中国古代科学家传记-第80章

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设圆径为x，直池长为y，阔为z，则

ì　32　32
。　4x　…yz　=　5760；（　圆面积=　
4＇直径＇　

。　x　


y2　＋　x2　

=　113；　

。　22　

。z　＋　34　=　y
但李冶却设法避免了联立方程。
依本题法，设角斜为x，则圆径=x＋113，


四圆积=3（x＋113）2=3x2＋678x＋38307，　

所以四池积=四圆积…4×5760

=3x2＋678x＋15267。（1）

因为池斜=113…x，

所以二池积=（113…x）2…342　

=x2…226x＋11613，


所以四池积=2x2…452x＋23226。（3）

由（1），（3）消得

x2＋1130x…7959=0。

题中（2）式所用二积一较幂公式2ab＋（a…b）2=a2＋b2　

图3

便体现了出入相补原理。这从李冶的条段图中可以看得很清楚，如图
3，四勾股形全等，每个勾股形勾b　股a　弦c。求出角斜后，易求圆径。从
圆积减去外计地，得池积，由长方形面积公式便可求出池长、池阔了。这
种方法显然比解三元方程组简便。

另外，李冶还在列方程时首创设辅助未知数的方法。第四十问中得到
方程
…22。5x2…648x＋23002=0　
后，李冶为了使最高项系数的绝对值变为1，便作如下变形（译文）：
设y=22。5x，则上式变为
…y2…648y＋517545=0。
开方，得
y=465，　
所以

x　=　20　
23　
。

李冶称这种设辅助未知数的方法为连枝同体术。顾名思义，他是把辅
助未知数看作与原方程连为一体的一个分枝。这种方法在代数学史上是有
意义的，因为它提供了方程变形的一个有力工具。

此题的另一种解法是首先“立天元一为三个内池径”，这相当于设
y=3x。李冶称此法为之分术，实际也是一种设辅助未知数的方法，也能起
到简化方程的作用。依法演算，得

…2。5y2…216y＋23002=0。
两种方法的区别在于：之分术把设辅助未知数的步骤放于题首，而连
枝同体术把这一步骤用于方程变形。

《益古演段》的成书，为天元术的应用开辟了更为广阔的道路。砚坚
称赞此书说：“颇晓十百，披而览之，如登坦途，前无滞碍。旁溪曲径，
自可纵横而通。。真学者之指南也。”《测圆海镜》是天元术的代表作，
而《益古演段》是普及天元术的杰作。两书相辅相成，互为表里，反映了
作者既努力提高数学的一般化程度，又注意发挥其社会效益的精神。

李冶死后不久，天元术理论便经过二元术、三元术，迅速发展为朱世
杰的四元术。如果说在李冶手中，天元术已成为参天大树，那么在李冶之
后，这棵大树便在第二代数学家的培育下，结出了四元术的累累硕果。


纵观李冶一生，不管是在为人上还是在学术上，都不愧为一代楷模。
他在任钧州知事期间，为官清廉、正直，亲自掌管出纳，一丝不苟。据载，
钧州城的出纳“无规撮之误”。在当时动乱的环境中，像李冶这样的清官
确实是难能可贵的。李冶在《敬斋古今■》中说：“好人难做须著力”，
又说：“著力处政是圣贤阶级”，这正是他为人做官的写照。他同情人民，
面对蒙古军队的屠杀和抢掠，不仅在诗文中表现了极大的愤慨，而且在见
忽必烈时，力劝蒙古统治者“止征伐”。他一生热爱科学，追求自由，决
不负辱求名。在学术上不迷信名家，敢于突破传统观念的束缚。他虽是通
儒出身，但当他认识到数学的重要性时，便专攻数学，这种行动本身就是
对传统儒学的批判，因为在儒家看来，数学“可以兼明，不可以专业”。
当时盛行的新儒学——程朱理学，甚至把研究科技看作“玩物丧志”，把
数学说成“九九贱技”。李冶毫不客气地批评了这些错误观点，指出在朱
熹的著述中“窒碍之处亦不可以毛举也”。

