投资学(第4版)-第39章

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b。　买入G公司股票，风险会降低更多。
c。　买入G公司股票或M　a　c公司股票，都会导致风险增加。
d。　由其他因素决定风险的增加或降低。

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第8章最优风险资产组合

201　

26。　A、B、C三种股票具有相同的期望收益率和方差，下表为三种股票收益之间
的相关系数。根据这些相关系数，风险水平最低的资产组合为：
名称A　BC　

股票A　＋1　。　0　
股票B　＋0　。　9　＋1　。　0　
股票C　＋0　。　1　…0　。　4　＋1　。　0　
a。　平均投资于A，B。
b。　平均投资于A，C。
c。　平均投资于B，C。
d。　全部投资于C。
27。　A、B、C三种股票的统计数据如下表：
收益标准差

股票A　B　C　
收益标准差0　。　4　0　0　。　2　0　0　。　4　0　
收益相关系数
股
A　
B　
C　
票A　
1　。　0　0　
B　
0　。　9　0　
1　。　0　0　
C　
0　。　5　0　
0　。　1　0　
1　。　0　0　

仅从表中信息出发，在等量A和B的资产组合和等量B和C的资产组合中作出选择，
并给出理由。
下表为第2　8、第2　9题中所需的年收益率（1　0年为基准）：　
（单位：％）

名称
2　0　3　0　4　0　5　0　6　0　7　0　8　0　9　0　1　9　8　7　~　
年代①　年代年代年代年代年代年代年代②　1　9　9　6年
大公司股票6　。　9　8　…1　。　2　5　9　。　11　1　9　。　4　1　7　。　8　4　5　。　9　0　1　7　。　6　0　7　。　6　4　1　5　。　3　0　
小公司股票…1　。　5　1　7　。　2　8　2　0　。　6　3　1　9　。　0　1　1　3　。　7　2　8　。　7　5　1　2　。　4　6　8　。　0　5　11　。　11　
长期政府债券1　。　5　7　4　。　6　0　3　。　5　9　0　。　2　6　1　。　1　4　6　。　6　3　11　。　5　0　6　。　7　9　9　。　3　1　
中期政府债券1　。　4　9　3　。　9　1　1　。　7　0　1　。　11　3　。　4　1　6　。　11　1　2　。　0　1　5　。　6　0　8　。　2　3　
短期国库券1　。　4　1　0　。　3　0　0　。　3　7　1　。　8　7　3　。　8　9　6　。　2　9　9　。　0　0　2　。　9　2　5　。　4　8　
通货膨胀率…0　。　4　0　…2　。　0　4　5　。　3　6　2　。　2　2　2　。　5　2　7　。　3　6　5　。　1　0　1　。　9　9　3　。　6　8　

①　1　9　2　6　~　1　9　2　9年。
②　1　9　9　0　~　1　9　9　6年。
资料来源：表5　…　2中的数据。
28。　将上表数据填入电子数据表，计算各类资产收益率和通胀率的序列相关系数，
以及和各类资产之间的相关系数。说明计算数据所揭示的内容。
29。　将表中的1　0年期收益率转化为年收益率，重复第2　8题中的计算和分析。
概念检验问题答案

1。　a。　第一项为wD×wD×D2。因为这是矩阵角上的元素
D2，列上的项wD和行上的
项wD的乘积，用这种方法对协方差矩阵的每一项作运算，就得到：
wD2D2＋wDwEC　o　v　（rE，rD）＋wEwDC　o　v　（rD，rE）＋wE　
2E2

这与8　…　2式是等价的，因为C　o　v　（rE，rD）＝C　o　v　（rD，rE）。

b。　协方差矩阵如下：

202　第二部分资产组合理论

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wX　wYwZ　


2　C　o　v　（rX，rY）　C　o　v　（rX，rZ）　
wY　C　o　v　（rY，rX）　
wX　

X　


2　C　o　v　（rY，rZ）
Y　
2

wZ　C　o　v　（rZ，rX）　C　o　v　（rZ，rY）　

Z　
协方差矩阵中有9个元素，资产组合的方差由这9项算得：


P2＝wX　
2X2＋wY　
2Y2＋wZ　
2Z2＋wXwYC　o　v　（rX，rY）＋wYwXC　o　v　（rY，rX）　
＋wXwYC　o　v　（rX，rZ）＋wZwXC　o　v　（rZ，rX）＋wYwZC　o　v　（rY，rZ）＋wZwYC　o　v　（rZ，rY）　
＝wX2X2＋wY　
2Y2＋wz　
2z2＋2wXwYC　o　v　（rX，rY）＋2wXwZC　o　v　（rX，rZ）＋2wYwZC　o　v　（rY，rZ）　

