中国古代科学家传记-第88章

按键盘上方向键 ← 或 → 可快速上下翻页，按键盘上的 Enter 键可回到本书目录页，按键盘上方向键 ↑ 可回到本页顶部！
————未阅读完？加入书签已便下次继续阅读！


书，影响广泛。罗氏对《四元玉鉴》进行了校改并对书中每一问题都作了
细草。但是他对此书关键问题（四元消法和级数求和）的理解，尚有需进
一步研究者。与罗士琳同时，沈钦裴也对《四元玉鉴》作了精心的研究，
每题也作了细草，经对比，沈氏《细草》比罗氏《细草》要更符合朱世杰
原意。沈氏《细草》仅有两种抄本传世（其中一种是全本），现均收藏于
北京图书馆。

清代数学家李善兰曾著有《四元解》（1845），但此书是作者以已意
解四元方程组，对了解朱世杰原意帮助不大。其后陈棠著《四元消法简易
草》（1899），卷末附有“假令四草”的“补正草”，对理解朱世杰四元
术是有帮助的。

日本数学史家三上义夫在其所著《中国及日本数学之发展》（Thedevelopment　of　mathematics　in　China　and　Japan，1913）一书中将《四
元玉鉴》介绍至国外。其后康南兹（E。L。Konantz）和赫师慎（L。Van　Heé）。。　
分别把《四元玉鉴》中的“假令四草”译为英法两种文字。1977　年华裔新
西兰人谢元祚（J。Hoe）将《四元玉鉴》全文译成法文，并写了关于《四元
玉鉴》的论文。

朱世杰的数学成就可简述如下：

1。四元术
四元术是在天元术基础上逐渐发展而成的。天元术是一元高次方程列
方程的方法。天元术开头处总要有“立天元一为××”之类的话，这相当
于现代初等代数学中的“设未知数x　为××”。四元术是多元高次方程列
方程和解方程的方法，未知数最多时可至四个。四元术开头处总要有“立
天元一为××，地元一为○○，人元一为△△，物元一为**”，即相当于
现代的“设x，y，z，u　为××，○○，△△，**”。天元术是用一个竖列
的筹式依次表示未知数（x）的各次幂的系数的，而四元术则是天元术的推
广。按莫若为《四元玉鉴》所写的序言所记述，四元式则是“其法以元气
居中，立天元一于下，地元一于左，人元一于右，物元一于上，阴阳升降，


进退左右，互通变化，错综无穷”，此即在中间摆入常数项（元气居中），
常数项下依次列入x　各次幂的系数，左边列y，y2，y3，。各项系数，右边
为z，z2，z3，。各项系数，上边为u，u2，u3，。各项系数，而把xy，yz，
zu，。，x2y，y2z，z2u，。各项系数依次置入相应位置中（如图1）。例
如：x＋y＋z＋u=0，即可以下列筹式表示（如图2）。而（x＋y＋z＋u）
2=A，即可以图3　所示之筹式表示之，即将

y4u4　y3u3　y2u4　yu4　u4　zu4　z2u4　z3u4　z4u4　
y4u3　y3u3　y2u3　yu3　u3　zu3　z2u3　z3u3　z4u3　
y4u2　y3u2　y2u2　yu2　u2　zu2　z2u2　z3u2　z4u2　
y4u　y3u　y2u　yu　u　zu　z2u　z3u　z4u　
y4　y3　y2　y　无z　z2　z3　z4　
xy4　xy3　xy2　xy　x　xz　xz2　xz3　xz4　
x2y4　x2y3　x2y2　x2y　x2　x2z　x2z2　x2z3　x2z4　
x3y4　x3y3　x3y2　x3y　x3　x3z　x3z2　x3z3　x3z4　
x4y4　x4y3　x4y2　x4y　x4　x4z　x4z2　x4z3　x4z　

图　1


（X＋Y＋Z＋U）2=X2＋Y2＋Z2＋U2＋2XY＋2XZ＋2XU＋2YZ＋2YU＋2ZU　
中的2xy，2yz。等记入相应的格子中，而将不相邻的两个未知数的乘积如
2xu，2yz　的系数记入夹缝处，以示区别。图3　即是《四元玉鉴》书首给出
的“四元自乘演段之图”（为了方便，我们用现代通用的阿拉伯数码代替
了原图中的算筹）。如此记写的四元式，既可表示一个多项式，也可以表
示一个方程。

