那些乐于计算的人眼里，好像生活就是用一根计算的细线悬着；从西方到东方，那些不懂得零的作用而遭受无情惩罚的人们，不得不忍受零伴随着他们，而看待这些事件的方法又被一些有很强个性的人影响，例如，那个很有才气的叫做布劳克海德（Blockhead）的意大利人，像斯科茨曼（Scotsman）自认为是术士的行为古怪的人，他们都使看待零的方法受到影响。　　　　
　　　　当我们追寻零的各种符号和含义的慢慢演化过程时，通过它我们将看到人类创造数学的过程和数学为人类所做的工作。没有上帝把数学送给我们。只有热切的追求她，数学才给人类灵感。什么才是那种追求？一种是修修补补的设想和灵感的结合；一种是一个人激发出来一个想法，这个想法也许会沉寂几个世纪，仅仅当各处的思潮改变时，它才突然的萌发出来；另外就是在猜想和验证、假设和推理中追求。　　　　
　　　　正象莎士比亚（Shakespeare）称呼它的一样，零谈不上是一个数字，为什么在组成数学这个巨大的表达体系中却扮演着如此重要的角色呢？为什么大多数数学家无论在何种重要的数字列表中都要给零一个显著的位置呢？人们如何能宣称由于0×0＝0，所以数字才是真实的？我们将看到这些答案随着零含义的发展而发展变化。　　　　
　　　　正如我们看到零和数学一起慢慢的发展完美，我们思维的更深层次的思考将变为一点。举一个例子，由于我们好奇心的需要，我们会先给我们创造的事物取名字，然后我们就会想知道这些被创造的事物是否脱离他们的名字真实的存在。我们的需求要求我们远离个别的实例，去抽象出一般性的问题，省略掉事物那些特殊的异常的现象。像从空中去看整个果园而不是去看这一个和那一个长满了节瘤的树。　　　　
　　　　在这些思想的指引下，我们将在随后的章节中了解到越来越深的问题，慢慢增多的知识将使你看清这个世界并超越这个世界。到底零是一个真实存在的事物还是人们虚构的东西，这个问题依然令人忧虑不安，这也将使人们不断的思考这样一个长期存在的难题：我们是否已创造或发现了理解事物行为的方法，因此，更进一步的问题是我们现在所处的层次问题。我们的评价能力比天使弱——或者仅仅弱一点点，我们到底是被创造者还是创造者？　　　　
　　　　数学是研究运动的一种运动。虽然数学工作成果的辉煌足以刻入纪念碑，零的历史也很完全，但它还没有结束，事实上是刚刚开始。零不是代表着一个环的结束，似乎说它是一个入口更好一些。亚历山大·戈绕森迪克（Alexander　Grothendiech）是我们这个时代的一个具有丰富想象力的数学家，他的研究成果已经改变了我们看待数学的方式，他曾经在他的巨著中花费数年的时间来修订、扩充关于零的一章，并把它作为书的序言和总结。但是现在什么都不曾完成。零永远是那么诱人，无限的靠近但永远也不能达到：也许这才是接近零的本质。


第一部分　透视零第2节　思想的印迹（1）

　　　　经过漫长得令人叹为惊止的思想里程，当一个完美的思想灵感给了我们计算技巧的时候，零以印在一块湿粘土上的两个楔形形式开始了它的生涯。我们通过给不同数量事物以不同的数字命名和符号来记数：1，2，3……，但是如果一定要给每个新数量一个全新的名字和符号，就会穷尽你所有的心智和记忆。试试吧，给前二十个数字编上不同的符号，例如：　　　　
　　　　1，2，3，4，5，6，7，8，9，γ，/，§，◇，¢；，▽，┓，Ψ，∧，ㄚ，λ　　　　
　　　　那么，7加8等于多少呢？是▽。　　　　
　　　　那么Ψ减去　/　呢？从Ψ开始往后数　/　位，是6。　　　　
　　　　又比如，γ加上∧呢？很不幸，我们还没有为它创造新的符号。即使现在来构思，我们也不得不首先创造出另外的七个符号。　　　　
　　　　这个问题一定是在每种文明的初期就得到了解决，就象我们孩提时代做的那样：先把想要计数的物体分成堆，这些堆中包含的物体都是相等的易处理的数量单位。例如，　　　　
　　　　是　　个　　　　　　
　　　　＋　　　　　　　　　　　　
　　　　等于　个　再多上　。　　　　
　　　　这种基本的数量单位通常是5或10，正好是我们手指的数量，或者是别的可以一目了然的数目（我们数鸡蛋或英寸用“打”——十二）。　　　　