2。　E（rD）＝8％，E（rE）＝1　3％，　
D　＝1　2％，　
E　＝2　0％，　
（D，E）＝0　。　2　5　
由标准差和相关系数得到协方差矩阵：

股票D　E　
D　1　4　4　6　0　
E　6　0　4　0　0　

得到总体方差最小的资产组合为：

2　

…　Cov（r；　r）　400　…　60　
w=　E　DE　=　=　0。801　9

D　22
D



＋　
E　…　2Cov（rD　；　rE　）　（144　＋　400）…　（2　′　60）　
w　=　1　…　w=　0。198　1
ED　

于是得到期望收益和标准差为：

E（rP）＝（　0　。　8　0　1　9×8　）＋（　0　。　1　9　8　1×1　3　）＝8　。　9　9％　
P　＝＇wD　
2D2＋wE　
2E2＋2wDwEC　o　v　（rD，rE）　＇1　/　2
＝＇　（　0　。　8　0　1　92×1　4　4　）＋（　0　。　1　9　8　12×4　0　0　）＋（　2×0　。　8　0　1　9×0　。　1　9　8　1×6　0　）　＇1　/　2＝11　。　2　9％


对于其他的资产组合，我们将wD从0　。　1　0增至0　。　9　0，相应的wE从0　。　9　0降至0　。　1　0。将这
些资产组合代入期望收益与标准差的计算中，注意在wD或wE为1时，就代表单独持有
该股票，所得期望收益与标准差即为该股票自身的值。

于是我们得到下表：

wE　wD　E（r）　
0　。　0　1　。　0　8　。　0　1　2　。　0　0　
0　。　1　0　。　9　8　。　5　11　。　4　6　
0　。　2　0　。　8　9　。　0　11　。　2　9　
0　。　3　0　。　7　9　。　5　11　。　4　8　
0　。　4　0　。　6　1　0　。　0　1　2　。　0　3　
0　。　5　0　。　5　1　0　。　5　1　2　。　8　8　
0　。　6　0　。　4　11　。　0　1　3　。　9　9　
0　。　7　0　。　3　11　。　5　1　5　。　3　0　
0　。　8　0　。　2　1　2　。　0　1　6　。　7　6　
0　。　9　0　。　1　1　2　。　5　1　8　。　3　4　
1　。　0　0　。　0　1　3　。　0　2　0　。　0　0　
0　。　1　9　8　1　0　。　8　0　1　9　8　。　9　9　11。29　最小方差组合

这样就可以画出图形。

3。　a。股票和风险债券基金的期望收益与方差计算与第2题相似，在给出a部分的图
解时要注意这些计算。另外，基金之间的协方差为：
C　o　v　（rA，rB）＝　


（A，B）×　A×　
B　＝…0　。　2×2　0×6　0＝…2　4　0　

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第8章最优风险资产组合

203　

b。　最优风险组合的权重如下：
（10　…　5）60　2　…　（30…　5）（　…240）
wA　　0。681　8　

（10　…　5）60　2　＋　（30　…　5）20　2　…　30（…240）　
wB　=　1　…　wA　=　0。3182　

收益期望值和标准差为：

E（rP）＝（　0　。　6　8　1　8×1　0　）＋（　0　。　3　1　8　2×3　0　）＝1　6　。　3　6％　
P　＝＇　（　0　。　6　8　1　82×2　02）＋0　。　3　1　8　22×6　02＋2×0　。　6　8　1　8×0　。　3　1　8　2　（…2　4　0　）　＇1　/　2＝2　1　。　1　3％　

注意到，这里最优风险组合的标准差小于A股票，同时，P资产组合并不是整体最
小方差资产组合，整体最小方差资产组合的权重为：

60　2　…　（…　240）

wA　　0。857　1　

60　2　＋　202　…　2（…　240）　
wB　=　1　…　wA　=　0。142　9　

最小方差资产组合的标准差为：


（　m　i　n　）＝＇　0　。　8　5　7　12×2　02＋0　。　1　4　2　92×6　02＋2×0　。　8　5　7　1×0　。　1　4　2　9×（　…　2　4　0　）　＇1　/　2　
=　1　7　。　5　7％　
这个标准差小于最优风险资产组合的标准差。

c。　资本配置线是无风险收益点与最优风险组合的连线，它代表了短期国库券与最
优风险资产组合之间的所有有效率组合，资本配置线的斜率为：
E（　rP　）　…　rf　16。36　…　5　

S　=　　0。537　6　


21。13

P　

d。　在给定的风险厌恶指数A的条件下，投资者愿意投资到最优风险资产组合的比
例为：
y　=　
E（rP　）　…　rf　
2　=　
16。36　…　5　
=　0。508　9　
0。01　′　A　
0。01　′　5　′　21。13　2　
这意味着A＝5的投资者愿意在这个最优风险资产组合中投入5　0　。　8　9％的财产，由于
A、B两种股票在资产组合中的比例分别为6　8　。　1　8％和3　1　。　8　2％，这个投资者分别投资于这
两种股票的比例为：