四元式的四则运算如下进行。

（1）加、减：使两个四元式的常数项对准常数项，之后再将相应位置
上的两个系数相加、减即可。
（2）乘：
1）以未知数的整次幂乘另一四元式，如以x，x2，x3，。乘四元式，
则等于以该项系数乘整个四元式各项再将整个四元式下降，以x　乘则下降
一格，x2乘则下降二格。以y　的各次幂乘则向左移，以z　乘则右移，以u
乘则上升。


2）二个四元式相乘：以甲式中每项乘乙式各项，再将乘得之各式相加。

（3）除（仅限于用未知数的整次幂来除）：等于以该项系数除四元式
各项系数之后，整个四元式再上、下、左、右移动。上述四则运算也就是
莫若《四元玉鉴》序言中所说的“阴阳升降，进退左右，互通变化，错综
无穷”。在当时中国数学尚缺少数学符号的情况下，朱世杰利用中国古代
的算筹能够进行如此复杂的运算，实属难能可贵。
朱世杰四元术精彩之处还在于消去法，即将多元高次方程组依次消
元，最后只余下一个未知数，从而解决了整个方程组的求解问题。其步骤
可简述如下：

1）二元二行式的消法
例如“假令四草”中“三才运元”一问，最后得出如下图的两个二元
二行式，这相当于求解


。　（7　＋　3z　…z2　）x　＋　（…6　…7z　…3z2　＋　z3）　=　0，
。　（13　＋　11z　＋　5z　2　…2z3）x　＋　（…14　…13z　…15z2　…5z3　＋　2z4）　=　0；　
或将其写成更一般的形式

ìAx　＋　A　=　0，
10　

Bx　＋　B　=　0，

。　10　

其中A0，B1和A1，B0分别等于算筹图式中的“内二行”和“外二行”，都

是只含z　而不含x　的多项式。朱世杰解决这些二元二行式的消去法即是“内

二行相乘、外二行相乘，相消”。也就是
F（z）=A0B1…A1B0=0。

此时F（z）只含z，不含其他未知数。解之，即可得出z　之值，代入上式

任何一式中，再解一次只含x　的方程即可求出x。

2）二元多行式的消法

不论行数多少，例如3　行，则可归结为

í　
A　x2　＋　Ax　＋　A　=　0，　　　　　　　1

。　2　10　（）　
B　x　2　＋　Bx　＋　B　=　0。　　　　　　　（）
。　210　2　
以A2乘（2）式中B2x2以外各项，再以B2乘（1）式中A2x2以外各项，相