　　　　一旦有了这种捷径（这种捷径给我们由加到乘的混合运算带来了巨大飞跃），新的需要就随之而来：如果　　　　＋　　　　　　　一共是　个　再加上　，它确切的代表什么样的一个数目呢？终究不还是要创造一个新的符号吗？在不同的文明中出现了不同的答案。或许来自于记数符木（古时用，上有刻痕记载交货、欠款等的数量——译者注）上的一个笔划，或许来自市场上人们常用的手势，罗马人用Ⅹ表示含有　　　个数量单位的一堆物品，Ⅴ表示　个（‘Ⅴ’代表的数量是‘X’的一半，也是X的上半部，一只手所能代表的数量单位）数量单位，因此，按照从左到右书写单词的习惯类推，XV代表三个5。他们用XX（两个10）表示四个5，而不是冗长的VVVV或XVV。　　　　
　　　　那么，γ＋∧问题就变为　　　　
　　　　X＋XVⅢ=XXVⅢ。　　　　
　　　　这看上去似乎是一个很有前途的方法，但当你为庞大的数目而写长串的X而感到厌烦时，这个方法也陷入了困境。至少你又回到了不得不接二连三创造新符号的原状。罗马人用L代表50，所以LX是50多10，就是60；XL表示差10不到50，就是40；C代表100，D代表500，M代表1000——像债务或少女的嫁妆一样不断增加——用以旧符号为中心加三个边框的符号来表示原数值的100　000倍。因此，当利维亚（Livia）给格尔巴（Galba）留下了50　000　000塞斯塔斯（sesterces古罗马货币单位——译者注）的遗产，她的儿子台比留（Tiberius公元1世纪14…37年间为罗马皇帝——译者注）皇帝——对任何人都毫无感情，当然对格尔巴（尽管是他母亲留下的继承人）也不例外——坚持认为　应该读作　，是500　000塞斯塔斯，quia　notata　non　perscripta　erat　summa，“因为这个总数是个符号，符号没有写清楚”。我们可以想象从皇帝口中说出这样的话。　　　　
　　　　这种计数方法每天都产生很多问题，而且不仅仅是在律师的办公室里。　　　　
　　　　43＋24等于多少？对于罗马人来说，就是　　　　
　　　　XLⅢ＋XXIV，　　　　
　　　　把两个数字对齐，无法自动得出答案是LXVII。过去，用这样的数字体系描述一个大数目是困难的（即使用后来缩写的罗马字母表示也是困难的，1999是MCMXCIX：　　　　
　　　　MC　M　XC　IX　　　　
　　　　↑↑↑↑　　　　
　　　　1　000比1　000少100是900　比100少10　是90　比10少1是9）　　　　
　　　　用它们计算更是令人望而却步（想象着尝试一下减法、乘法、但愿不是除法）。　　　　
　　　　我们现在想当然地认为，有一个神奇的天才改进了数字的表示方法，使我们毫不费力地进行计算。令人迷惑的0——代表一无所有——为这个发明划上了圆满的一笔。　　　　
　　　　故事起源于大约5　000年前定居于美索不达米亚（Mesopotamia现在部分属于伊拉克）的苏美尔人。当你在他们用于记事的粘土块上读到这样的父子间的对话：“你去哪儿了？”“哪儿也没去。”“那你为什么来晚了？”，这时你会感觉5　000年前的事就象刚刚过去的一个晚上发生的。　　　　
　　　　苏美尔人使用1进制和10进制来计数，也用60进制。乍一看有点难以接受，想想我们现代也还在使用这样的进制就不足为奇了。一小时有60分钟（6×60=360，圆分为360度，每分钟占6度）。更进一步，我们一年用12个月来计算，一周用7天来计算，一天用24个小时来计算，一磅或一品脱有16盎司。直到1971年英国还使用12分一个先令，20先令一磅这样的币值。　　　　
　　　　对这些不同体系的发展进行深入研究，你会发现它们都是相互磨合，相互妥协的历史，你认为神秘离奇的事情其实是最自然不过的了。苏美尔人遇到了与他们度量衡不同的另一种文明，首先是衡制，然后是币制，苏美尔人的六十进制很可能就是在处理与这种文明间的不同时产生的。可以猜想，苏美尔人把某个重量称为1，随之更重一些的是2，3等等，直到10的整数倍；当然也有1/4，1/3，1/2和2/3这样的分数重量。　　　　
　　　　现在我们设想，如果他们和一个与他们有相同比率的邻部族间进行商业往来，但基本单位却是他们自己的60倍，你可以想象商人们在换算出他的币值等于多少时是多么的困难。比如，他们贸易伙伴的7　个单位换算到自己部族的币值中是多少呢（即使是物物交换的贸易，精确的记录也应该保持价值相当）？当你用60为单位重新进行思考时，困难就迎刃而解了。由于7　×60=460，那么就是460个苏美尔单位。另外，60的1/4，1/3，1/2，和2/3都是整数——易于处理的。我们永远也不可能知道这种重大决定的细节（签订协定时，喝掉啤酒的杯数和围绕着基本单位的比率是高于或低于60的秘密协定），但我们确实知道在苏美尔度量体系中，60个谢克尔（shekel古希伯来或巴比伦的衡量和货币单位——译者注）是1个迈纳（mina古代希腊的金额单位和重量单位——译者注），60个迈纳是1个塔兰特（talent使用于古代希腊、罗马和中东的一种可变的重量和货币单位——译者注）。　　　　