A股票：0　。　5　0　8　9×6　8　。　1　8＝3　4　。　7　0％
B股票：0　。　5　0　8　9×3　1　。　8　2＝1　6　。　1　9％
总额：5　0　。　8　9％


P　

4。　有效率边界来源于资产管理者对各种投资收益的预测和对风险，即协方差矩阵
的估计。预测本身并不能决定产出，于是选择带有乐观估计的管理者就意味着碰上好
的形势时会得到更大的收益，而在情况恶劣时的损失也会更大。我们应该做的是准确
地回报风险的承担者，于是当投资者看到资产管理者做出的曲线（预测）时，所要做
的应该是得到其预测准确性的纪录，从而选择预测更为准确的。这样进行资产组合的
选择，从长远来看将会更加出色。
5。　a。　资本配置线上的资产组合是风险资产与无风险资产的组合。于是其准确性也
依赖于有效率边界的准确性。如果我们通过“酬报与波动性比率”的准确性来测度预
测的准确性，就会发现，资本配置线上的所有资产组合的准确性都是相同的。
b。　资本配置线上的所有资产组合为P1和购买无风险债券的组合，这样的风险资产
和无风险资产的组合导致了资产期望收益和标准差之间的线性关系：
E（rP1）　…　rf

E（rP　）　=　rf　＋　


P（5　…　b）　
P1　



资本配置线（　C　A　L2）上的资产组合也是一样，只需在（5　…　b式）中用E（rP2）、P2取代
E（rP1）、P1。而投资者希望得到E（rP1）和E（rP2）之间的期望收益率，则需用恰当的比例确
定P1和P2之间的风险资产，从其有效边界得到相应的资产组合。
附录8A　分散化的力量
在8　…　1节中引入了分散化的概念，但是，由于系统风险的原因，限制了进一步分
散化带来的更多的好处。运用我们已有的工具，我们可以更深层次地考察一下分散化，　
同时加深对分散化力量的理解。
前面的8　…　1　0式给出资产组合方差的一般公式，有
（　8　A　…　1　）　
现在首先考虑一个单纯的分散化策略，构建一个等权重的资产组合，每一证券有
一平均的权重：wi＝1　/n。此时8　A　…　1式可以改写为下式（我们把i＝j时的情况分别写出），　
注意，C　o　v　（ri　，rj）＝　i
2，　
（　8　A　…　2　）　
8　A　…　2式中包含n项方差和n（n…1　）项协方差。
如果我们定义证券的平均方差和平均协方差为
我们可以将资产组合方差的表达式改写为
（　8　A　…　3　）　
现在考察一下分散化的影响。当证券收益之间的平均协方差为零时，这是因为此
时所有的风险都是公司特定风险，资产组合的方差可为零。我们从8　A　…　3式中可以看到：　
在这样的情景下，右边第二项为零，而当n足够大时，第一项趋近于零。因此，当证
券收益不相关时，资产组合分散化的力量对于限制资产组合的风险是无限的。
但是，最重要的经济领域的风险因素使得股票的收益是正相关的。在这种情况下，　
尽管资产组合有更大程度的分散化（　n增大），资产组合的方差仍为正。尽管8　A　…　3式中
第一项表示的公司特定风险可以分散掉，但是，第二项在n增大时，将趋近于平均协
方差＇注意，（n…1　）　/n＝1…1　/n，当n很大时，此式趋近于1　＇。因此，分散化的资产组合不
可降低的风险依赖于资产组合中各项资产收益的协方差，而它也是经济中重要的系统
因素的函数。
为了进一步考察系统风险与证券相关性的关系，假定所有证券有同样的标准差，　
而且所有证券间的相关系数为，每对证券的协方差为2，8　A　…　3式变为：　
（　8　A　…　4　）　
现在相关性的影响就非常清楚了，当＝0时，我们再次得到了保险原则，资产组
合的方差在n足够大时趋向于0，当＞0时，资产组合方差为正。实际上，当＝1时，　
资产组合的方差不管n为多大都等于2，这表明分散化没有好处。当资产组合中各项
资产的收益完全相关时，现有的风险都是系统风险。一般来说，当n足够大时，　8　A　…　4　
P
2　=　
1
n　
2　＋　
n　…　1　
n　
2　
P
2　=　
1
n　
2　＋　
n　…1　
n　
Cov　
2　=　1
n　i
2　
i=1　
n。　
Cov　=　1　
n（n　…1）　
Cov（ri　；　rj　）　
i=1　
n。
j　=1　
j　1i　
n。　
P
2　=　
1
n　
1　
i　=1　n　
n。
i
2　＋　
1　
n2　
i　=1　
n。
j　=1　
j1i　
n。
Cov（ri
；　rj）　
P
2　=　wiwj　
i=1　
n。
j=1　
n。
Cov（ri
；　rj）　
204　第二部分资产组合理论下载