消得
C1x＋C0=0。q　（3）　

以x　乘（3）式各项再与（1）或（2）联立，消去x2项，可得
D1x＋D0=0。　（4）　

（3），（4）两式已是二元二行式，依前所述即可求解。

3）三元式和四元式消法

如在三元方程组中（如下列二式）欲消去y：

Ay　＋　Ay　＋　A　=　0，　　　　　　　（）

。　2210　5　
í　2
。　By　＋　B　y　1　＋　B　=　0，　　　　　　　　6

20　（）　

式中诸Ai，Bi均只含x，z　不含y。（5），（6）式稍作变化即有

（A　y　2　＋　A　）y　＋　A0　=　0，　　　　　　　7

ì　1　（）
í　
（B　y　2　＋　B　）y　＋　B0　=　0。　　　　　　　　8

。　1　（）　
以A0，B0与二式括号中多项式交互相乘，相消得

C1y＋C0=0。（9）。。　

（9）式再与（7），（8）式中任何一式联立，相消之后可得
D1y＋D0=0。（10）。。　
（9），（10）联立再消去y，最后得
E=0，。。　（11）


E　中即只含x，z。再另取一组三元式，依法相消得

F=0。（12）。。　

（11），（12）只含两个未知数，可依前法联立，再消去一个未知数，即
可得出一个只含一个未知数的方程，消去法步骤即告完成。

以上乃是利用现代数学符号化简之后进行介绍的，实际上整个运算步

骤都是用中国古代所特有的计算工具算筹列成筹式进行的，虽然繁复，但

条理明晰，步骤井然。它不但是中国古代筹算代数学的最高成就，而且在

全世界，在13—14　世纪之际，也是最高的成就。显而易见，在一个平面上

摆列筹式，未知数不能超过四元，这也是失世杰四元术的局限所在。

在欧洲，直到18　世纪，继法国的■．贝祖（Bézout，1779）之后又有

英国的J．J．西尔维斯特（Sylvester，1840）和A。凯莱（Cay…ley，1852）

等人应用近代方法对消去法进行了较全面的研究。

2．高阶等差级数求和
在中国古代，自宋代起便有了关于高阶等差级数求和问题的研究。在

沈括（1031—1095）和杨辉的著作（1261—1275）中，都有各种垛积问题，

这些垛积问题有一些就是高阶等差级数问题。另外，在历法计算过程中，

特别是在计算太阳在黄道上的精确位置时，要用到内插法。在宋代历法中，

已经考虑并用到三次差的内插法。这也是一种高阶等差级数的求和问题。

朱世杰在《四元玉鉴》中又把这一问题的研究进一步深化。据研究，

朱世杰已经掌握了如下一串三角垛的公式，即

茭草垛

1　＋　2　＋　3　＋　。　＋　n　=　r　=　nn　＋　1

（），

。　21　
！　
r=
n1


三角垛

1　＋　3　＋　6　＋　10　＋　。　=。　1　
r（r　＋　1）

2　

r=
n1

=　
3！　
1　
nn　＋　1n　＋　2），（又称“落一形垛”）

（　）（　

撒星形垛

1　＋　4　＋　10　＋　20　＋　。　=。　1　
r（r　＋　1）（r　＋　2）

3
=　
41　
！　
n　n　（　＋　1）（n　＋　2）（
rnn　
=1　
＋　3），（又称“三角落一形垛”）


三角撒星形垛

1　＋　5　＋　15　＋　。　=。　1　
（r　＋　1）（r　＋　2）（r　＋　3）

4　

　　=　1　
nn　（　＋　
rn
=　
11）（n　＋　2）（n　＋　3）（n　＋　4），　
5！　
　　　　　　　　　　　　　　　　（又称“撒星更落一形垛”）

三角撒星更落一形垛

1　＋　6　＋　21　＋　。　=。　1r　r　（　＋　1）（r　＋　2）（r　＋　3）（r　＋　4）

5　
　　　1　
（
rn
=1　
）。

=　nn　＋　1）（n　＋　2）（n　＋　3）（n　＋　4）（n　＋　5　

6！　

从中不难看出前垛的求和结果恰好是后垛的一般项，即前垛的各层累计的
和刚好是后垛中的一层，因此朱世杰常把后一种垛积称为前一垛积的“落
一形垛”。这串公式可用一个公式来表达，即

。　1　
rr　（　＋　1）（r　＋　2）。（r　＋　p　…1）
1p！
rn
=

　=　
（p　＋　
11）！　
（　＋　1n　＋　2）。（n　＋　p）

nn　）（　。　　　　　　　　　　（A）　

当P=1，2，3，4，5　时，（A）式就是上述五个公式。
除（A）式之外，朱世杰还已掌握了

。　1　
rr　（　＋　1）（r　＋　2）。（r　＋　p　…1）·r　
1p！　

rn
=

　　
（p　＋　
12）！　
（

=　nn　＋　1）（n　＋　2）。（n　＋　p）＇（p　＋　1）n　＋　1＇。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（B）　

当P=1　时称为四角垛，即

rr　=　（　＋　1　2n　＋　1　；

。　·　1nn　）（　）
3！　

当p=2　时称为岚峰形垛，即


。　1　1（　）（　＋　1　；
r（r　＋　1）·r　=　nn　＋　1n　＋　2）（3n　）

3！　4！　

当P=3　时称为三角岚峰形垛，即

1

。　3！　
5！　
r　r　（　＋　
（　
1）（r）（　
＋　2）·r　
＋　1）。
。

　=　1　
nn　＋　1n　＋　2）（n　＋　3）（4n　

当然，《四元玉鉴》中也还有一些其他类型的垛积问题。

由于朱世杰已经掌握了公式（A），掌握了一串三角垛公式，这使他有
可能超越前人，提出高次招插法公式，从而有可能解决任何一类高阶等差
级数的求和问题。《四元玉鉴》“如象招数”门最后一问中提出了一个需
用四次差（即四次差相等，五次差等于0）的招差问题。如以现代符号记
述，以△1，△2，△3，△4　表示一差、二差、三差和四差，朱世杰相当于
给出了招插公式：

fn　=　nD1　＋　1　
nn　（　…）D2　＋　1（　…）（n　3

（）　1nn　1　…2）D　

2！　3！　

41　
！　
nn　…）（n　…2）（n　…）D4　。

　＋　（1　3　

这是一个有关计算招兵人数的问题。朱世杰的解法是“求兵者：今招为上
积，又今招减一为茭草底子积为二积，又今招减二为三角底子积为三积，
又今招减三为三角落一积为下积，以各差乘各积，四位并之，即招兵数也”，
所描述的刚好就是上述公式。

