中外科学家发明家丛书:伽罗瓦_2-第4章
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在 （c）中，主元素是那个将x代作x，x代作x，x代作x的置换，
1 1 2 2 3 3
因为任何置换和自身结合的结果是不变的。
在（d）中，主元素是那个360°的旋转，因为系统中的任意一个旋转和
此旋转结合的结果仍为自身。
（3）每个元素必须有一个逆元素，即一个元素和其逆元素用系统中的运
算结合的结果是主元素。
例如：
在 （a）中，3的逆元素是…3，因为3加…3的和是0。
在 （b）中，a／b的逆元素是b／a，因为a／b和b／a相乘的积是1。
在（C）中，将x代作x，x代作x，x代作x的置换的逆元素是将x
1 2 2 3 3 1 2
代作x，x代作x，x代作x的置换。因为这两个置换结合的结果是那个将
1 3 2 1 3
x代作x，x代作x，x代作x的置换。
2 2 3 3 1 1
在 （d）中，60°的旋转（按顺时针方向）的逆元素是一个…60°的旋转
（按逆时针方向）。因为这两个旋转结合的结果是主元素——360°的旋转。
（4）结合律必须成立。
例如，设a，b，c是任意三个元素，又设运算用记号O表示，则结合律
指
（aOb）Oc＝aO（bOc）
应用到系统 （a）中，为
（3＋4）＋ 5＝3＋（4＋ 5）
所以结合律在 （a）中能成立。
对于一个系统，它是否成群，不但要看它的元素，还要看它的运算才能
决定。
3．群的重要性质
伽罗瓦用来解方程式的置换群具有十分有趣的性质。
在表示置换时，为了方便起见而采取一种简单的记法，即在记x，x，
1 2
x时可将x省去，只用1，2，3来表示。例如一个将x代作x，x代作x，
3 1 2 2 3
x代作x的置换，可以简单的记作（ 1 2 3）
3 1
这个记号的意思是说：
1变作2，2变作3，3变作1。
换句话说，就是
x变作x，x变作x，x变作x。
1 2 2 3 3 1
同样，（1 3 2）则表示一个将x变作x，x变作x，x变作x的置换。
1 3 3 2 2 1
又如
（1 3）（2）或（1 3）
表示一个将x代作x，x代作x，x代作x的置换。
1 3 3 1 2 2
有时一个群的部分元素自己形成一群，这种群称为“约群”。例如，前
面（a）例中，一切整数对于加法而言，为一群。若单拿一切偶数来看，对于
加法，他们也成一群；因为群的四个性质它都适合：
… Page 16…
（1）两个偶数的和还是偶数。
（2）0是主元素。
（3）一个正偶数有相应的负偶数作逆元素，而一个负偶数的逆元素是正
偶数。
（4）结合律成立。
所以，偶数群是整数群的约群。
伽罗瓦证明了约群的元素个数是原来的群的元素个数的约数。
在约群中，最重要的是“不变约群”，即一个约群中的任何元素应用原
来的群中任何元素的变形，＇例如设有一个元素 （1 2），用另一个元素（1 2
3）去右乘它，再用（1 2 3）的逆元素（1 3 2）去左乘它，所得的结果是
（1 3 2）（1 2）（1 2 3）＝（2 3），
这个结果 （2 ）就称为3 （1 ）应用2 （1 2 3）的变形。＇若仍是约群
中的元素，这个约群就称为原来那个群的不变约群。
一个群可以看作是它自己的约群，但不是真约群，一个真约群必须比原
来的群小。但如果H是G的不变约群，假如G中没有包含H而较H大的不变
真约群存在时，H就称为G的一个极大不变真约群。
假设G是一个群，H是G的一个极大不变真约群，K是H的一个极大不变
真的约群，……若将G的元素用H的元素个数去除，H的元素用K的元素个
数去除，……所得诸数，称为群G的“组合因数”。若这些组合因数都是质
数，则G是一个“可解数”。
在有些群中，群中的一切元素都是某一个元素 （主元素例外）的乘幂。
如在群
1，（1 2），（31 3） 2
2
中，（1 2 3）＝（1 2）（13 2） 3
