中国古代科学家传记-第138章
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（7）正弦求弧背
r
a）3 12 ·32 · r
a5
（sin （sin ）
a = r sin
a ＋ 4 ＋ r ＋ 。；
r3！r2 5！r4
（8）正矢求弧背
ì 2rversa
12（2rversa）2 12 ·22 （2rvers
a
） 3 ü
a2 = 2írr ＋ r ＋ 4 ＋ 。；
。 2！ 4！ 6！r 。
（9）矢求弧背
（2a） 2 = 2
ì
r·
8b
＋
（8b）2
＋
12 ·22 ·（8b）3
＋ y
ü
í 。。
。 2！ 4·4！ 42 ·6！r t
如图1，式中r 为圆半径，c 为AD 弦长，a 为AC 弧长，2a 为AD 弧长，b
为BC 中矢长。在公式（1）至（9）中，主要的是五个公式，即（1），
（ ），（ ），（ ），（ ）。如分别以弧度378 x=
a 或x = sin
a ，x = 2vers
a
2
rr r
表示，则公式（2），（3），（7），（8）即可化为现在通用的三角函数
幂级数展开式：
sinx = x …1
x3 ＋ 1
x5 …1
x7 ＋ 。，
3！ 5！ 7！
versx = 1
x2 …1
x4 ＋ 1
x6 …。，
2！ 4！ 6！
1 312 ·32
512 ·32 ·52
7
arcsinx = 1 ＋ x ＋ x ＋ x ＋ 。，
3！ 5！ 7！
ì 2 22 222 ü
（arcvers ） = 2x ＋ x ＋ x ＋ x ＋y
x2 í
1 121 ·2 31 ·2 ·34 。。
2 。2！ 4！ 6！ 8！ t
在清代相当长的一段时间里，上述九个公式曾被称为“杜氏九术”，
这是不恰当的。其中原委几经周折才为人们所了解。实际上，π的无穷级
数表达式，即公式（1），是牛顿发现的，正弦和正矢的幂级数展开式，即
公式（2）和（3）是英国数学家J。格雷戈里（Gregory，1638—1675）发
现的。清初，法国传教士杜德美（P。Ja…rtoux，1668—1720）来华，把这
三个公式介绍给中国学者。著名数学家梅文鼎之孙梅■成将其收入《梅氏
丛书辑要》的附录《赤水遗珍》，并分别称为“求周径密率捷法”和“求
弦矢捷法”。这三个公式是西方数学中较新的成果，它以与中国传统数学
截然不同的形式和内容，为计算圆周率和三角函数值提供了新的算法，向
中国数学界展示了一个新的广阔的领域，因而受到许多中国数学家的欢迎
和重视。另一方面，杜德美虽然传入了这些公式，但他并没有给出证明，
没有介绍公式的推导方法，所以给当时的数学工作者掌握和运用这些知识
带来一定的困难。显而易见，只有几个孤零零的公式，并不能使人信服，
更不能反映这种方法的实质，正如有人所说的“特未详立法之根，学者恒
苦莫抉其旨”，甚至还有人产生了怀疑和误解，指责这种方法只不过是“巧
合”。当时一些优秀数学家出于理论和实践的需要，并不满足于盲目引用
片断的公式，而是想方设法积极了解这些公式成立的道理，探索它们的证
明方法，力求真正理解外国的先进成果，使之变成自己手中运用自如的工
具，这也正是明安图深入研究无穷级数问题的起因。
明安图青年时代曾与梅■成一起工作，并且很可能与杜德美有所接
触，因此他很早就知道了杜德美传入的三个公式。在钦天监的繁忙工作之
余，他致力于研究这些公式的证明方法。经过30 余年的不懈努力，他融会
贯通了中国传统数学知识与刚刚传入的西方数学知识，圆满地证明了公式
（1），（2），（3），同时还得到另外六个公式。明安图在推导这些公式