因为朱世杰指出了上述公式各项的系数，刚好依次是一串三角垛的
“积”，从这一点出发不难推断朱世杰是可以将其推广至任意高次的高阶
等差级数和招差问题上去的。

在西方，是J。格雷戈里（Gregory，1638—1675）最先对招插法进行
了研究，直到牛顿的着作（1676，1678）中才出现了关于招插术的一般公
式。当然牛顿的公式采取了近代数学的形式，而且用途广泛，但朱世杰的
首创之功也是不可泯灭的。

朱世杰在数学方面的贡献并不局限于上述两点，例如《算学启蒙》中
所列各种歌诀、口诀（包括除法口诀）均已十分齐备，这为计算工具由筹
算到珠算的过渡创造了条件。但四元术和高阶等差级数求和问题两方面的
成就，仍显得十分突出，由于这两方面成就的出现，使到高度发展了的宋
元时期的中国数学，更放异彩。

清代数学家王鉴说，朱世杰“兼秦（九韶）、李（冶）之所长”，罗
士琳也说他是“尤超越乎秦、李之上”。清代末年还有人评论说“中法以
《四元玉鉴》为诣极之书”。20　世纪美国著名的科学史家G．萨顿（Sarton，
1884—1956）评价朱世杰是“汉民族的，他所生存的时代的，同时也是贯
穿古今的一位最杰出的数学家”，说《四元玉鉴》“是中国数学著作中最


重要的一部，同时也是中世纪最杰出的数学著作之一”。如此之高的评价，
朱世杰和他的著作都是当之无愧的。

文献

原始文献

［1］（元）朱世杰：算学启蒙，朝鲜翻刻本，见罗士琳《观我生室汇
稿》，1843。
［2］（元）朱世杰撰，（清）沈钦裴细草：四元玉鉴，清末抄本。
［3］（元）朱世杰撰，（清）罗士琳细草：四元玉鉴细草，见罗士琳
《观我生室汇稿》，1843。
研究文献

［4］杜石然：朱世杰研究，见钱宝琮等《宋元数学史论文集》，科学
出版社，1966。
［5］钱宝琮主编：中国数学史，科学出版社，1964。
［6］李俨、杜石然：中国古代数学简史·下册，中华书局，1964。

王祯

郭文韬

王祯字伯善。山东东平人。元代初年（1271　年前后）生；元代中后期
（1330　年前后）卒。农学、农业机械。

王祯的家乡，在元初已是封建文人荟萃的地方。早在窝阔台时代，万
户严实就曾经在东平“兴学养士”，当时的名士，如李昶、王磐、徐士隆、
李谦等都曾在东平先后设帐授徒，培养了一批为封建王朝服务的人才，著
名的有徐琰、申屠致远、孟祺等人。其中孟祺在元世祖至元七年（1270）
曾任山东西道劝农副使，曾参与编写过《农桑辑要》一书。王祯可能受其
影响而开始接触农学，他在《王祯农书》中曾引用许多《农桑辑要》的资
料。

王祯在元成宗元贞元年（1295）任宣州旌德县（今安徽旌德）县尹（县
官），任职6　年，后于元成宗大德四年（1300）调任信州永丰县（今江西
广丰）县尹。他在县尹任内，为老百姓办过不少好事。据《旌德县志》记
载，他在县尹任内，一直过着极为俭朴的生活，从未搜括过民财。不仅如
此，他还捐出自己的部分薪俸，办学校、建坛庙、修桥梁、兴办了不少造
福于民的公共事业。此外，他还兼施医药，救济穷苦有病的人，深受当地
人民的称赞。王祯不仅是廉洁奉公的县官，而且是劝农兴桑、积极发展农
业生产的农学家。他认为作为地方官，如果不熟悉农业生产，不懂得农业
知识，就难尽到劝导农桑的责任。他不仅搜罗以前的历代农书，孜孜研读，
而且经常注意观察各地的农事操作和农业机具，从而为他撰写农书奠定了
坚实基础。他对那些只知鱼肉百姓的贪官污吏进行了无情的抨击：这些人
自己都不懂“农作之事”，“安能劝人”。他们常以劝农为借口，前呼后
拥