　　　　直到今天，我们在用数字计算的路程上似乎也并没有前进多远。如果有什么区别的话，那就是苏美尔人似乎还处在10进制与60进制的混乱状态下。但是如果我们想知道这种混乱状态是如何结束的，我们除了想象几千年前的事外别的什么也做不了。　　　　
　　　　苏美尔人通过使用中空的芦苇管尖在湿泥块上印出圆或半圆来进行书写，然后把泥块烘干来进行保存（大量的这种记事簿在经历了遥远的岁月后依然幸存了下来，而20世纪60年代写在计算机穿孔卡上的文件已不复存在）。最后芦苇管被三棱的铁笔所代替，用它可以写出这样的楔形符号：　；或者旋转成不同角度，成为一个“钩”：　　。虽然在大约公元前2　500年，苏美尔人被阿卡得（Akkadian）人征服，但十进制与六十进制的混合数制仍被完整无缺地保存了下来，到公元前2　000年（古巴比伦时代）数字演变成这样：　　　　
　　　　1　　　　　
　　　　2　　　　　　
　　　　3　　　　　　　
　　　　4　　或者后来是　　　　　
　　　　5　　　　　
　　　　6　　　　　
　　　　7　　或者后来是　　　　　
　　　　8　或者后来是　　　　　
　　　　9　或者后来是　　（对角线代表3×3）　　　　
　　　　对于10他们用一个“钩”来代替：　　　　　
　　　　所以11是　　　　　　
　　　　12　是　　　　　　　
　　　　依次类推——就象后来罗马人发明的X，XI，XII（但是没有表示5的新符号，所以15不象罗马文的XV，而是　　　）。20是　　，30　是由3个“钩”组成，有不同的排列形式：　　　　，40是4个“钩”，50是5个，在它们之间的数字都是你可以想到的形式：34是　　　　，59是　　


第一部分　透视零第3节　思想的印迹（2）

　　　　在这里六十进制突然出现了，60也是一个楔形，但是是更大的一个：　。像这样从小到大，从右到左书写数字（就像我们从右到左书写数字一样——感谢他们这样做——虽然我们书写单词是从左到右），63将会是　　　　，72是　　　　，你自己就能创造出剩下的：120是　　，137是：　　　　
　　　　　　　　　　　　　
　　　　↑↑↑　　　　
　　　　（2×60）＋　10＋7　　　　
　　　　=120　　　　
　　　　等等。如果你想进行一次短暂的时光旅行（粘土块，木尖笔，弥漫的羊肉的味道对你会有帮助），试着写出217，　　　　
　　　　你写得出来吗：　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　↑↑↑　　　　
　　　　（3×60）＋30＋7？　　　　
　　　　=180　　　　
　　　　注意楔形的大小是很重要的：62　　　和3　　　的唯一区别是第一个楔形的大小。但是手写体总是不断变化的，即使是楔形文字也不例外；人们是匆忙或者粗心的（试着用铁笔写出一个月的帐目），被教堂的神职人员保存下来的历尽劫难的成千上万的记录，上面记录着捐赠者的姓名和作为祭品的羊，鱼或鸡的数量，在记录这些东西的过程中，大的楔形可能变小，小的可能变大（或许偶尔也会有像台比留皇帝那样的事情），那么，这个问题怎么解决呢？　　　　
　　　　直到有人想出了一个高明的主意（或者这个主意仅仅只是一个碰巧凑效的权宜之计，谁知道呢）——以楔形的书写位置来代表数值的大小而不论楔形形状的大小，这种混乱的局面才结束。因此，不管楔形是大是小，　　　　　　　　　　总是表示202：3个60，2个10另加2。　　　　　表示182：3×60＋2。　　　　
　　　　这种用位置来表示数字大小的体系一旦普及开来，为了一目了然，引入空位和规范的楔形及钩形组就成为必然。就像我们的“754”是表示（7×102）＋（5×10）＋（4×1）一样，　　　　
　　　　　　　表示是62，但　　　　表示是3　661；　　　　
　　　　↑　↑↑↑↑　　　　
　　　　　（1×60）＋　2　（1×602）＋（1×60）　＋　1　　　　
　　　　和　　　　
　　　　　　　　　　　　是754。　　　　
　　　　↑↑　　　　
　　　　　（12×60）　＋34　　　　
　　　　=720　　　　
　　　　这样做是非常奇妙的事情。它不仅仅能让我们很快的写出很大的数字（比如1999就将变成这