值得注意的是，李冶的思想深受道家影响。道家崇尚自然，这无疑是
有利于把人们的眼光引向自然科学的。老庄的自然观甚至成为李冶抵制唯
心主义理学的思想武器。他说：“由技兼于事者言之，夷之礼，夔之乐，
亦不免为一技；由技进乎道者言之，石之斤，扁之轮，非圣人之所与乎？”
（夷，黄帝臣名；夔，舜臣名。石，扁，均为古工匠名）这就是说，从技艺
用于实际来说，圣人所作的礼和乐也可看作一种技艺；从技艺中包含自然
规律（即“道”）来说，工匠使用的工具也是圣人所赞赏的。如果我们把李
冶的话同庄子所说的“道者，万物之所由也。。。道之所在，圣人尊之”
联系起来，李冶受庄子思想的影响是一目了然的。很明显，他认为数学这
种技艺也是“道之所在”，也应受到尊重。

李冶还认为，数虽奥妙无穷，却是可以认识的，他说：“谓数为难穷，
斯可；谓数为不可穷，斯不可。何则？彼其冥冥之中，固有昭昭者存。夫
昭昭者，其自然之数也。非自然之数，其自然之理也。”李冶的这一思想，
也可以从老庄学说找到渊源。庄子说：“夫昭昭生于冥冥，有伦生于无形。”
老子说：“人法地，地法天，天法道，道法自然”，“道之尊，德之贵，
夫莫之命而常自然。”正是由于对自然的深刻理解，李冶进一步指出：“数
一出于自然，吾欲以力强穷之，使隶首复生，亦末如之何也已。苟能推自
然之理，以明自然之数，则虽远而乾端坤倪，幽而神情鬼状，未有不合者
矣。”

李冶不仅有比较先进的哲学思想，而且能在极为艰苦的条件下进行顽
强的科学研究。他在桐川著书时，居室十分狭小，甚至常常不得温饱，要
为衣食而奔波。但他却以著书为乐，从不间断自己的工作。他的学生焦养
直说他“虽饥寒不能自存，亦不恤也”，在“流离顿挫”中“亦未尝一日
废其业”，“手不停披，口不绝诵，如是者几五十年”。另外，他还善于
去粗取精，批判地接受前人知识，正如他自己所说：“学有三，积之之多
不若取之之精，取之之精不若得之之深。”这些优良品质，都是李冶在学
术上取得杰出成就的重要原因。

李冶时代，数学不受重视。但李冶却执着地追求真理，他在《测圆海
镜序》中说：“览吾之编，察吾苦心，其悯我者当百数，其笑我者当千数。
乃若吾之所得则自得焉耳，宁复为人悯笑计哉？”李冶不仅学术精深，而
且致力于传徒授业，对学生循循善诱。后人盛赞李冶“导掖其秀民，仁之


至也。其徒卒昌于时，孰不曰文正公所作成也”（文正为李冶谥号）。李冶
以自己的毕生心血，在中国科学史上写下了光荣的一页，被人们深深怀念
着。

文献
原始文献


＇1＇（元）李冶：测圆海镜细草，《知不足斋丛书》本，1798。
＇2＇（元）李冶：益古演段，《丛书集成》本，商务印书馆，1936。
＇3＇（元）李冶：敬斋古今■，《丛书集成》本，商务印书馆，1935。
＇4＇（元）李冶等：敬斋古今■附录，《藕香零拾丛书》本，1895。
＇5＇（周）老聃：老子·第二十五章、五十一章，见中国社会科学院哲学

研究所中国哲学史研究室编《中国哲学史资料选辑·先秦之部》，中华书
局，1964。
＇6＇（周）庄周：庄子·秋水、渔父，见陈鼓应《庄子今注今译》，中华
书局，1988。
＇7＇（魏）刘徽注：九章算术·卷八、卷九，见钱宝琮校点《算经十书》，

中华书局，1963。
＇8＇（元）朱世杰：算学启蒙·卷下，据（朝）金始振藏本重刊，1839。
＇9＇（金）元好问：元遗山先生全集·卷首、卷十七，读书山房刻本，1881。
＇10＇（明）宋濂：元史，中华书局，1976。
＇11＇（元）脱脱等：金史，中华书局，1975。
＇12＇（元）苏天爵：元朝名臣事略·卷十、卷十三，中华书局影印元刊