的过程中，创立了割圆连比例法和级数回求法这两种重要的数学方法。割
圆连比例法的中心思想是把任意弧n 等分，根据相似三角形对应边成■比
例的关系，得出一系列比例关系式，求出相应折线的长度，然后用折线逼
近圆弧，从折线与弦矢的关系导出弧与弦矢的关系（见图2）。具体运算
的着眼点则在于推算无穷级数各项系数。级数回求相当于级数反演，是求
反函数展开式的一种有效方法。他的工作在数学原理方面体现了曲直互通
思想，及从有限到无穷的认识上的飞跃。他所独立得到的六个公式中，有
些也是比较先进的。例如，牛顿在1666 年通过无穷级数逐项积分的方法，
推导出arcsinx 的幂级数展开式，而在1669 年又用级数回求法给出这一公
式。日本数学家建部贤弘（KatahiroTakebe），在1722 年采用与明安图不
同的分析方法得到了同一公式。关于反正矢平方的幂级数展开式，是1737
年L。欧拉（Euler）在给伯努利（Bernoulli）的一封信中提出的，但直到
1817 年这一公式才由另外的人公开发表。明安图发现公式（7），在时间
上要比牛顿和建部贤弘晚些，发现公式（8），则几乎与欧拉同时，而正式
发表的时间却要早些。
图2 割圆连比例法示意图
明安图的数学成就总结在《割圆密率捷法》一书中。这部书在他生前
只完成一部分，他在晚年病危时，将手稿交给小儿子明新，并转嘱他的学
生陈际新说：“此‘割圆密率捷法’也。内圆径求周，弧背求弦，求矢三
法，本泰西杜德美氏所著，实古今所未有也。亟欲公诸同志，惜仅有其法
而未详其义，恐人有金针不度之疑。予积解有年，未能卒业。汝与同学者
务续成之，则予志也。”后来，陈际新、张肱和明新遵从明安图的遗愿和
他生前的指点，于乾隆三十九年（1774）将《割圆密率捷法》整理成书。
然而遗憾的是，这部书稿却为“某氏所秘，未经刊布”，它的收藏者张敦
仁甚至不肯出示给著名数学家汪莱，因而未能及时发挥应有的作用。后来
汪莱和董■诚等虽然看到原稿抄本，但却笼统地冠以“杜氏九术”的名称。
直到1821 年罗士琳从戴敦元处影抄原本，1839 年岑建功将其刊刻行世，
人们才了解到这是明安图的成果，《割圆密率捷法》才得以广泛流传。在
中国数学史上，清代的无穷级数研究是一个相当活跃的领域，可说是人才
辈出，成果累累。溯本求源，明安图的创始之功无疑应该给予充分的肯定。
从研究内容和数学方法上来说，诸如董■诚、项名达、戴煦、徐有壬、李
善兰等数学名家，都受到了他的影响。中国学者在这一领域运用具有传统
数学特色的方法，基本上解决了三角函数、对数等初等函数的幂级数展开
式问题，其中包含了某些微积分思想的萌芽，从而为顺利接受R。笛卡儿
（Desca…rtes）、牛顿、G。W。莱布尼茨（Leibniz）创立的解析几何、微积
分等近代数学知识，推动中国数学从常量数学到变量数学，从初等数学到
高等数学的发展，奠定了重要的思想基础。我国著名数学史家李俨曾指出：
“明安图以三十年之精思，始撰成《割圆密率捷法》，以解析九术，并由
连比例三角形入手。此数与形的结合，堪与笛卡儿创解析几何媲美。”日
本数学史家三上义夫亦曾指出：“圆理发达为最紧要之事件，可比西洋定
积分，其算法则始于所谓杜氏九术。”
在天文学方面，明安图参加编纂了三部重要的天文学著作。康熙五十
二年（1712），康熙皇帝发起编撰《律历渊源》100 卷。这部巨著包括《数
理精蕴》、《历象考成》和《律吕正义》三部书，系统地整理和总结了我
国传统的天文历法和数学成就，也吸取了当时传入中国的西方天文数学知
识，可说是一部数学、天文和音律方面的百科全书。《律历渊源》于康熙
六十一年（1722）完成。明安图担任其中《历象考成》一书的考测工作。