＝（1 3） 2
3
（1 2）=（31 2） （31 2）（13 2）=13
此群中的元素都是（1 2）的乘幂。这种群，称为3 “巡回群”。
在一个置换群中，若每个文字都有一个而且只有一个置换将这文字换成
其他某个文字，则这个群称为“正置换群”。例如群
1，（1 2），（31），
在 1中 x，变成x，在（1 2）中x3变成x，在（1 ）中32x
1 1 1 2 1
变成x……所以这是一个“巡回正置换群”。
3
4．一个方程式的群
对于一个一定的数域，每个方程式都有一个群。譬如三次方程式
3 2
ax＋bx＋cx＋d＝0，
假定它的三个根x，x，x是相异的。任意取一个这三个根的函数，如
1 2 3
xx＋x
12 3
在这个函数中，若把这些x互相替换，那么，会有六种置换。（1 2）一
类的置换为 xx＋x；（ 1 ）为3 xx＋x；（ 12）为3xx＋x。此
21 3 32 1 23 1
外，还有不动置换。也就是说共有：
1，（1 ），2（1 ），3（2 ），3（1 2）（13 3）六个置换，2
即对于这三个x，一共有3！（表示3×2×1）种可能的置换。一般说，n！
表示n（n－1（n－2）……1，所以n个x有n！种置换。于是，伽罗瓦得出
… Page 17…
结论，在函数v=mx＋mx=mx＋……mnxn中，当x作各种可能的置换时，
1 11 22 33
这函数就有n！个不同的值，用v，v，v，……vn！表示这些不同的值，
1 2 3
可作出式子P（y）=（Y…v）（Y…v）……（Y－vn！），其中Y是一个变数。
1 2
将P（y）的各因子乘出来，就得到一个Y的多项式。假设P（y）在某一
数域中分解因数，包含v而在此数域中为不可约的部分是（Y－v）（Y－ v）
1 1 2
或 Y－（v＋v）Y＋vv在这部分中所含的v仅有vv。则将v，v互相
2 1 2 12 12 1 2
交换的x的置换成一群，这个群叫“方程式在这数域中的群”。
一般地说，一个方程式在一定数域中的群是由P（Y）中包含v的不可约
1
部分而决定的。将这个不可约部分记作G（y），则G（y）＝0，这称为“伽
罗瓦分解式”。
在一个数域中将一个式子分解因数，到了不能再分解时，若将数域扩大，
可以继续分解下去。但扩大数域的结果是使方程的群变小。
明白什么是方程式在一个数域中的群，就可以去求它。例如二次方程式
X＋3X＋1= 0
2
有两个根x，x，可能的置换只有1和 （1 ）两种。所以2 它的群或者
1 2
含有这两个置换或者只有1这一个。而这要看是在什么数域中了。
以函数x－x为例，二次方程式
1 2
2
x＋bx＋c＝ 0
的两根之差是
x … x ＝ b2 … 4c
1 2
在此例中，规定b＝3，c＝1，则
x －x ＝ 5
1 2
如果所讨论的数域是有理数域，那么，这个函数的值不在数域中，所以
群中必有一个置换能变更此函数的值，这就是（ 1 ）置换。则此方程式在2
有理数域中的群是由
1，（ 1 ）2
两个置换作成的。但如果讨论的数域是实数域，那么，在此数域中，所
以群中一切置换都不改变函数x…x的值，所以（1 ）不能在群中。此方2
1 2
程式在实数域中的群是由1一个置换作成的。
5．伽罗瓦的鉴定
伽罗瓦证明了：一个方程式在一个含有它的系数的数域中的群若是“可
解群”，则此方程式是可能用根式解的，而且仅在这样的条件下方程式才能
用根式解。
以一般二次方程
2
ax＋ bx＋c＝0
为例，它的两个根是x，x。它在一个含有它的系数的数域中的群之元
1 2
素是1和 （1 ）。这个群的唯一的极大不变真约群是2 1，则此群的组合因
数是： ／21＝ 2，这是一个质数，因此，根据枷罗瓦的鉴定，凡二次方程
式都是可用根式解的。
再取一般三次方程
3 2
ax＋bx＋cx＋d＝0
… Page 18…
来看，因为它有三个根x，x，x，所以在一个含有它的系数的数域中，