本，1962。

研究文献

＇13＇（清）胡岳：元氏县志·卷十一，1875。
＇14＇（清）陈■：栾城县志·卷二、卷六、卷十一，1873。
＇15＇（明）唐雷礼：真定府志·卷二十七，明刻本。


＇16＇孔国平：李冶传，河北教育出版社，1988。
秦九韶

何绍庚
秦九韶字道古。普州安岳（今四川安岳）人。南宋嘉泰二年（1202
年）生；约景定二年（1261　年）卒于梅州（今广东梅县）。数学。

秦九韶祖籍鲁郡（今河南范县），其父秦季■，字宏父，绍熙四年（1193）
进士，后任巴州（今四川巴中）守。嘉定十二年（1219）三月，兴元（今陕西汉
中）军士张福、莫简等发动兵变，入川后攻取利州（今广元）、阆州（今阆中）、
果州（今南充）、遂宁（今遂宁）、普州（今安岳）等地。在哗变军队进占巴州
时，秦季■弃城逃走，携全家辗转抵达南宋都城临安（今杭州）。在临安，
秦季■曾任工部郎中和秘书少监等官职。宝庆元年（1225）六月，被任命为
潼川知府，返回四川。

秦九韶自幼生活在家乡，18　岁时曾“在乡里为义兵首”，后随父亲移
居京都。他是一位非常聪明的人，处处留心，好学不倦。其父任职工部郎
中和秘书少监期间，正是他努力学习和积累知识的时候。工部郎中掌管营


建，而秘书省则掌管图书，其下属机构设有太史局，因此，他有机会阅读
大量典籍，并拜访天文历法和建筑等方面的专家，请教天文历法和土木工
程问题，甚至可以深入工地，了解施工情况。他又曾向“隐君子”学习数
学。他还向著名词人李刘学习骈俪诗词，达到较高水平。通过这一阶段的
学习，秦九韶成为一位学识渊博、多才多艺的青年学者，时人说他“性极
机巧，星象、音律、算术，以至营造等事，无不精究”，“游戏、■、马、
弓、剑，莫不能知”。

1225　年，秦九韶随父亲至潼川，担任过一段时间的县尉。数年后，李
刘曾邀请他到南宋国史院校勘书籍文献，但未成行。端平三年（1236）元兵
攻入四川，嘉陵江流域战乱频仍，秦九韶不得不经常参与军事活动。他后
来在《数书九章》序中写道：“际时狄患，历岁遥塞，不自意全于矢石间，
尝险罹忧，荏苒十■，心槁气落”，真实地反映了这段动荡的生活。由于
元兵进逼和溃卒骚乱，潼川已难以安居，于是他再度出川东下，先后担任
过蕲州（今湖北蕲春）通判及和州（今安徽和县）守，最后定居湖州（今浙江吴
兴）。秦九韶在任和州守期间，利用职权贩盐，强行卖给百姓，从中牟利。
定居湖州后，所建住宅“极其宏敞”，“后为列屋，以处秀姬、管弦”。
据载，他在湖州生活奢华，“用度无算”。

淳■四年（1244）八月，秦九韶以通直郎为建康府（今江苏南京）通判，
十一月因母丧离任，回湖州守孝。在此期间，他专心致志研究数学，于淳

■七年（1247）九月，完成数学名著《数书九章》。由于在天文历法方面的
丰富知识和成就，他曾受到皇帝召见，阐述自己的见解，并呈有奏稿和“数
学大略”（即《数书九章》）。
宝■二年（1254），秦九韶回到建康，改任沿江制置使参议，不久去职。
此后，他极力攀附和贿赂当朝权贵贾似道，得于宝■六年（1258）任琼州守，
但三个月后被免职。同时代的刘克庄说秦九韶“到郡（琼州）仅百日许，郡
人莫不厌其贪暴，作卒哭歌以快其去”，周密亦说他“至郡数月，罢归，
所携甚富”。看来，由于他在琼州的贪暴，百姓极为不满。秦九韶从琼州
回到湖州后，投靠吴潜，得到吴潜赏识，两人关系甚密。吴潜曾相继在开
庆元年（1259）拟任以司农寺丞，景定元年（1260）拟任以知临江军（今江西清
江），都因遭到激烈反对而作罢。在这段时间里，秦九韶热衷于谋求官职，
追逐功名利禄，在科学上没有显著成绩。在南宋统治集团内部的激烈斗争
中，吴潜被罢官贬谪，秦九韶也受到牵连。约在景定二年（1261），他被贬
至梅州做地方官，“在梅治政不辍”，不久便死于任所。