下载　
第8章最优风险资产组合

205　

式显示系统风险为


2。
表8　A　…　1中列出在证券数目增加，
＝0和
＝0　。　4两种情况下资产组合的标准差。表
中取
＝5　0％，正如人们所意料的，资产组合风险在
＝0　。　4时较大。更令人吃惊的是在
相关性为正的情况下，当n增加时，资产组合的风险并不怎么减少，证券的相关性限
制分散化的威力。
表8A…1　相关及非相关等权重资产组合的风险降低情况


＝0　


＝0　。　4　
整体规模最优组合标准差标准差


的降低
比例1　/n（％）（％）　
的降低
（％）　

1　1　0　0　5　0　。　0　0　1　4　。　6　4　5　0　。　0　0　8　。　1　7　
2　5　0　3　5　。　3　6　4　1　。　8　3　
5　2　0　2　2　。　3　6　1　。　9　5　3　6　。　0　6　0　。　7　0　
6　1　6　。　6　7　2　0　。　4　1　3　5　。　3　6　
1　0　1　0　1　5　。　8　1　0　。　7　3　3　3　。　9　1　0　。　2　0　
11　9　。　0　9　1　5　。　0　8　3　3　。　7　1　
2　0　5　11　。　1　8　0　。　2　7　3　2　。　7　9　0　。　0　6　
2　1　4　。　7　6　1　0　。　9　1　3　2　。　7　3　
1　0　0　1　5　。　0　0　0　。　0　2　3　1　。　8　6　0　。　0　0　
1　0　1　0　。　9　9　4　。　9　8　3　1　。　8　6　

在1　0　0种证券的资产组合中，当各证券不相关时，标准差为5％，而且可能降至0。
当


＝0　。　4时，标准差很大，为3　1　。　8　6％，非常接近于不可分散的系统风险，系统风险
为
2　

=　


0。4　′　50　2　=　31。62％　
因此，进一步分散化的价值不大。

我们从这里还有更重要的发现，当我们持有分散化的资产组合时，单个证券对资
产组合风险的影响取决于它与其他证券收益的协方差，而不是它的方差。正如我们将
在第9章看到的，风险溢价也取决于协方差而不是总收益的方差。


概念检验

问题8　A　1：假定一个风险证券资产组合中包含大量的股票，它们有相同的分布：

E（r）＝1　5％，　


＝6　0％，相关系数r＝0　。　5。
a。　含有2　5种股票的等权重资产组合的期望收益和标准差是多少？
b。　构造一个标准差小于或等于4　3％的有效资产组合所需最少的股票数量为多少？
c。　这一资产组合的系统风险为多少？
d。　如果国库券的收益率为1　0％，资本配置线的斜率为多少？
概念检验问题8　A　1答案

8A1。　本题的有关参数为E（r）＝1　5％，＝6　0％，相关系数


＝0　。　5。
a。　资产组合的期望收益与资产组合规模无关，因为所有证券具有相同的期望收益。
当n＝2　5种股票时，资产组合的标准差为：
/　2＋　
×　
2（n…1　）　/n＇1　/　2＝＇　6　02/　2　5＋0　。　5×6　02×2　4　/　2　5　＇1　/　2＝4　3　。　2　7
P　＝＇　
2


b。　因为所有股票是相同的，因此有效资产组合是等权重的，要得到标准差为4　3％　
的资产组合，我们需要解出n：　

206　第二部分资产组合理论

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602　602（n　…　1）

432　=＋　0。5　′　

nn　
1　849n　=　3　600＋　1　800n　…　1　800　
1　800　

n　=　=　36。73　
49　
因此我们需要3　7种股票。

c。　当n变得非常大时，等权重有效资产组合的方差将消失，剩下的方差来自股票
间的协方差：
=　


′　2　

=　


0。5　′　602　=　42。43
P　

n＝2　5　时，我们得到系统风险（原文如此，这里应为非系统风险。—译注）

0　。　8　4％，即2　5种股票的资产组合的非系统风险为0　。　8　4％。n＝3　7时，资产组合的标准差
为4　3％，非系统风险为0　。　5　7％。
d。　如果无风险利率为1　0％，那么不论资产组合规模为多大，风险溢价为1　5－1　0＝5％，　
充分分散的资产组合的标准差为4　2　。　4　3％，资本配置线的斜率为S＝5　/　4　2　。　4　3＝0　。　11　7　8。
附录8B　保险原则：风险分担与风险聚集
均值…方差分析已经被投资专家们牢牢掌握