1 2 3
它的群含有1，（1 ），2（1 ），3（2 ），3（1 2），（31 3） 2
六个置换。此群的唯一极大不变真约群含有 1，（1 2 3），（1 3）三2
个置换。据此可知，组合因数是6／3＝2与 3／1＝3，两个都是质数。所以
凡三次方程式都是可用根式解的。
再看一般的四次方程式
4 3 2
ax＋bx＋cx＋dx＋e＝0
它在一个含有其系数的数域中的群元素个数是4！＝24。这个群的组合
因数是：
2，3，2，2。
这些都是质数，所以凡四次方程式也都可以用根式解。
对于一般的五次方程式，含有5！个置换，其组合的因数是2与5！／2
而5！／2不是质数，所以，一般的五次方程式不能用根式解。
如此，应用伽罗瓦群的理论，可以得到一个简单而有力的方法来决定一
个方程式能否用根式解。
6．用直尺与圆规的作图
伽罗瓦在发明了判别方程式能否用根式解的鉴定之后，又创造了如何求
一个能用根式解的方程式的根的方法，即利用一组“辅助方程式”，而这些
辅助方程式的次数则是原方程式的群的组合因数。
其具体方法是：先把第一个辅助方程式的根加入数域F中，然后假设数
域经第一个辅助方程式的根之加入而扩大了，并使分解因数的工作因之可以
再继续下去，令方程式在这扩大了的数域F中的群是H。再将第二个辅助方
1
程式的根加人F中，使方程式的群变为K，直到方程式在那个最后扩大成的
1
数域F中的群是1。而函数x不能被1中的置换变更它的值，所以 x必在
m 1 1
数域F中。同样，其余的根也都在F中。这样就可以得知什么样的数应加入
m m
原来的数域中，把方程式的群变为 1，从而决定方程式的根存在于怎样的数
3
域中。以方程式x…3x＋1=0
为例。此方程式在有理数域中的群由1，（ 1 2），（3 1 ）三3 2
个置换作成。这个群的极大不变真约群是1，组合因数是3，所以只有一个辅
助方程式，其次数是 3，这个辅助方程式的根含有一个立方根。所以这个立
方根必须加入数域中，才能使方程式的群变为 1，而原来的方程式的根可从
有理数域中的数及这个立方根单用有理运算得出。
只用直尺与圆规，能作直线和圆，这用代数表示是一次和二次方程式。
所以，求它们的交点，只需解一个二次方程式就可以把交点的座标用有理运
算和平方根表作系数的函数。因此，凡是能用直尺与圆规作出的数量都可以
有限次的以加、减、乘、除和平方根表示。譬如有两线段a，b和单位长度，
可用直尺与圆规作出它们的和a＋b，差 a－b，积 ab，商 a／b以及这
些量的平方根如ab，b等。
在讨论一个作图只用直尺、图规是否可能时，必须作出一个表示此种作
图的代数学方程式。若此方程式在数域中能分解成单是一次和二次的代数
式，则一切实数根都能用直尺与圆规作出。即使方程式不能分解成上述情况，
只要它的实数根能用有限次的有理运算与平方根表作已知的几何量的函数，
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那么，作图只用直尺、圆规也是可能的。
取 120°角来看假定此角位于一个半径是单位长的圆的中心，作出
cos40°来，则只要取OA＝cos40°，于是a就是一个40°的角，三等分120
°的作图就完成了。利用三角恒等式：
3
2cos3a＝8cosa…6cosa，
令x=2cosa，则上式化成
3
2cosa=x3…3x
3
因为3a＝120°， cos3a＝－1／2；上式可写作x…3x＋1＝0在半径
是单位长的圆中，可作OB＝1／2，于是∠AOC＝120°。
要解上面的方程式，必须把一个立方根加入于有理数域中。但一个立方
根是不能用直尺与圆规作出的，因此可知：用直尺与圆规三等分任意角是不
可能的。
用相似的方法，还可证明用直尺、圆规解决立方倍积问题也是不可能的。
7．伽罗瓦的鉴定是正确的
在解方程式时，可利用方程式的根与系数之间的关系。例如在二次方程
式