他的任务主要是对于书中的理论和数据进行实际考察和检验计算。该书分
上下两篇，共42 卷，采用西方古典天文学的第谷（Tycho Brahe，1546—
1601）体系，这在当时的世界上已不先进。其主要成就是在实测方面。例
如用实测数据改进了当时传入我国的第谷体系的黄赤交角数据；推算时
差，考虑到太阳在黄道上运动的影响和太阳运动不均匀性两个因素而分别
列表，等等。这些成就都是经过实测得来的，因而是与担任考测工作的明
安图分不开的。乾隆二年（1737）至乾隆七年（1742），明安图参加编写
《历象考成后编》，担任副总裁和汇编，是这部书的主要作者之一。《历
象考成后编》共10 卷，采取J。D。卡西尼（Cassini，1625—1712）的椭圆
学说，应用了行星运动的椭圆定律和面积定律，在天文观测上引进更为精
确的视差和蒙气差，等等。这些内容比起《历象考成》来，有了很大的进
步。其中用来推算日、月运行的“日躔”和“月离”二表，原来附在《历
象考成》之后，由于没有解释和推导，以至后来钦天监里只有明安图和两
名传教士能够懂得和使用，因此在《历象考成后编》里做了详细的说明。
乾隆九年（1744）至乾隆十七年（1752）编撰《仪象考成》，明安图担任
推算工作。《仅象考成》共32 卷，前两卷介绍新制造的大型天文仪器玑衡
抚辰仪的性能和用法，后30 卷是星表。据研究，《仪象考成》星表是以
1725 年美国修订再版的J。弗拉姆斯蒂德（Flamste…ed，1646—1719）星表
为底本，在实测和推算的基础上编成的。星表共载录3083 颗星，比过去的
记载增加了1600 多颗。有的星是经过验证之后采用了弗氏星表的数据，再
加上岁差修正值；有的则是用自己测定的数据。整个星表达到了当时的世
界先进水平。编撰《仪象考成》的数学计算特别是编制星表的计算任务十
分繁重，其中凝聚了明安图的大量心血。
明安图在地图测绘方面也有重要贡献。他曾两次亲赴新疆地区参加地
图测绘工作。康熙时期，清政府组织了一次大规模的大地测量，并据以绘
制成著名的《皇舆全览图》。但当时未能对我国新疆西部进行实测。乾隆
时期，清政府又先后两次派人到西北地区继续进行测量。第一次在乾隆二
十一年（1756）二月开始，十月结束。这次测量由何国宗主持，明安图随
同前往。测量队从巴里坤开始分南北两路展开，完成了天山北路及天山南
路一小部分地区的测量。第二次在乾隆二十四年（1759）五月开始，由明
安图主持，经过近一年的时间，完成了天山南路的测量。测量中一般采用
天文测量和三角测量两种方法，根据太阳午正高弧决定地理纬度，根据月
食差时推算地理经度，但在测量经度时较多采用三角测量法。经过这两次
测量，获得了哈密以西至巴尔喀什湖以东以南广大地区90 多个点（不完全
统计）的测量资料，所测得的绝对位置虽有不精确之处，但其相对位置比
较精确。经过实地测量和调查研究，对于当地的山川险易，道路远近，历
史沿革，掌握了大量的第一手资料，并且将该地区的节气时刻载入了当时
的时宪书。至此，对于我国新疆地区的疆界、地域情况有了更加清楚的了
解。《乾隆内府舆图》就是在《皇舆全览图》和这两次实地测量的基础上
绘制而成的，并成为此后相当长一段时间内我国编绘地图的蓝本。
文献
原始文献
＇1＇（清）明安图：割圆密率捷法，岑氏刊本， 1839。
研究文献
＇2＇（清）罗士琳：畴人传续编·卷四十八，商务印书馆重印本，1955。
＇3＇（清）左潜：缀术释明，《白芙堂算学丛书》本，1876。
＇4＇李俨：明清算家的割圆术研究，见《中算史论丛》第3 集，科学出
版社，1955，第252—518 页。
＇5＇钱宝琮主编：中国数学史，科学出版社，1964，第301—312 页。
