中外科学家发明家丛书:伽罗瓦_2-第5章
按键盘上方向键 ← 或 → 可快速上下翻页,按键盘上的 Enter 键可回到本书目录页,按键盘上方向键 ↑ 可回到本页顶部!
————未阅读完?加入书签已便下次继续阅读!
7.伽罗瓦的鉴定是正确的
在解方程式时,可利用方程式的根与系数之间的关系。例如在二次方程
式
2
x+bx+c=0
的两个根x1,x2中,可得
x+x=-b ①
1 2
与xx=c ②
12
的关系。那么,能不能从这两个方程式中解x与x呢?不可以。因为如
1 2
果从①中得出x的值而后代入②中,结果是
1
2
x+bx2+c=0,
2
这与原二次方程式丝毫没有分别。所以,这个方法行不通。但是,如果
能得到一对都是一次的方程式,则x和x就可求了。
1 2
首先设方程式
f(x)=0
有n个相异的根,而且在由方程式的系数及1之n个n次根决定的数域
中,此方程式的群是一个元素个数为质数的巡回正置换群。其中,1之n个n
次根的含义是:
由1有三个立方根:
1 1 1 1
1,
… Page 20…
根式解。
k 2k
举一将 n个方程式写作一个的一组一次方程为例:x+ρx2+ρ x3
1
+……+ρ(n…1)kx=r,③此处k的值可为0与n-1之间的任何整数,如
n k
当k=0时,③就为
x+x+x+……+x=r0
1 2 3 n
当k=1时,③为
x 2 n…1
x+ρ2+ρx3+……+ρ xn=r,
1 1
以下,依次类推。
因为一个方程式的最高次项系数若是1,则诸根之和等于方程式中第二
项的系数的负值,所以r之值可以直接从方程式的系数中求得。如果把置换
o
(1 2……n3)用于③式的左端,③式左端为
k 2k (n…1)k
x+ρx3+ρ x4+……+ρ x
2 1
所以说置换 (1 2 3……n)
…k n
将r之值变为ρ rk。又因P=1,故
k
n …k n
(r)=(ρr),
k k
n
所以置换 (1 2……n3)不变更r的值。同理,群中其它置换也不改
k
n
变r的值。这就是说,所有r的值都可由根式得到。由③,可将x用ρ与r
k
表示,则方程式③可用根式解。这样,就证明了:如果方程式在一个数域中
的群是元素个数为质数巡回正置换群,则此方程式一定能用根式解。
举例来说,方程式
3
x…3x+1=0
在有理数域中的群是 1,(1 2 3),(1 3 2)。它是一个元素个数为
质数的巡回正置换群,所以可从x+x+x=0,
1 2 3
2
x+ωx+ωx=r,
1 2 3 1
2
x+ωx+ωx=r,
1 2 3 2
这三个一次方程式中解它。此处ω表示1的一个虚立方根,r与r可以
1 2
由数域中的数的根数得出。换句话说,如果把这种根数加入到数域中,则x
都存在于扩大的数域中。
在一般情况下,常可以
2 2 2 2
y=(x-x) (x-x)……(x …x)作第一个辅助方程式,其右
1 2 1 3 n…1n
端是所有每两个根之差的平方之积。假如方程式的第一项系数是1的话,那
么,上式右端则是方程式的“判别式”。例如二次方程式
2
x+bx+c=0
的两个根x,x的差的平方是
1 2
2 2 2
(x…x)=(x+x)-4xx=b-4c,这恰是方程式的判别式。同样,
1 2 1 2 12
高次方程式的判别式也可从系数求得。
再设所要解的方程式是一般的三次方程式,将第一个辅助方程式的根加
入原数域后,方程的群为H,即一个元数为质数的巡回正置换群。这样,可
利用
x+x+x=…b,
1 2 3
… Page 21…
2 2
x+ωx+ωx=r,x+ωx+ωx=r,
1 2 3 1 1 2 3 2
这三个一次方程式来解原三次方程式。其中r,r可由数域中数的根数
1 2
求得。x,x,x存在于这个最后经r,r的加入而扩大成的数域中。
1 2 3 1 2
这样就证明了:方程式在一个由其系数与1之n个n次根而决定的数域
中的群若是一个可解群,则此方程式是可以用根式解的。
伽罗瓦的群论,是解决数学问题的重要工具,它对于数学就如同语言对
于人的重要性一样。正像人们评价的,“无论在什么地方,只要能应用群论,
就能从一切纷乱混淆中立刻结晶出简洁与和谐”。“群的概念是近世纪科学
思想出色的新工具之一”。
… Page 22…