秦九韶在数学上的主要成就是系统地总结和发展了高次方程数值解法
和一次同余组解法，提出了相当完备的“正负开方术”和“大衍求一术”，
达到了当时世界数学的最高水平。

我们知道，古典代数学的中心课题是方程论，我国古代对于列方程和
解方程都曾取得杰出的成就。早在《九章算术》中便已载有开平方术和开
立方术，后来又有“开带从平方”、“开带从立方”等二次和三次方程的
数值解法，祖冲之父子和王孝通等都对这一课题进行了深入研究。在11
世纪，宋代数学家贾宪又创造一种新的开方法——增乘开方法，通过随乘
随加导出减根方程，逐步求出高次方程的正根。以上这些方法都要求方程
各项系数为正整数。在宋代，有不少数学家研究了高次方程数值解法，特


别是刘益提出的“正负开方术”，方程系数可正可负，取消了以前对方程
系数只允许为正整数的限制。但是，这些工作还不够完整和系统。秦九韶
在前人工作的基础上，提出一套完整的利用随乘随加逐步求出高次方程正
根的程序，亦称“正负开方术”，现称秦九韶法。对于形如

f（x）=a0xn＋a1xn…1＋。an…1x＋an=0


的高次方程及其正根，秦九韶将其表示为下图的形式。这与古代开方
术的分离系数表示法基本一致，只是他令“实”常为负（an＜0），这一点有
所差别。图中的数码用筹算数字。下面以《数书九章》“尖田求积”问题

为例说明秦九韶高次方程数值解法的运算步骤：

（1）依据术文列出方程
…x4＋763200x2…40642560000=0，　
布置算筹如图式（1）。“益隅”是指x4　的系数是负数，“从上廉”是指x2　
的系数是正数，“虚”表示系数为零，“实”规定为负数。

（2）把“上廉”向左移四位，“隅”向左移八位，算得上商8，放在“实”
的百位数上边，如图式（2）。这实际上相当于对原方程进行x=100x1　的变
换，得
…108x41＋763200·104x21…40642560000=0。


（3）以商8　乘益隅得…800000000　置负下廉。以8　乘负下廉，与原有的
上廉相消，得1232000000　为上廉。以8　乘上廉得9856000000　为方。以8
乘方得“正积”78848000000，以原有的负实与正积相加，得正实
38205440000。如图式（3）。
（4）以8　乘益隅，并入下廉得…1600000000。以8　乘下廉，与原有的正
上廉相消得…11568000000　为负上廉。以8　乘上廉与原有的方相消，得
82688000000　为负方，如图式（4）。
（5）以8　乘益隅，并入下廉得…2400000000。以8　乘下廉，并入上廉，
得…30768000000　为负上廉。如图式（5）。

（6）以8　乘益隅，并入下廉得…3200000000　为负下廉。如图式（6）。
（7）把“方”向右移一位，上廉移二位，下廉移三位，隅移四位。以负
方除正实，算得次商4。如图式（7）。
（8）以次商4　乘益隅，并入下廉得…3240000。以4　乘下廉，并入上廉得
…320640000。以4　乘上廉，并入方得…9551360000。以4　乘方，与正实相消，
恰恰消尽。即得840　为方程的一个正根，如图式（8）。
由以上运算过程可以看出，当求得8＜x1＜9，确定第一位得数为8　以
后，图式（3）至图式（6）相当于求出进行x2=x1…8　的变换后所应得出的新方
程（图式（6））：

…108x42…3200·106x32…3076800·104x22


…826880000·102x1＋38205440000=0


图式（7）相当于对上式进行x3=10x2　的变换后得出的新方程：

…104x43…3200·103x33…3076800·102x23


…