＇6＇钱宝琮：中国算书中之周率研究，见《钱宝琮科学史论文选集》，
科学出版社，1983。
＇7＇严敦杰：明安图，见中国科学院自然科学史研究室编《中国古代科
学家》修订本，科学出版社，1963。
＇8＇李迪：蒙古族科学家明安图，内蒙古人民出版社，1978。
＇9＇史筠：蒙古族科学家明安图，内蒙古大学学报（社会科学版），1963，。。
1，第53—88 页。
＇10＇史筠：明安图在钦天监五十余年工作记略，内蒙古大学学报（社
会科学版），1963，1，第89—101 页。
＇11＇何绍庚：明安图的级数回求法，自然科学史研究，3（1984），2，
第209—216 页。
＇12＇何绍庚：清代无穷级数研究中的一个关键问题，自然科学史研究，
8（1989），3，第205—214 页。
＇13＇三上■夫：清朝时代■割圆术■发运■■■■考察，东洋学报，
81（1930），3 与4。
＇14＇川原秀城：中国■无限小解析，京都大学人文科学研究所研究报
告，1989，第223—316 页。
＇15＇C。Jami：。。
LesméthodesrapidespourlatrigonométrieetLerapportprécis da
cercle。InstitntdesHautes■tudeschinoises，collegedeFrance，。。
DeBoccard，1990。
齐召南
程鹏举
齐召南字次风，号琼台，晚年号息园。浙江天台人。清康熙四十二
年（1703 年）生；乾隆三十三年五月二十三日（1768 年7 月7 日）卒。史
学、地理学。
齐家世居天台，齐召南曾祖齐之仲、祖父齐仁龙、父齐鼐均为官。齐
召南自幼聪慧过人，被称为神童。16 岁时，受教于名士何世■（康熙进士，
累官至直隶总督）。雍正七年（1729）乡试，中副贡生。乾隆元年（1736），
以博学鸿词受荐参加御试，获二等第八名，入为翰林院庶吉士。乾隆八年
（1743），经大考升任右中允，任日讲起居注官、侍读学士。乾隆十三年，
又在大考中获一等第一名，升为内阁学士上书房行走，又迁礼部侍郎。其
间先后任《大清一统志》、《大清会典》、《明鉴纲目》、《续文献通考》
等书的纂修官及副总裁官，并受命勘定通礼。
齐召南学识渊博，为一时名士。何世■多次称赞年轻时的齐召南为“我
朝奇士”。他悟性极高，记忆力惊人。史载其读书一目十行，且终生不忘。
曾向人借阅稀见书籍8 册，次日即归还主人，说已读完。主人不信，抽取
一二册询问，齐召南竟回答得一字不差，主人大惊。又传说齐召南眼力也
异于常人，瞳孔小而有神，在山上能看清一二十里外船夫的衣着。他面貌
清癯，身材不高，衣着简朴，有如普通村民。入翰林院后，很得清高宗乾
隆的器重。一次，有人进献古铜镜一面，齐召南从铜镜的款式、铭文等为
乾隆一一分析，头头是道。乾隆大喜，称赞齐召南不愧是博学鸿词之士。
齐召南的地理知识也极为广博，当时前往边疆地区的使臣往往都先到齐召
南家，询问当地情况。齐召南则赠手稿一份，注明沿途驿站情况、道里远
近等等。十四年四月二十九日（1749 年6 月13 日），齐召南在圆明园内
因马受惊摔下，头部撞及大石，颅骨破裂，伤势垂危。乾隆派蒙古医救治，
并频频遣人探视。蒙医采用土方，用新鲜牛脑敷在头骨破裂处。齐召南卧
床3 个多月，伤势才稍有好转，但步履蹒跚，手不能握笔，连以前的许多
事情也记不清了。于是齐召南在这年冬天请求退职回乡，乾隆虽再三挽留，
最后还是同意了。
回到天台后，齐召南曾主持蕺山、敷文、万松等书院，同时一心从事
撰著。后乾隆四次南巡，齐召南前往迎驾，乾隆每次都加召见，询问病况，
并以诗相唱和，赏赐颇丰。乾隆三十二年（1767），由于族人齐周华刊刻
涉�
